精品解析：上海市民办南模中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

南模中学2023学年第二学期高一年级数学期末 2024.06 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式和正切二倍角公式求出答案. 详解】由题意可得． 故答案为： 2. 已知向量，则________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，求出坐标，结合，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 因为，可得，即， 解得或. 故答案为：或. 3. 在半径为1的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据弧长公式进行化简即可. 【详解】在半径为1的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为, 故答案为： 4. 已知复数满足：，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算直接求得，进而求得即可. 【详解】由，得，所以. 故答案为：. 5. 若向量，的夹角为，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】，利用向量数量积计算结果. 【详解】向量，的夹角为，，，有， 则. 故答案为：. 6. 在公差为正数的等差数列中，若，，，成等比数列，则数列的前10项和为____________. 【答案】165 【解析】 【分析】由等比和等差数列的性质求出公差，再由前项和公式求出结果即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意得，即， 因公差大于零，解得，（舍）， 所以， 故答案为：165. 7. 已知平面向量与的夹角为，若，，则在上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用向量在向量上的投影向量的定义求解. 【详解】向量在向量上的投影向量是. 故答案为：. 8. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据图像平移可得平移后的解析式为，即可根据奇偶性求解. 【详解】由题意可得平移后所得函数的解析式为，由于为偶函数，所以,故, ，最小正值为． 故答案为： 9. 已知数列满足：，，且是递增数列，则实数的取值范围是__． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意递增数列可知，进而可得不等式恒成立，即得. 【详解】是递增数列，且对于任意的，都有成立 对于任意，，， 化为：恒成立， 又单调递减， 所以． 故答案为：. 10. 如图，在扇形AOB中，，，点C在扇形AOB内部，，，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据阴影部分的面积为，利用扇形面积公式、三角形面积公式和正弦定理进行求解. 【详解】设，则，， 由，，得， 在中，由正弦定理得，即， 所以，则，， 所以，，则， ， 所以， 又知扇形AOB的面积为， 故阴影部分面积为． 故答案为： 11. 设为平面内的任意两个向量，定义一种向量运算“”：对于同一平面内的向量，给出下列结论： ①；②； ③；④若是单位向量，则． 以上所有正确结论的序号是______． 【答案】①④ 【解析】 【分析】分与是否共线，根据新定义和向量数量积性质，以及向量模的性质可判断①；按照新定义验证与共线的情形可判断②；按照新定义验证，，共线的情形可判断③；根据新定义，结合单位向量的定义可判断④. 【详解】对于①，当与不共线时，； 当与共线时，，①正确. 对于②，当与共线时，，， 所以与不一定相等，②错误. 对于③，当，，共线时，，， 所以与不一定相等，③错误. 对于④，当与不共线时，记，则； 当与共线时，，④正确. 故答案为：①④ 12. 欧拉函数的函数值等于所有不超过且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个整数称为互质整数），例如：，．记，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目设定的欧拉函数的概念，结合数列前n项和的概念以及不等式恒成立的转化方法即可求得参数的范围. 【详解】在的整数中与不互质的数有，共有个，所以与互质的数有个，因此． 在的整数中，2的倍数共有个，5的倍数共有个，10的倍数共有个，所以． 所以，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以， 则恒成立等价于恒成立， 即恒成立，所以， 令，则， 所以，且， 所以， 所以，即实数的取值范围是 【点睛】关键点点睛：本题按照题目设定的欧拉函数的概念，关键分析出：（1）在的整数中与不互质的数的个数，从而得到互质的个数；（2）在的整数中，与互质的数的个数分别是：2的倍数共有个，5的倍数共有个，10的倍数共有个，所以与（注意：2的倍数和5的倍数中包含了10的倍数）. 二､选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 在公差为的等差数列中，，则（ ） A. 1或2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列通项列式求解即得. 【详解】在等差数列中， 则，整理得， 所以. 故选：D 14. 下列函数在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求解整体的范围，即可根据正余弦函数的性质，结合选项逐一求解. 【详解】对于A，由于所以,故在不是单调递减， 对于B，由于所以,故在不是单调递减， 对于C，由于所以,故在不是单调递减， 对于D，由于所以,故在是单调递减， 故选：D 15. 已知复数、在复平面内对应的点分别为、，（为坐标原点），且，则对任意，下列选项中为定值的是（ ） A. B. C. 的周长 D. 的面积 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得出，求出方程的虚根，结合复数模的性质可得出结论. 【详解】因为复数、在复平面内对应的点分别为、，（为坐标原点），则， 由可得， 对于方程，则， 解方程可得， 所以，，所以，， 中，由于不是定值，则的面积、均不为定值， 故选：A. 16. 在中，为线段上的动点，且，则的最小值为（） A 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由推得；再由求得，，最后由和平面向量基本定理可推得利用常值代换法即可求得所求式的最小值. 【详解】因，则，由， 可得，即， ， 又 解得因，故， 又，解得 又，所以，， 又，即 因为线段上的动点，即共线，且， ， 当且仅当时，等号成立. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于，将各个条件分别化简，得出关于三角形的边长和夹角，代入向量等式，利用平面向量基本定理即得最后运用常值代换法即可求得最值. 三､解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位. （1）求的值; （2）记复数，求复数的模. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入方程化简，利用复数等于0，即实部和虚部都为0，即可求解； （2）求出共轭复数，然后求出待求复数，利用复数模长公式即可求解. 【小问1详解】 由题意得:，即， 所以，所以，， 解得：，. 【小问2详解】 ，，， 所以. 18. 已知向量，，函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，求函数的值域. