专题1.3 解一元二次方程（直接开平方法与配方法）（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.3 解一元二次方程（直接开平方法与配方法）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 【知识点二】一元二次方程的解法---配方法 　 （1）配方法解一元二次方程： 　　　 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 　　(2)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 　　　①把原方程化为的形式； 　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 【知识点三】配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】解一元二次方程（直接开平方法） 【例1】（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1) ； (2) ． 【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）方程的根是（　　） A． B．4 C．或4 D．无解 【变式2】（22-23九年级下·广东河源·开学考试）方程的根是 ． 【题型2】解一元二次方程（配方法） 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式1】（22-23九年级上·山东青岛·期中）用配方法解下列方程时，配方正确的是（    ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）关于的方程无实数根，那么满足的条件是 ． 【题型3】配方法的应用（求最值） 【例3】先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题． 求代数式y2+4y+8的最小值． 解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0， ∴（y+2）2+4≥4 ∴y2+4y+8的最小值是4． （1）求代数式m2+m+1的最小值； （2）求代数式4﹣x2+2x的最大值． 【变式1】已知关于x的多项式的最大值为5，则m的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（21-22八年级上·上海宝山·阶段练习）当x＝ 二次根式有最小值，最小值为 ． 【题型4】配方法的应用（比较大小或求取值范围） 【例4】（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 【变式1】已知，（为任意实数），那么、的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式2】（23-24九年级上·广东广州·期中）已知多项式，若无论取何实数，的值都不是负数，则的取值范围是 ． 【题型5】配方法的应用（求值） 【例5】（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）已知，求代数式的值． 【变式1】（23-24八年级下·重庆·阶段练习）若，则的值为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【变式2】（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知x为实数，且满足，那么 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【例2】（2023·新疆·中考真题）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 2、拓展延伸 【例1】（2024八年级下·上海·专题练习）解方程组：． 【例2】（23-24八年级下·广西梧州·期中）先阅读下面内容，再解决问题： 若关于、的方程，求、的值． 解；因为 所以 所以 即 所以， 所以， 解得， （1）模仿阅读内容解关于、的方程，已知，求、的值； （2）若、是方程的解，求关于的一次函数图象与坐标轴交点所围成的三角形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 解一元二次方程（直接开平方法与配方法）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 【知识点二】一元二次方程的解法---配方法 　 （1）配方法解一元二次方程： 　　　 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 　　(2)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 　　　①把原方程化为的形式； 　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 【知识点三】配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】解一元二次方程（直接开平方法） 【例1】（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】对于形如的方程，直接开平方，转化为一元一次方程，，求解． 解：（1）由原方程，得， ∴， ∴，． （2）， ， ， 或， ∴，． 【点拨】本题考查直接开平方法求解一元二次方程；理解平方根的表示及求解是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）方程的根是（　　） A． B．4 C．或4 D．无解 【答案】C 【分析】利用直接开方法求解即可． 解：， 开方得：， 即或， 解得：，. 故选C． 【点拨】本题考查直接开方法，掌握直接开方法是解题的关键． 【变式2】（22-23九年级下·广东河源·开学考试）方程的根是 ． 【答案】 【分析】利用直接开平方法解二元一次方程即可． 解：∵， ∴或， 解得． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，根据方程的特点选择简便的方法是解题的关键． 【题型2】解一元二次方程（配方法） 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无实数根 (2)， 【分析】（1）将常数项移到方程右边，左边化的形式，方程右边小于0，故无解； （2）将方程化为，开平方求解； 解：（1）原方程为， 则， ∴， ∴原方程无实数根； （2）原方程为， ∴， ∴， ∴， ∴，即，． 【点拨】本题考查配方法求解一元二次方程；根据等式性质，将方程化为是解题的关键． 【变式1】（22-23九年级上·山东青岛·期中）用配方法解下列方程时，配方正确的是（    ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 【答案】D 【分析】根据配方法求解一元二次方程的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案. 