14.3因式分解讲义2023-2024学年人教版数学八年级上册

课 题 第14章整式的乘法和因式分解 14.3因式分解（教师版） 教学目标 1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系； 2.掌握因式分解法将多项式分解因式. 3.掌握好简单的分组分解法. 教学过程 【学生定位】 问题1因式分解 1.下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（　　） A．a（m+n）=am+an B．a2﹣b2﹣c2=（a﹣b）（a+b）﹣c2 C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1） D．x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x 考点：因式分解概念 【解答】解：（A）该变形为去括号，故A不是因式分解； （B）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解； （D）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解； 故选（C） 问题2 因式分解法 2．多项式m2﹣m与多项式2m2﹣4m+2的公因式是（　　） A．m﹣1 B．m+1 C．m2﹣1 D．（m﹣1）2 考点：提公因式法 【解答】解：m2﹣m=m（m﹣1），2m2﹣4m+2=2（m﹣1）（m﹣1）， m2﹣m与多项式2m2﹣4m+2的公因式是（m﹣1），故选：A． 3.下列因式分解正确的是（　　） A．a2﹣b2=（a﹣b）2 B．x2+4y2=（x+2y）2 C．2﹣8a2=2（1+2a）（1﹣2a） D．x2﹣4y2=（x+4y）（x﹣4y） 考点：因式分解法 【解答】解：A、应为a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故本选项错误； B、x2与4y2符号相同，不能进行因式分解，故本选项错误； C、2﹣8a2=2（1+2a）（1﹣2a），正确； D、应为x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y），故本选项错误． 故选C． 【问题考点】 问题1因式分解 对应知识点：因式分解的概念 问题2因式分解法 对应知识点：1、提公因式法；2、公式法；3、十字相乘法 【精准突破】 【精准突破1】因式分解 知识点一、把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【要点解读】 （1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形 （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 【例题精讲】 【例题1-1】 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． x2+2x﹣1=（x﹣1）2 B．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 C．x2+4x+4=（x+2）2 D．ax2﹣a=a（x2﹣1） 【解答】解：（A）x2﹣2x+1=（x﹣1）2，故A不是因式分解， （B）a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故B不是因式分解， （D）ax2﹣a=a（x2﹣1）=a（x+1）（x﹣1），故D分解不完全， 故选（C） 【例题1-2】若多项式x2﹣mx﹣21可以分解为（x+3）（x﹣7），则m=　 　． 【解答】解：∵（x+3）（x﹣7）=x2﹣4x﹣21， 又∵多项式x2﹣mx﹣21可以分解为（x+3）（x﹣7），∴m=4；故答案为：4． 【精准突破2】提公因式法 知识点一、公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 【要点解读】 （1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2） 公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3） 公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 知识点二、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 【要点解读】 （1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 . （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 【例题精讲】 【例题2-1】2x3y2与12x6y的公因式是（　　） A．xy B．x3y C．2x3y D．12x6y2 【解答】解：2x3y2与12x6y的公因式是2x3y．故选C． 【例题2-2】把多项式a2﹣4a分解因式，结果正确的是（　　） A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2） C．