精品解析：江西省上饶市余干县私立蓝天中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题

高二数学期末卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，进而求出倾斜角. 【详解】由直线经过两点，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，有，又，所以. 故选：C. 2. 直线被圆所截得的弦长为（ ） A. 2 B. C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】判断出圆心在直线上即可求解. 【详解】圆即，故圆心为， 显然圆心在直线上， 故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为. 故选：C． 3. 变量，之间有如下对应数据： 4 4.5 5.5 6 12 11 10 已知变量对呈线性相关关系，且回归方程为，则的值是（    ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】计算出，代入回归方程，求出的值. 【详解】， 则有，解得 故选：B. 4. 已知空间向量，，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量运算的坐标表示进行计算即可. 【详解】由题意可得， 因为，所以， 解得. 故选：D. 5. 有下列四个命题： （1）已知A，B，C，D是空间任意四点，则； （2）若两个非零向量与满足，则； （3）分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量； （4）对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若当时，（x，y，），则P，A，B，C四点共面． 其中正确命题的个数是（ ） A 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的概念与运算、共面向量定理对4个命题分别进行判断，即可得出结论． 【详解】对于（1），A，B，C，D是空间任意四点， 则成立，（1）正确； 对于（2），若两个非零向量与满足，即， 则，（2）正确； 对于（3），因为空间任意两个向量共面，因此分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线， 这两个向量是共面向量，（3）错误； （4）对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C， 若xyz（x，y，）， 当且仅当时成立，则P，A，B，C四点共面，（4）正确， 所以正确命题的个数是3个． 故选：A 6. 已知α、β是空间中两个不重合的平面，m、n是空间中两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由平面的基本性质，结合线线、线面关系及平面法向量概念判断各项正误. 【详解】A：若，，则或，错； B：若，，则与相交或，不一定有，错； C：若，，，则平行或相交，错； D：若，，则直线的方向向量分别为的法向量， 又，即平面法向量垂直，所以，对. 故选：D 7. 已知椭圆的右顶点为A，上、下顶点分别为，，是的中点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意结合斜率关系可得，再结合以及离心率的定义分析求解. 【分析】由题意可知：，，，则的中点， 因为，整理得， 又因为，即，整理得， 所以椭圆的离心率为. 故选：D． 8. 如图，正方体的棱长为2，是的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， ， 所以点到直线的距离为. 故选：D 二、多选题（共20分） 9. 若直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2，则实数c的值为（ ） A. 9 B. －9 C. 11 D. －11 【答案】BC 【解析】 【分析】根据两平行线的距离公式列方程求解即可. 【详解】∵直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为，∴， 即，解得或. 故选：BC. 10. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为椭圆 B. 若，则为双曲线 C. 若为椭圆，则其长轴长一定大于2 D. 曲线不能表示圆 【答案】BC 【解析】 【分析】A，B项，求出的范围，即可判断曲线的形状；C项，求出为椭圆时的范围，分类讨论即可得出其长轴长的范围；D项，通过A选项即可得出结论. 【详解】由题意， 在曲线中， A项，当时，， 但当即时，曲线为圆，故A错误； B项，当时，，为双曲线，B正确； C项，若为椭圆，由A选项知，， 当时，， ∴长轴为， 当时， ∴长轴为，故C正确； D项，由A知当时，曲线为圆，D错误. 故选：BC. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为15 B. 若随机变量X服从正态分布，且，则 C. 两个变量的线性相关性越强，则线性相关系数r越接近1 D. 对具有线性相关关系得变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用百分位数的定义即可判断选项A，利用正态分布的性质即可判断选项B，根据线性相关系数的性质即可判断选项C，利用线性回归方程中的基本量即可判断选项D. 【详解】因为，所以第百分位数为，A正确； 若随机变量服从正态分布，且， 则， 则，B正确； 若线性相关系数越接近， 则两个变量的线性相关性越强，C错误； 对于D，样本点的中心为， 所以，， 因为此时线性回归方程为， 所以，所以，D正确. 故选：ABD 12. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 所有二项式系数之和为 B. 第4项的二项式系数最大 C. 所有项的系数的和为 D. 的系数是 【答案】ABC 【解析】 【分析】由二项式系数的性质可判断AB，令可判断C，由通项公式可判断D 【详解】在的展开式中，所有二项式系数之和为，故A正确； 的展开式共有7项，其中最中间的第4项的二项式系数最大，故B正确； 令，则在的展开式中，所有项的系数的和为，故C正确； 的展开式的通项公式为， 令，得，此时的系数是，故D错误； 故选：ABC 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（共20分） 13. 从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和不小于5的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】写出基本事件空间，利用古典概型公式求概率. 【详解】从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所有可能情况为，，，，，，共6种情况，两个数之和不小于5的情况有，，，，共4种，所以概率为. 