专题1.1 一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.1 一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】一元二次方程的定义 （1）一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数次数的最高次数是2次的整式方程，叫做一元二次方程. （2）构成一元二次方程必须同时满足三个条件：①原方程是整式方程；②整理后的方程只含有一个未知数；③整理后的方程含未知数的最高次数是2. 【知识点二】一元二次方程的一般形式 一般形式 项及项的系数 二次项为 二次项系数为 一次项为一次项系数为 常数项为 特点 方程左边是关于未知数的二次整式，一般按未知数幂降幂排列，方程右边为0. 【知识点三】一元二次方程的解（根） 概念 使方程左右两边相等的未知数的值叫这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 判断一个数是不是一元二次方程的解（根）的方法（代入检验法） 若一元二次方程有解，则这个解一定有两个 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】一元二次方程的概念易忽视 【例1】（23-24九年级上·广西河池·期中）已知关于x的方程 （1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【变式1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·山东东营·二模）如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是 ． 【题型2】一元二次方程的一般形式 【例2】（22-23九年级·江苏·假期作业）将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项： （1）； （2）． 【变式1】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一元二次方程的一般形式（二次项系数为正）为 ． 【题型3】一元二次方程的解（根）的估算 【例3】（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【变式1】（23-24九年级上·福建宁德·阶段练习）根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（    ） 0 1 A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2 【变式2】（23-24九年级上·广东深圳·期中）如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 【题型4】一元二次方程的解（根）中的整体思想求值（解） 【例4】（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，求的值． 【变式1】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．2022 B． C．2023 D． 【变式2】（2024·江苏常州·二模）已知m为方程 的一个根，则代数式的值是 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 【例2】（2023·湖南娄底·中考真题）若m是方程的根，则 ． 2、拓展延伸 【例1】（2024·广东·三模）（1）解不等式组：； （2）若（1）中不等式组的整数解是关于x的一元二次方程的一个解，求m的值． 【例2】已知方程． （1）当为何值时，它是一元二次方程？ （2）当为何值时，它是一元一次方程？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】一元二次方程的定义 （1）一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数次数的最高次数是2次的整式方程，叫做一元二次方程. （2）构成一元二次方程必须同时满足三个条件：①原方程是整式方程；②整理后的方程只含有一个未知数；③整理后的方程含未知数的最高次数是2. 【知识点二】一元二次方程的一般形式 一般形式 项及项的系数 二次项为 二次项系数为 一次项为一次项系数为 常数项为 特点 方程左边是关于未知数的二次整式，一般按未知数幂降幂排列，方程右边为0. 【知识点三】一元二次方程的解（根） 概念 使方程左右两边相等的未知数的值叫这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 判断一个数是不是一元二次方程的解（根）的方法（代入检验法） 若一元二次方程有解，则这个解一定有两个 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】一元二次方程的概念易忽视 【例1】（23-24九年级上·广西河池·期中）已知关于x的方程 （1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元一次方程的定义以及一元二次方程的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． （1）解：∵是一元一次方程， ∴， 解得． 即时，此方程是一元一次方程； （2）∵是一元二次方程， ∴， 解得． 即时，此方程是一元二次方程． 【变式1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是整式方程，含有一个未知数； 解：A、当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、，不是整式方程，故本选项不符合题意； C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（2024·山东东营·二模）如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解的定义，首先把方程的解代入原方程中即可求出待定字母的值，然后就可以求出方程的解； 由于的一元二次方程有一个根为0，直接把代入方程中，二次项系数不为0，即可求出的值． 解：∵关于的一元二次方程有一个根为0， 将代入原方程中得 当时， 故答案为：． 【题型2】一元二次方程的一般形式 【例2】（22-23九年级·江苏·假期作业）将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项： （1）； （2）． 【答案】(1)二次项系数为3，一次项系数为，常数项为2；(2)二次项系数为，一次项系数为1，常数项为 【分析】（1）一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常数且），a，b，c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，据此解答即可； （2）一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常数且），a，b，c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，据此解答即可． （1）解：∵化为一般形式为， ∴二次项系数为3，一次项系数为，常数项为2； （2）∵化为一般形式为 ， ∴二次项系数为，一次项系数为1，常数项为． 【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【变式1】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式，根据完全平方公式、移项法则把原方程化为一般形式，根据题意列出方程，解方程得到答案． 解：， 则， ∴， 由题意得：，， 解得：，， 故选：． 【变式2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一元二次方程的一般形式（二次项系数为正）为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项；c叫做常数项． 首先去括号，然后移项，把等号右边化为0，再合并同类项即可． 解： ， 故答案为：． 【题型3】一元二次方程的解（根）的估算 【例3】（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【分析】（1）第一步: 代入及, 可求出的的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 【点拨】本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. 【变式1】（23-24九年级上·福建宁德·阶段练习）根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（    ） 0 1 A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2 【答案】D 【分析】观察表格得：一元二次方程的解位于与之间，方程的正数解满足解的整数部分是1，十分位是2，即可求解． 解：观察表格得：一元二次方程的解位于与之间， ∴方程的正数解满足解的整数部分是1，十分位是2． 故选：D． 【点拨】本体主要考查了一元二次方程的解，根据表格得到方程的解位于与之间是解题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·广东深圳·期中）如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 【答案】 1.3 1.4 【分析】观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间． 解：根据表格可知，时，对应的的值在之间， 即：． 故答案为：1.3，1.4． 【点拨】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 【题型4】一元二次方程的解（根）中的整体思想求值（解） 【例4】（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据是一元二次方程的一个根，得出，，再整体代入求解即可． 解：由题意，将代入方程， 得， ∴，， ∴ ， ∴的值为2． 【变式1】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．2022 B． C．2023 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解, 先根据一元二次的定义得到，再用a表示得到，然后利用整体代入的计算所求代数式的值． 解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】（2024·江苏常州·二模）已知m为方程 的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解等知识点，先根据方程解的定义，化简关于m的方程，然后整体代入求值，掌握方程解的定义和整体代入的思想方法是解决本题的关键． ∵m为方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 解：∵m是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：． 【例2】（2023·湖南娄底·中考真题）若m是方程的根，则 ． 【答案】6 【分析】由m是方程的根，可得，把化为，再通分变形即可． 解：∵m是方程的根， ∴，即， ∴ ； 【点拨】本题考查的是一元二次方程的解的含义，分式的化简求值，准确的把原分式变形，再求值是解本题的关键． 2、拓展延伸 【例1】（2024·广东·三模）（1）解不等式组：； （2）若（1）中不等式组的整数解是关于x的一元二次方程的一个解，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定其整数解即可．本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． （2）根据方程的解的定义，代入解答即可． 本题考查了一元一次不等式组的解法，方程的解，解方程，熟练进行不等式组，解方程求解是解题的关键． 解：（1）令， 解不等式①，得，解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为； （2）由（1）知不等式组的整数解为， 将代入中，得， 解得． 【例2】已知方程． （1）当为何值时，它是一元二次方程？ （2）当为何值时，它是一元一次方程？ 【答案】（1）  （2）或 【分析】（1）根据一元二次方程的定义解答本题； （2）根据一次方程的定义可解答本题． 解：（1）方程为一元二次方程， ， 解得：， 所以当为或时，方程方程为一元二次方程； （2）方程为一元一次方程， 或或m=0 解得，或，m=0 ， 故当为2或时，方程方程为一元一次方程． 【点拨】本题考查一元一次方程的定义、一元二次方程的定义，解题关键是理解一元一次方程的定义和一元二次方程的定义，尤其是要注意一元一次方程的各种情况要考虑全面． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$