a（a+2）（ a﹣2） D．（a﹣2 ）2﹣4 【解答】解：a2﹣4a=a（a﹣4）．故选A 【例题2-3】已知a+b=3，ab=﹣4，则a2b+ab2的值为　 　． 【解答】解：∵a+b=3，ab=﹣3，∴a2b+ab2=ab（a+b）=4×（﹣3）=﹣12． 故答案为：﹣12 【精准突破3】公式法 知识点一、平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 【要点解读】（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点二、完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 【要点解读】（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数 （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 【例题精讲】 【例题3-1】多项式x2﹣4分解因式的结果是（　　） A．（x+2）（x﹣2） B．（x﹣2）2 C．（x+4）（x﹣4） D．x（x﹣4） 【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2），故选：A． 【例题3-2】多项式x2﹣2x+1因式分解，结果正确的是（　　） A．（x+1）2 B．（x+1）（x﹣1） C．（x﹣1）2 D．（x+1）（x﹣2） 【解答】解：原式=（x﹣1）2，故选C 【例题3-3】如果代数式x2+kx+49能分解成（x﹣7）2形式，那么k的值为（　　） A．7 B．﹣14 C．±7 D．±14 【解答】解：∵x2+kx+49=（x﹣7）2，∴k=﹣14，故选B 【精准突破4】十字相乘法 知识点一、利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 【要点解读】 （1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 【例题精讲】 【例题4-1】计算结果为x2+7x﹣18的是（　　） A．（x+2）（x﹣9） B．（x﹣2）（x+9） C．（x+3）（x+9） D．（x﹣3）（x+6） 【解答】解：x2+7x﹣18=（x﹣2）（x+9）．故选：B． 【例题4-2】若多项式x2+mx+12因式分解的结果是（x﹣2）（x﹣6），则m的值是（　　） A．8 B．﹣4 C．﹣8 D．4 【解答】解：由题意可知：x2+mx+12=（x﹣2）（x﹣6），∴x2+mx+12=x2﹣8x+12 ∴m=﹣8故选（C） 【例题4-3】若x2+4x+m=（x﹣2）（x+n），则m+n=　 　． 【解答】解：已知等式整理得：x2+4x+m=x2+（n﹣2）x﹣2n， 可得n﹣2=4，﹣2n=m，解得：m=﹣12，n=6，则m+n=﹣12+6=﹣6．故答案为：﹣6 【巩固练习】 【巩固一】因式分解 1．下列变形：①（x+1）（x﹣1）=x2﹣1；②9a2﹣12a+4=（3a﹣2）2；③3abc3=3c•abc2；④3a2﹣6a=3a（a﹣2）中，是因式分解的有　 　（填序号） 【解答】解：①（x+1）（x﹣1）=x2﹣1，是多项式乘法，故此选项错误； ②9a2﹣12a+4=（3a﹣2）2，是因式分解； ③3abc3=3c•abc2，不是因式分解； ④3a2﹣6a=3a（a﹣2），是因式分解； 故答案为：②④． 2、若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为　　． 解：（x+1）（x﹣2）=x2﹣2x+x﹣2=x2﹣x﹣2所以a=﹣1，b=﹣2，则a+b=﹣3． 故答案为：﹣3． 【巩固二】提公因式法 1、提出公因式 （1）多项式2a2b3+6ab2的公因式是　 　． （2）多项式2ab2﹣8a2b提出的公因式是　 　． （3）多项式6a2b+9ab2﹣15ab的公因式是　 　． 答案：2ab2，2ab，3ab 2、因式分解：m2﹣m=　 　． a2+a=　 　．5x3﹣10x2=　 　． m2（a﹣2）+m（2﹣a）　 　．（x+y）2﹣3（x+y）=　 　． 答案：m（m﹣1），a（a+1），5x2（x﹣2），m（a﹣2）（m﹣1），（x+y）（x+y﹣3） 3、先化简，再求值：已知a+b=2，ab=2，求a3b+2a2b2+ab3的值． 解：原式=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2， 当a+b=2，ab=2时，原式=2×22=8； 【巩固三】公式法 1、下列各多项式中：①x2﹣y2，②x3+2，③x2+4x，④x2﹣10x+25，其中能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），能用公式分解因式； ②x3+2，无法分解因式， ③x2+4x=x（x+4），不能运用公式法分解因式， ④x2﹣10x+25=（x﹣5）2，能用公式分解因式； 故选：B． 2、分解因式：16﹣x2=（　　） A．（4﹣x）（4+x） B．（x﹣4）（x+4） C．（8+x）（8﹣x） D．