故答案为：. 14. 已知方程表示的圆中，当圆面积最小时，此时 ____________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据圆的半径最小时圆的面积最小，然后考察圆的半径即可. 【详解】由，得， 易知当，圆的半径最小，即圆的面积最小. 故答案为：0 15. 若向量，，共面，则______________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共面向量定理列式计算即得. 【详解】由，，得不共线， 由共面，得，即， 则，解得， 所以. 故答案为：2 16. 某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的，男性占近期购车车主总数的，女性购车车主有购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率是__________. 【答案】0.7## 【解析】 【分析】根据题意，由全概率公式将购买新能源的分为男性购买新能源和女性购买新能源列出关系求解即可. 详解】设男性中有购买了新能源车，则，解得， 所以男性购车时，选择购买新能源车的概率是0.7. 故答案为：0.7 四、解答题（共70分） 17. 已知直线：和圆：. （1）求与直线垂直且经过圆心的直线的一般方程； （2）求与直线平行且与圆相切的直线的一般方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）待定系数法设出与直线垂直的直线，代入圆心坐标计算即可得； （2）待定系数法设出与直线平行的直线，借助与圆相切的性质计算即可得. 【小问1详解】 设与直线垂直的直线为 圆可化为，圆心为， 又因为直线经过圆心，所以，即， 故所求直线方程为； 【小问2详解】 设与直线平行的直线为. 又因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径， 即， 所以，或5， 故所求直线方程为或. 18. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是．现从甲乙口袋各摸一个球，求下面四个事件的概率： （1）2个球都是红球； （2）2个球中恰好有1个红球； （3）2个球不都是红球； （4）至少有1个是红球． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）. 【解析】 【分析】（1）（2）（3）（4）利用独立事件、互斥事件以及对立事件的概率求法求各事件对应概率即可. 【小问1详解】 甲乙各摸一个球相互独立，2个球都是红球概率为； 【小问2详解】 2个球中恰好有1个红球概率为； 【小问3详解】 由（1），根据对立事件概率求法，2个球不都是红球概率为； 【小问4详解】 由（1）（2）知：根据互斥事件概率求法，至少有1个是红球概率为. 19. 随着互联网的发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给人们生活便捷与高效工作的同时，网络犯罪也日益增多．为了防范网络犯罪与网络诈骗，某学校举办“网络安全宣传倡议”活动．该学校从全体学生中随机抽取了100名男生和100名女生对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查．下面是问卷调查得分的频率分布表： 成绩（分） 频率 将得分不低于70分的学生视作了解，已知有50名男生问卷调查得分不低于70分． （1）根据已知条件完成下面列联表； 男 女 合计 了解 不了解 合计 （2）判断是否有的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关？ 参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）列联表见解析 （2）有的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关 【解析】 【分析】（1）根据频率分布表求出问卷调查结果为“了解”的学生人数，从而求出其中女生的人数，即可得到列联表； （2）计算出卡方，即可判断. 【小问1详解】 问卷调查结果为“了解”的学生人数为， 又因为其中男生有人，所以其中女生有人， 所以列联表如下： 男 女 合计 了解 50 35 85 不了解 50 65 115 合计 100 100 200 【小问2详解】零假设：对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别无关， 由（1）可得， 根据小概率的独立性检验，我们推断不成立， 即认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于， 即有的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关. 20. 如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点． (Ⅰ)求证：平面； (Ⅱ)求与平面所成角正弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析；(Ⅱ) . 【解析】 【分析】(Ⅰ) 取的中点，连结，，推导出四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面． (Ⅱ) 取中点，连结，以为原点，分别以为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（Ⅰ）证明：取的中点，连结，，在中， 因为、分别为，的中点，所以且， 又为中点，， ∴且，即且， 故四边形为平行四边形，∴ 又平面，平面， ∴平面 (Ⅱ)取中点，连结， 则，平面 以为原点，分别以为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系 则有， 得设平面的一个法向量为 则，即，令，则， 设与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【点睛】本题考查线面的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想． 21. 已知双曲线一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线交于、两点，线段的中点为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据已知条件渐近线与直线垂直，右顶点到该条渐近线的距离为，列等量关系即可求得双曲线方程；(2)用点差法，设而不求，即可得到直线的斜率，进而求得方程. 【小问1详解】 因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线的斜率为，且双曲线的渐近线为，则，可得， 所以，双曲线的渐近线方程为，即， 因为右顶点到该条渐近线的距离为，所以， 解得，所以，所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 若直线轴，则、关于轴对称，此时，线段的中点在轴上，不合乎题意， 设、，设直线的斜率为，则， 则，所以， 化简得. 