2024年九年级中考数学复习专题三：应用题汇编

专题03 应用题汇编 【一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、一元二次方程】 例题1 一元二元一次方程组及不等式 1、某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元． （1）求A，B玩具的单价； （2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？ 2、某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元） （1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由； （2）购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价； （3）购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围． 例题2 分式方程综合 1、某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10min，求乙同学骑自行车的速度． 2、推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题： （1）更新设备后每天生产 　件产品（用含x的式子表示）； （2）更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品． 3、某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 例题3 解直角三角形综合 1、2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站．如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态．当两臂AC＝BC＝10m，两臂夹角∠ACB＝100°时，求A，B两点间的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192） 2、贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上） （1）求索道AB的长（结果精确到1m）； （2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）． （参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，） 3、综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离AF＝11m，BH＝20cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）． ​ 4、渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥A处出发，沿着坡角为48°的山坡向上走了92m到达B处的三龙潭瀑布，再沿坡角为37°的山坡向上走了30m到达C处的二龙潭瀑布．求小卓从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC为多少米？（结果精确到0.1m） （参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80） 5、图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD＝27°． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面l的距离； （2）若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732） 例题4 二次函数应用 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离 OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝﹣0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝a（x﹣1）2+3.2． （1）求点P的坐标和a的值； （2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 应用题汇编 【一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、一元二次方程、解直角三角形】 例题1 一元二元一次方程组及不等式 1、某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元． （1）求A，B玩具的单价； （2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？ 【答案】（1）A、B玩具的单价分别为50元、75元； （2）最多购置100个A玩具． 【解析】 【分析】（1）设A玩具的单价为x元每个，则B玩具的单价为元每个；根据“购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元”列出方程即可求解； （2）设A玩具购置y个，则B玩具购置个，根据“购置玩具的总额不高于20000元”列出不等式即可得出答案． 【小问1详解】 解：设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为元； 由题意得：； 解得：， 则B玩具单价（元）； 答：A、B玩具的单价分别为50元、75元； 【小问2详解】 设A玩具购置y个，则B玩具购置个， 由题意可得：， 解得：， ∴最多购置100个A玩具． 2、某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元） （1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由； （2）购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价； （3）购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围． 【分析】（1）根据已知列式计算即可； （2）设一件这种健身器材的原价为x元，可得x＝x﹣80，即可解得答案； （3）分两种情况：当300≤a＜600时，a﹣80＜0.8a，当600≤a＜900时，a﹣160＜0.8a，分别解不等式可得答案． 【解答】解：（1）∵450×＝360（元），450﹣80＝370（元）， ∴选择活动一更合算； （2）设一件这种健身器材的原价为x元， 若x＜300，则活动一按原价打八折，活动二按原价，此时付款金额不可能相等； ∴300≤x＜500， ∴x＝x﹣80， 解得x＝400， ∴一件这种健身器材的原价是400元； （3）当300≤a＜600时，a﹣80＜0.8a， 解得a＜400； ∴300≤a＜400； 当600≤a＜900时，a﹣160＜0.8a， 解得a＜800； ∴600≤a＜800； 综上所述，300≤a＜400或600≤a＜800． 例题2 分式方程综合 1、某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10min，求乙同学骑自行车的速度． 【分析】设乙步行的速度为xkm/分，则甲骑自行车的速度为1.2xkm/分，根据题意列方程即可得到结论． 【解答】解：设乙步行的速度为xkm/分，则甲骑自行车的速度为1.2xkm/分， 根据题意得﹣＝， 解得x＝12． 经检验，x＝12是原分式方程的解， 答：乙骑自行车的速度为12km/h． 2、为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题： （1）更新设备后每天生产 　1.25x　件产品（用含x的式子表示）； （2）更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品． 【分析】（1）根据“更新设备后生产效率比更新前提高了25%“列代数式即可； （2）根据题意列分式方程，解方程即可． 【解答】解：（1）更新设备前每天生产 x 件产品，更新设备后生产效率比更新前提高了25%， 更新设备后每天生产产品数量为：（1+25%） x＝1.25x（件）， 故答案为：1.25x； （2）由题意知：﹣2＝， 去分母，得6250﹣2.5x＝6000， 解得：x＝100， 经检验，x＝100是所列分式方程的解， 1.25×100＝125（件）． 答：更新设备后每天生产125件产品． 3、某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【分析】（1）根据“用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同”列方程求解； （2）先根据“购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍”求出取值范围，再根据一次函数的性质求解． 【解答】解：（1）设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是 （x﹣200）元． 