专题1.5 解一元二次方程（公式法与因式分解法）（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.5 解一元二次方程（公式法与因式分解法）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 2.一元二次方程根的判别式 3. 用公式法解一元二次方程的步骤 　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； 　②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根. 【知识点二】因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 　（1）将方程右边化为0； 　（2）将方程左边分解为两个一次式的积； 　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】用公式法解一元二次方程 【例1】（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）解下列一元二次方程 (1) （公式法） (2) （公式法） 【变式1】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3). 【变式2】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【题型2】公式法解一元二次方程的应用 【例2】（2024·辽宁抚顺·二模）在中，，，且．将沿方向平移得，连接．当时，平移的距离为 ． 【变式1】（22-23九年级上·黑龙江鸡西·期中）三角形两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（　　） A． B．10 C． D．或10 【变式2】如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则（    ） A． B． C． D． 【题型3】用因式分解法解一元二次方程 【例3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用因式分解法解方程: (1)； (2) 【变式1】（23-24八年级下·全国·假期作业）用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【变式2】（23-24八年级下·全国·假期作业）用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【题型4】因式分解法解一元二次方程的应用 【例4】（23-24八年级下·四川成都·期中）关于x的方程无解，则 ． 【变式1】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，当时，x的值为（   ）    A．1 B．2 C．1或3 D．2或4 【变式2】（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程（m是常数），若一个等腰三角形的一边长为6，另两边长是该方程的两个实数根，则该三角形的周长为（　　） A．17或19 B．15或17 C．13或15 D．17 【题型5】用适当的方法解一元二次方程 【例5】（2024八年级下·浙江·专题练习）选择适当方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式1】选择适当方法解方程： (1)． (2)． 【变式2】（23-24八年级下·安徽宣城·期末）用适当方法解方程： (1)； (2)． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）方程的解为 ． 【例2】（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为 ． 2、拓展延伸 【例1】（2024·广西河池·一模）解方程：． 【例2】（2024八年级下·安徽·专题练习）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 解一元二次方程（公式法与因式分解法）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 2.一元二次方程根的判别式 3. 用公式法解一元二次方程的步骤 　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； 　②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根. 【知识点二】因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 　（1）将方程右边化为0； 　（2）将方程左边分解为两个一次式的积； 　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】用公式法解一元二次方程 【例1】（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）解下列一元二次方程 (1) （公式法） (2) （公式法） 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； （）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； 本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程的步骤． 解：（1），，， ， ∴， ∴，； （2），，， ， ∴， ∴，． 【变式1】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)， (2)，. (3) 解：（1）∵，，， ∴， ∴，即，. （2）移项，得， ∴，，， ∴， ∴，即，. （3）∵，，， ∴， ∴，即. 【变式2】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)方程无解 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． （1）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： ∴， ∴， ∴原方程无解． 【题型2】公式法解一元二次方程的应用 【例2】（2024·辽宁抚顺·二模）在中，，，且．将沿方向平移得，连接．当时，平移的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、平移的性质，解一元二次方程，根据平移的性质和平行线的性质，可以得到，再根据勾股定理，即可求得平移的距离． 解：由题意可得， ，， ， ， 设，则， ，，，， ， ， ， 解得 舍去， 故答案为：． 【变式1】（22-23九年级上·黑龙江鸡西·期中）三角形两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（　　） A． B．10 C． D．或10 【答案】A 【分析】直接利用公式法解方程，再利用三角形三边关系即可得出答案. 解：，， ∴， 解得：，， ∵， ∴2，3，5无法构成三角形， ∴这个三角形的三边长为：2，3，， 其周长为：. 