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示及倍角正余弦公式、辅助角公式得，根据正弦型函数的性质求递增区间； （2）由正弦型函数的性质求值域即可. 【小问1详解】 由题设， 令，则， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 由，则，故，可得， 所以的值域为. 19. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式与单调增区间； （2）若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，写出图象的对称中心的坐标，并求当时，的最值. 【答案】（1）， （2）对称中心坐标为，， 【解析】 【分析】（1）利用函数图象列出，解得，，结合函数的周期，求解，利用函数的最大值求解，然后得到函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解函数的单调增区间即可； （2）根据三角函数的变换规则求出解析式，根据正弦函数的性质求出对称中心坐标，通过的范围，求出的范围，结合正弦函数性质计算可得． 【小问1详解】 由图象可知，解得， 又由于，可得，又，所以， 由图象知，，又因为，则， 所以，则，所以． 由，，解得，． 函数的单调递增区间是，． 【小问2详解】 将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到： ， 令，解得， 所以的对称中心坐标为， 因为，所以， 所以当，即时； 当，即时. 20. 若数列满足，从数列中任取2项相加，把所有和的不同值按照从小到大排成一列，称为数列的和数列，记作数列． （1）已知等差数列的前n项和为，且． ①若，，求的通项公式，并写出的前5项； ②若，，求数列的前50项的和； （2）若，证明：对任意或，，并求数列的所有项的和． 【答案】（1）①，；② （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）①根据等差数列的通项公式与前n项和公式列方程组求解首项与公差，即可得的通项公式，从而根据数列的和数列概念，确定的前5项；②由，得，求解，从而可得数列的第项为，结合已知即可得首项与公差，由和数列的概念可得数列的前50项的和； （2）假设存在或使得，分别讨论当且时，当且时，是否成立，从而可证得结论. 【小问1详解】 设的公差为， ①由，得 解得， 所以， 的前5项依次为． ②因为，则， 当时，， 可以是任意正整数， 所以数列的第项为， 由得 解得，所以， 数列是首项为4､公差为2的等差数列， 所以的前50项和为． 【小问2详解】 证明：假设存在或使得， 当且时，因为，所以，得，这与矛盾， 同理且时也不成立， 当且时，设，因为， 所以， 左边为奇数，右边为偶数，所以， 综上得，对任意或 所以数列的所有项的和为． 21. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）记向量的相伴函数为，求当且时，的值; （2）设函数，试求的相伴特征向量，并求出与共线的单位向量; （3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标;若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）和 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用相伴特征向量的定义、函数定义域及三角恒等变换公式即可求解； （2）利用相伴特征向量的定义，求出相伴特征向量，根据共线单位向量的定义即可求解； （3）利用向量的数量积和垂直的充要条件的应用，即可求解. 【小问1详解】 由已知可得：， 所以， 因为， 所以，所以， 所以， 所以 ， ， 【小问2详解】 ， ， ， ， 所以，， ， 所以与共线的单位向量为和. 【小问3详解】 ， 因为为的相伴特征向量， 所以，解得， 所以， 所以， ， 假设在的图象上是否存在一点，使得， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以， 令， 令， 所以， ， 当时，；当时，，， 所以， 因为， 所以当且仅当且时，成立， 此时，且，即点， 所以的图象上是存在一点，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南模中学2023学年第二学期高一年级数学期末 2024.06 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知，则______． 2. 已知向量，则________. 3. 在半径为1的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为__________. 4. 已知复数满足：，则______． 5. 若向量，的夹角为，，，则_______． 6. 在公差为正数等差数列中，若，，，成等比数列，则数列的前10项和为____________. 7. 已知平面向量与夹角为，若，，则在上的投影向量的坐标为______. 8. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是_____________． 9. 已知数列满足：，，且是递增数列，则实数的取值范围是__． 10. 如图，在扇形AOB中，，，点C在扇形AOB内部，，，则阴影部分的面积为______． 11. 设为平面内的任意两个向量，定义一种向量运算“”：对于同一平面内的向量，给出下列结论： ①；②； ③；④若是单位向量，则． 以上所有正确结论的序号是______． 12. 欧拉函数的函数值等于所有不超过且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个整数称为互质整数），例如：，．记，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为______． 二､选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 在公差为的等差数列中，，则（ ） A. 1或2 B. 1 C. D. 14. 下列函数在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知复数、在复平面内对应的点分别为、，（为坐标原点），且，则对任意，下列选项中为定值的是（ ） A. B. C. 的周长 D. 的面积 16. 在中，为线段上的动点，且，则的最小值为（） A. 4 B. C. 2 D. 三､解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位. （1）求的值; （2）记复数，求复数模. 18. 已知向量，，函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，求函数的值域. 19. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式与单调增区间； （2）若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，写出图象的对称中心的坐标，并求当时，的最值. 20. 若数列满足，从数列中任取2项相加，把所有和的不同值按照从小到大排成一列，称为数列的和数列，记作数列． （1）已知等差数列的前n项和为，且． ①若，，求通项公式，并写出的前5项； ②若，，求数列的前50项的和； （2）若，证明：对任意或，，并求数列的所有项的和． 21. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）记向量的相伴函数为，求当且时，的值; （2）设函数，试求相伴特征向量，并求出与共线的单位向量; （3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标;若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$