解：∵ ∴ ∴，故选项A错误，不符合题意； ∵ ∴ ∴，故选项B错误，不符合题意； ∵ ∴ ∴ ∴，故选项C错误，不符合题意； ∵ ∴ ∴ ∴，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法求解一元二次方程的性质，从而完成求解． 【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）关于的方程无实数根，那么满足的条件是 ． 【答案】/ 【分析】根据任意实数的平方为非负数得到关于参数的不等式，求解即可． 解：由题意，得，解得； 故答案为： 【点拨】本题考查配方法求解一元二次方程，平方数的非负性；掌握平方数的非负性是解题的关键． 【题型3】配方法的应用（求最值） 【例3】先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题． 求代数式y2+4y+8的最小值． 解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0， ∴（y+2）2+4≥4 ∴y2+4y+8的最小值是4． （1）求代数式m2+m+1的最小值； （2）求代数式4﹣x2+2x的最大值． 【答案】（1）；（2）5． 【分析】（1）根据题中的解法即可得到答案；（2）同理（1）. 解：（1）m2+m+1=m2+m++=（m+）2+≥， 则m2+m+1的最小值是； （2）4﹣x2+2x=﹣x2+2x﹣1+5=﹣（x﹣1）2+5≤5， 则4﹣x2+2x的最大值是5． 【点拨】本题主要考查了配方法与偶次方的非负性，解此题的关键在于利用配方法得到完全平方式，再利用非负数的性质即可得解. 【变式1】已知关于x的多项式的最大值为5，则m的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先把多项式配方，从而得=5，进而即可得到结论． 解：∵=， 又∵关于x的多项式的最大值为5， ∴=5，解得：m=±2， ∴m的值可能为2． 故选B． 【点拨】本题主要考查多项式的最值问题，掌握配方法是解题的关键． 【变式2】（21-22八年级上·上海宝山·阶段练习）当x＝ 二次根式有最小值，最小值为 ． 【答案】 -1 【分析】把配方得：，即可解决． 解： ∵ ∴ 当x=-1时，有最小值，从而有最小值，且最小值为 故答案为：-1， 【点拨】本题考查了配方法及求最小值，关键是配方． 【题型4】配方法的应用（比较大小或求取值范围） 【例4】（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 【答案】（1），，；（2）总有，理由见解析；（3） 【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小． （1）当时，当时，当时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即可； （2）根据，即可得出无论取什么值，判断与有； （3）拓展：先求出，再判断的正负，即可做出判断． 解：（1）①当时，，，则， ②当时，，，则， ③当时，，，则． 故答案为：；；； （2）无论取什么值，判断与有， 理由如下： ， 无论取什么值，总有； （3）拓展： ， 故． 【变式1】已知，（为任意实数），那么、的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】利用作差法判断与大小即可． 解：，（为任意实数）， ， ， 即， 则． 故选：B． 【点拨】本题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，数量掌握完全平方公式是解题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·广东广州·期中）已知多项式，若无论取何实数，的值都不是负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查配方法的应用，根据配方法可进行求解． 解： ∵无论取何实数，的值都不是负数， ∴ ∴， 故答案为：． 【题型5】配方法的应用（求值） 【例5】（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，利用配方法将原式变形后，把的值代入计算即可求解，掌握配方法是解题的关键． 解： ． ． ． 【变式1】（23-24八年级下·重庆·阶段练习）若，则的值为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】 本题考查了配方法的应用、已知式子的值，求代数式的值，先整理，以及把化为，再把，代入计算化简，即可作答． 解：∵ ∴， 则 把，代入上式，得 故选：A 【变式2】（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知x为实数，且满足，那么 【答案】1 【分析】本题考查了因式分解解一元二次方程的应用，根据原式，得，把看作一个整体，令每个因式为0，即可作答． 解：∵ ∴ 则 解得 ∵当时，，不存在实数使得， 那么 故答案为：1． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 【例2】（2023·新疆·中考真题）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点拨】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 2、拓展延伸 【例1】（2024八年级下·上海·专题练习）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．移项后配方，再开方，求出，再求，最后进行检验即可． 解：， 移项，得， 配方，得， ， 开方，得， 或， ， 舍去， 即， 方程两边平方得：， 经检验：是原方程的解， 所以原方程的解是． 【例2】（23-24八年级下·广西梧州·期中）先阅读下面内容，再解决问题： 若关于、的方程，求、的值． 解；因为 所以 所以 即 所以， 所以， 解得， （1）模仿阅读内容解关于、的方程，已知，求、的值； （2）若、是方程的解，求关于的一次函数图象与坐标轴交点所围成的三角形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了配方法的应用，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握配方法和一次函数的性质． （1）根据题意把方程进行配方即可求解； （2）先根据配方法求出、，进而得到一次函数的解析式，再求出一次函数与坐标轴的交点坐标，最后利用三角形面积公式求解即可． （1）解： 即， ， 解得：，； （2） 即 ， 解得， 将，代入一次函数，得， 令，则；令，则，解得； 该函数与轴的交点为，于轴的交点为 一次函数的图像与坐标轴交点所围成的三角形的面积为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$