故选A. 【点拨】本题考查了三角形三边关系以及公式法解方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键. 【变式2】如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为，右图是一个长方形，长宽分别为、，并且它们的面积相等，由此即可列出等式，解方程即可求出． 解：依题意得， 整理得：， 则， 方程两边同时除以， ， （负值已经舍去）， 故选：C． 【点拨】此题主要考查了图形的剪拼，此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题． 【题型3】用因式分解法解一元二次方程 【例3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用因式分解法解方程: (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的方法是解题的关键； （1）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程； （2）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． （1）解：移项，得：， 因式分解，得： 于是，得：或， ∴，． （2）移项，得， 即， 因式分解，得：， 整理，得：， 于是，得或， ∴，． 【变式1】（23-24八年级下·全国·假期作业）用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【解析】（1）方程左右两边都有因式，先移项，然后利用提公因式法将等式的左边因式分解；（2）直接利用平方差公式将方程的左边因式分解． 解：（1）移项，得， ∴，即， ∴或，∴，． （2）因式分解，得．化简，得， ∴或，∴，． 【变式2】（23-24八年级下·全国·假期作业）用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 解：（1）， 或， ，． （2）原方程可化为， ， 或， ，． 【题型4】因式分解法解一元二次方程的应用 【例4】（23-24八年级下·四川成都·期中）关于x的方程无解，则 ． 【答案】0或6/6或0 【分析】本题考查分式方程无解求参数的值，将分式方程转化为整式方程后，根据分式方程无解分两种情况：整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解即可． 解：方程去分母，得：， 整理，得：， ∵方程无解， ∴， ∴或， 当时，，当时，； 故答案为：0或6． 【变式1】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，当时，x的值为（   ）    A．1 B．2 C．1或3 D．2或4 【答案】C 【分析】本题考查了两直线交点问题，一元二次方程的求解，将交点代入正比例函数求出n的值，再代入一次函数求出m的值，得出，进行求解即可． 解：将点代入正比例函数，得：， 代入一次函数，得，解得：， ，， ， 解得：或3， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程（m是常数），若一个等腰三角形的一边长为6，另两边长是该方程的两个实数根，则该三角形的周长为（　　） A．17或19 B．15或17 C．13或15 D．17 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及一元二次方程与几何的综合应用．熟练掌握一元二次方程的判别式与根的个数的关系，一元二次方程的解的定义，是解题的关键．根据方程有两个实数根，得到6是等腰三角形的腰长，是方程的一个根，进行求解即可． 解：∵一元二次方程有两个实数根， ， ； 不管m去何值，方程都有两个不相等的实数根， 一个等腰三角形的一边长为6，另两边长是该方程的两个实数根， ∴6是腰长，是方程的一个根， ∴，整理，得：， 解得：或， 当时，， 解得， 此时等腰三角形的三边长：，周长； 当时，， 解得， 此时等腰三角形的三边长：，周长． 故选：A． 【题型5】用适当的方法解一元二次方程 【例5】（2024八年级下·浙江·专题练习）选择适当方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程中的公式法和直接开平方法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用公式法求解即可． （1）解：， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， ∴，，， 则， ∴， 即，． 【变式1】选择适当方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解题的关键． （1）方程两边都除以2，再开方，求出方程的解即可； （2）先利用提取公因式法把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． （1）解：， 方程两边同除以2，得：， 开方，得：， 解得：，； （2）解：， ， ， 或， 解得：，． 【变式2】（23-24八年级下·安徽宣城·期末）用适当方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程．根据方程的特征选择恰当方法求解是解题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． （1）解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，． （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）方程的解为 ． 【答案】 【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出的值． 解：， 方程两边同时乘以得，， ， ， ， 或． 经检验时，，故舍去． 原方程的解为：． 故答案为：． 【点拨】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况． 【例2】（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解． 解：∵， ∴， 将代入 得，， 即：， ， ∴或， ∵， ∴舍， ∴， 故答案为：3． 2、拓展延伸 【例1】（2024·广西河池·一模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解可以化为一元二次方程的分式方程等知识．设，原方程变为，解得或．再分别代入，求出，或或，代入最简公分母进行检验即可求解． 解：设，则， 原方程变为， 去分母得：， 解得或． 当时，去分母得：， 解得：； 当时，去分母得：， 解得：或， 检验：当时，，当或时，， ∴分式方程的解为． 【例2】（2024八年级下·安徽·专题练习）． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，将看作一个整体，设，利用因式分解法求得的值，进而即可求得． 解：设，则原方程即， ∴， ∴或， 解得或， ∴或， 解得，或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$