（4﹣x）2 【解答】解：16﹣x2=（4﹣x）（4+x）．故选：A． 3、 分解因式： x2﹣4=　 　． x2﹣6x+9=　　 ． 4a2﹣4a+1=　 　． 9﹣b2=　 　． m2﹣4n2=　 　． （a+b）2﹣4b2=　 　． 9x2﹣4=　 　． 4a2﹣25b2=　 　． 答案：（x+2）（x﹣2），（x﹣3）2，（2a﹣1）2，（3+b）（3﹣b），（m+2n）（m﹣2n） （a+3b）（a﹣b），（3x﹣2）（3x+2），（2a+5b）（2a﹣5b） 【巩固四】十字相乘法 1、把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（　　） A．a=﹣2，b=﹣3 B．a=2，b=3 C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3 【解答】解：根据题意得：x2+ax+b=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3，则a=﹣2，b=﹣3， 故选A 2、因式分解3ax2+9ax﹣12a=　 　． 【解答】解：原式=3a（x2+3x﹣4）=3a（x﹣1）（x+3） 3、因式分解x2﹣3x﹣10=　 　． 【解答】解：x2﹣3x﹣10=（x﹣5）（x+2） 【查缺补漏】 1、将3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）因式分解，应提的公因式是（　　） A．3x﹣9y B．3x+9y C．a﹣b D．3（a﹣b） 【解答】解：将3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）=3x（a﹣b）+9y（a﹣b）因式分解，应提的公因式是3（a﹣b）．故选D 2、把多项式﹣16x3+40x2y提出一个公因式﹣8x2后，另一个因式是　 　． 【解答】解：﹣16x3+40x2y =﹣8x2•2x+（﹣8x2）•（﹣5y） =﹣8x2（2x﹣5y）， 所以另一个因式为2x﹣5y． 故答案为：2x﹣5y． 3、分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2=　 　． 解：（2a+b）2﹣（a+2b）2=（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b） =（3a+3b）（a﹣b）=3（a+b）（a﹣b）． 故答案为：3（a+b）（a﹣b）． 4、 分组分解因式： ax2﹣ay2=　 　． 3x2﹣18x+27=　　 ． 8a2﹣2=　 　． 2x2﹣8xy+8y2=　 　． 答案：a（x+y）（x﹣y），3（x﹣3）2，2（2a+1）（2a﹣1），2（x﹣2y）2 5、下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x=y 原式=（y+2）（y+6）+4（第一步） =y2+8y+16（第二步） =（y+4）2（第三步） =（x2﹣4x+4）2（第四步） 请问： （1）该同学因式分解的结果是否彻底？　 　（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果． （2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． 【解答】解：（1）∵（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4， ∴该同学因式分解的结果不彻底． （2）设x2﹣2x=y 原式=y（y+2）+1 =y2+2y+1 =（y+1）2 =（x2﹣2x+1）2 =（x﹣1）4． 故答案为：不彻底． 【举一反三】 1、多项式（x+y﹣z）（x﹣y+z）﹣（y+z﹣x）（z﹣x﹣y）的公因式是（　　） A．x+y﹣z B．x﹣y+z C．y+z﹣x D．不存在 【解答】解：（x+y﹣z）（x﹣y+z）﹣（y+z﹣x）（z﹣x﹣y） =（x+y﹣z）（x﹣y+z）+（y+z﹣x）（x+y﹣z） =（x+y﹣z）（x﹣y+z+y+z﹣x） =2z（x+y﹣z）， 故多项式（x+y﹣z）（x﹣y+z）﹣（y+z﹣x）（z﹣x﹣y）的公因式是：x+y﹣z． 故选：A． 2、计算（﹣2）100+（﹣2）99的结果是（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣299 D．299 【解答】解：原式=（﹣2）99[（﹣2）+1]=﹣（﹣2）99=299， 故选：D． 3、若2x3﹣ax2﹣5x+2=（2x2+ax﹣1）（x﹣b），则a+b=（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 【解答】解：∵（2x2+ax﹣1）（x﹣b）=2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+b， ∴2x3﹣ax2﹣5x+2=2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+b， ∴﹣a=a﹣2b，﹣5=﹣（ab+1），b=2， 解得：a=2，b=2， ∴a+b=4， 故选（D） 4、认真阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（1+x）+x（1+x）2 =（1+x）[1+x+x（1+x）] =（1+x）2（1+x） =（1+x）3 ①上述分解因式的方法是　 　； ②分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3． ③猜想：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式的结果是　 ． 