因为线段的中点为，所以，， 所以，解得，双曲线渐近线为，直线斜率大于渐近线斜率， 故过点的直线与双曲线有两个交点.所以直线的方程为. 22. 甲､乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢3局的学校获胜，比赛结束)，约定比赛规则如下：先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为.每局比赛结果相互独立. （1）求甲校以3：1获胜的概率； （2）记比赛结束时女生比赛的局数为，求的概率分布. 【答案】（1）；（2）分布列答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件概率乘法公式计算出所求概率. （2）根据相互独立事件概率乘法公式计算出所求分布列. 【详解】（1）甲校以3：1获胜，则甲校在第四局获胜，前三局胜两局， . （2）的所有可能取值为1，2，3， ， ， ， 故的概率分布为： 1 2 3 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学期末卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线被圆所截得的弦长为（ ） A. 2 B. C. D. 10 3. 变量，之间有如下对应数据： 4 4.5 5.5 6 12 11 10 已知变量对呈线性相关关系，且回归方程为，则的值是（    ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 4. 已知空间向量，，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 5. 有下列四个命题： （1）已知A，B，C，D空间任意四点，则； （2）若两个非零向量与满足，则； （3）分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量； （4）对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若当时，（x，y，），则P，A，B，C四点共面． 其中正确命题个数是（ ） A 3 B. 2 C. 1 D. 0 6. 已知α、β是空间中两个不重合的平面，m、n是空间中两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C 若，，，则 D. 若，，，则 7. 已知椭圆的右顶点为A，上、下顶点分别为，，是的中点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方体的棱长为2，是的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共20分） 9. 若直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2，则实数c的值为（ ） A. 9 B. －9 C. 11 D. －11 10. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为椭圆 B. 若，则为双曲线 C. 若为椭圆，则其长轴长一定大于2 D. 曲线不能表示圆 11. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为15 B. 若随机变量X服从正态分布，且，则 C. 两个变量的线性相关性越强，则线性相关系数r越接近1 D. 对具有线性相关关系得变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 12. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 所有二项式系数之和为 B. 第4项的二项式系数最大 C. 所有项的系数的和为 D. 的系数是 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（共20分） 13. 从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和不小于5的概率为______. 14. 已知方程表示的圆中，当圆面积最小时，此时 ____________. 15. 若向量，，共面，则______________． 16. 某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的，男性占近期购车车主总数的，女性购车车主有购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率是__________. 四、解答题（共70分） 17. 已知直线：和圆：. （1）求与直线垂直且经过圆心的直线的一般方程； （2）求与直线平行且与圆相切的直线的一般方程. 18. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是．现从甲乙口袋各摸一个球，求下面四个事件的概率： （1）2个球都是红球； （2）2个球中恰好有1个红球； （3）2个球不都是红球； （4）至少有1个是红球． 19. 随着互联网的发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给人们生活便捷与高效工作的同时，网络犯罪也日益增多．为了防范网络犯罪与网络诈骗，某学校举办“网络安全宣传倡议”活动．该学校从全体学生中随机抽取了100名男生和100名女生对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查．下面是问卷调查得分的频率分布表： 成绩（分） 频率 将得分不低于70分的学生视作了解，已知有50名男生问卷调查得分不低于70分． （1）根据已知条件完成下面列联表； 男 女 合计 了解 不了解 合计 （2）判断是否有的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关？ 参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 20. 如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点． (Ⅰ)求证：平面； (Ⅱ)求与平面所成角的正弦值． 21. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线交于、两点，线段的中点为，求直线的方程. 22. 甲､乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢3局的学校获胜，比赛结束)，约定比赛规则如下：先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为.每局比赛结果相互独立. （1）求甲校以3：1获胜的概率； （2）记比赛结束时女生比赛的局数为，求的概率分布. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$