根据题意：， 解这个方程，得：x＝500， 经检验，x＝500是原方程的根， ∴x﹣200＝300， 答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元； （2）设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型 （40﹣m）台， 购买A型和B型编程机器人模型共花费w元， 由题意得：40﹣m≤3m， 解得：m≥10， w＝500×0.8•m+300×0.8﹣（40﹣m）， 即：w＝160m+9600， ∵160＞0 ∴w随m的减小而减小． 当m＝10时，w取得最小值11200， ∴40﹣m＝30 答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元． 例题3 解直角三角形综合 1、2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站．如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态．当两臂AC＝BC＝10m，两臂夹角∠ACB＝100°时，求A，B两点间的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192） 【分析】连接AB，取AB中点D，连接CD，根据AC＝BC，点D为AB中点，可得∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝50°，在Rt△ACD中，sin50°＝，解得AD＝10×sin50°≈7.66（m），故AB＝2AD≈15.3（m）． 【解答】解：连接AB，取AB中点D，连接CD，如图， ∵AC＝BC，点D为AB中点， ∴中线CD为等腰三角形的角平分线（三线合一），AD＝BD＝AB， ∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝50°， 在Rt△ACD中， sin∠ACD＝， ∴sin50°＝， ∴AD＝10×sin50°≈7.66（m）， ∴AB＝2AD＝2×7.66＝15.32≈15.3（m）， 答：A、B的距离大约是15.3m． 2、贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上） （1）求索道AB的长（结果精确到1m）； （2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）． （参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，） 【分析】（1）通过解Rt△ABE可求得AB的长； （2）延长BC交DF于G，证明四边形BEFG是矩形，可得EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°，再解Rt△CDG可求解CG的长，进而可求解． 【解答】解：（1）在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠A＝15°，AE＝576m， ∴AB＝（m）， 即AB的长约为600m； （2）延长BC交DF于G， ∵BC∥AE， ∴∠CBE＝90°， ∵DF⊥AF， ∴∠AFD＝90°， ∴四边形BEFG为矩形， ∴EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°， ∵CD＝AB＝600m，∠DCG＝45°， ∴CG＝CD•cos∠DCG＝600×cos45°＝600×＝， ∴AF＝AE+EF＝AE+BG＝AE+BC+CG＝576+50+≈1049（m）， 即AF的长为1049m． 3、综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离AF＝11m，BH＝20cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）． ​ 【分析】由题意可知，∠BAE＝∠MAF＝∠BAD＝90°，FG＝1.8m，易知∠EAF＝∠BAH，可得tan∠EAF＝＝tan∠BAH＝，进而求得，利用EG＝EF+FG即可求解． 【解答】解：由题意可知，∠BAE＝∠MAF＝∠BAD＝90°，FG＝1.8m， 则∠EAF+∠BAF＝∠BAF+∠BAH＝90°， ∴∠EAF＝∠BAH， ∵AB＝30cm，BH＝20cm， 则tan∠EAF＝＝， ∴tan∠EAF＝＝tan∠BAH＝， ∵AF＝11m， 则， ∴EF＝， ∴EG＝EF+FG＝1.8≈9.1m． 答：树EG的高度为9.1m． 4、渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥A处出发，沿着坡角为48°的山坡向上走了92m到达B处的三龙潭瀑布，再沿坡角为37°的山坡向上走了30m到达C处的二龙潭瀑布．求小卓从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC为多少米？（结果精确到0.1m） （参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80） 【分析】过点B作BE⊥AD，作BF⊥CD，分别在Rt△ABE和Rt△CBF中分别解三角形求出BE，CF的长，二者相加就是CD的长． 【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于E， 在Rt△ABE中，sin∠BAE＝， ∴BE＝ABsin∠BAE＝92×sin48°≈92×0.74＝68.08m， 过点B作BF⊥CD于F， 在Rt△CBF中，sin∠CBF＝， ∴CF＝BC×sin∠CBF≈30×0.60＝18.00m， ∵FD＝BE＝68.08m， ∴DC＝FD+CF＝68.08+18.00＝86.08≈86.1m． 答：从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC约为86.1m． 5、图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD＝27°． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面l的距离； （2）若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732） 【分析】（1）作B′E⊥AD，垂足为点E，先求出B′E的长，再求出B′E+AO的长即可； （2）过C′作C′F⊥B′E，垂足为点F，先求得∠AB′E＝63°，再得到∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°，再求得B′F＝B′C′•cos60°＝0.3，从而得出C′到地面的距离为2.15﹣0.3＝1.85，最后比较即可． 【解答】解：（1）如图，作B′E⊥AD，垂足为点E， 在Rt△AB′E中， ∵∠B′AD＝27°，AB′＝AB＝1， ∴sin27°＝， ∴B′E＝AB′sin27°≈1×0.454＝0.454， ∵平行线间的距离处处相等， ∴B′E+AO＝0.454+1.7＝2.154≈2.15， 答：车后盖最高点B′到地面的距离为2.15m． （2）没有危险，理由如下： 过C′作C′F⊥B′E，垂足为点F， ∵∠B′AD＝27°，∠B′EA＝90°， ∴∠AB′E＝63°， ∵∠AB′C′＝∠ABC＝123°， ∴∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°， 在Rt△B′FC′中，B′C′＝BC＝0.6， ∴B′F＝B′C′•cos60°＝0.3． ∵平行线间的距离处处相等， ∴C′到地面的距离为2.15﹣0.3＝1.85． ∵1.85＞1.8， ∴没有危险． 例题4 二次函数应用 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离 OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝﹣0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝a（x﹣1）2+3.2． （1）求点P的坐标和a的值； （2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 【分析】（1）在y＝﹣0.4x+2.8中，令x＝0可解得点P的坐标为（0，2.8）；把P（0，2.8）代入y＝a（x﹣1）2+3.2得a的值是﹣0.4； （2）在y＝﹣0.4x+2.8中，令y＝0得x＝7，在y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2中，令y＝0可得x＝﹣2+1（舍去）或x＝2+1≈3.82，由|7﹣5|＞|3.82﹣5|，即可得到答案． 【解答】解：（1）在y＝﹣0.4x+2.8中，令x＝0得y＝2.8， ∴点P的坐标为（0，2.8）； 把P（0，2.8）代入y＝a（x﹣1）2+3.2得：a+3.2＝2.8， 解得：a＝﹣0.4， ∴a的值是﹣0.4； （2）∵OA＝3m，CA＝2m， ∴OC＝5m， ∴C（5，0）， 在y＝﹣0.4x+2.8中，令y＝0得x＝7， 在y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2中，令y＝0得x＝﹣2+1（舍去）或x＝2+1≈3.82， ∵|7﹣5|＞|3.82﹣5|， ∴选择吊球方式，球的落地点到C点的距离更近． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$