解：①根据题意可知：分解因式的方法是提取公因式法； ②原式=（1+x）[（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2] =（1+x）2[（1+x）+x（1+x）] =（1+x）3（1+x） =（1+x）4 ③由题意可知：（1+x）n+1 故答案为：①提取公因式；③（1+x）n+1 【方法总结】 一、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 二、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【效果检验】 1．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A．x2﹣9+6x=（x+3）（x﹣3）+6x B．（x+5）（x﹣2）=x2+3x﹣10 C．x2﹣8x+16=（x﹣4）2 D．6ab=2a•3b 【解答】解：A、右边不是积的形式，故A选项错误； B、是多项式乘法，不是因式分解，故B选项错误； C、是运用完全平方公式，x2﹣8x+16=（x﹣4）2，故C选项正确； D、不是把多项式化成整式积的形式，故D选项错误． 故选：C． 2、多项式12ab3c+8a3b的各项公因式是（　　） A．4ab2 B．4abc C．2ab2 D．4ab 【解答】解：12ab3c+8a3b=4ab（3b2+2a2），4ab是公因式，故选：D． 3、下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（　　） A．a2+4 B．a2﹣ab2 C．﹣a2+4 D．﹣a2﹣4 【解答】解：C、﹣a2+4=22﹣a2=（2+a）（2﹣a），故选D． 4、下列各式中不能用公式法分解因式的是（　　） A．x2﹣6x+9 B．﹣x2+y2 C．x2+2x+4 D．﹣x2+2xy﹣y2 【解答】解：A、原式=（x﹣3）2，不符合题意； B、原式=（y+x）（y﹣x），不符合题意； C、原式不能用公式分解，符合题意； D、原式=﹣（x﹣y）2，不符合题意， 故选C 5、多项式x2﹣4x﹣12可以因式分解成（　　） A．x（x﹣4）﹣12 B．（x﹣2）（x+6） C．（x+2）（x﹣6） D．（x+3）（x﹣4） 【解答】解：x2﹣4x﹣12=（x+2）（x﹣6）．故选：C． 6、分解因式：m2+2m=　 　． x2﹣25=　 　． x2﹣2x+1=　 ． a2+4a+4=　 　． m2﹣4mn+4n2=　 　． 解：原式=m（m+2），（x+5）（x﹣5），（x﹣1）2　，（a+2）2，（m﹣2n）2 【课后作业】 一、选择题 1. 下面分解因式正确的是（　　） A．x3﹣x=x（x﹣1） B．3xy+6y=y（3x+6） C．a2﹣a+1=（a﹣1）2 D．1﹣b2=（1+b）（1﹣b） 【解答】解：A，原式=x（x2﹣1） =x（x+1）（x﹣1），故本答案错误． B，原式=3y（x+2y），故本答案错误． C，b2﹣4ac＜0，在实数范围内不能分解因式，故本答案错误． D、原式=（1+b）（1﹣b），故本答案正确． 故选D 2、把多项式2x3y﹣x2y2﹣6x2y分解因式时，应提取的公因式为（　　） A．x2y B．xy2 C．2x3y D．6x2y 【解答】解：2x3y﹣x2y2﹣6x2y=x2y（2x﹣y﹣6）．故选：A． 3、分解因式（2x+3）2﹣x2的结果是（　　） A．3（x2+4x+3） B．3（x2+2x+3） C．（3x+3）（x+3） D．3（x+1）（x+3） 【解答】解：（2x+3）2﹣x2 =（2x+3﹣x）（2x+3+x） =（x+3）（3x+3） =3（x+3）（x+1）． 故选：D． 4、多项式mx2﹣nx﹣2能因式分解为（3x+2）（x+p），那么下列结论正确的是（　　） A．m=6 B．n=1 C．p=﹣2 D．mnp=3 【解答】解：∵多项式mx2﹣nx﹣2能因式分解为（3x+2）（x+p）， ∴（3x+2）（x+p）=3x2+（3p+2）x+2p=mx2﹣nx﹣2， ∴p=﹣2，3p+2=﹣n，解得：n=1．故选：B． 5、分解因式：（a+b）2﹣a（a+b）=　　 ． 答案：b（a+b） 6、若a+b=2，a﹣b=﹣3，则a2﹣b2=　 　． 【解答】解：∵a+b=2，a﹣b=﹣3， ∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=﹣6． 故答案为：﹣6． 7、求（2x﹣y）（2x+y）﹣（2y+x）（2y﹣x）的值，其中x=2，y=1． 【解答】原式=4x2﹣y2﹣（4y2﹣x2） =5x2﹣5y2， 当x=2，y=1时，原式=5×22﹣5×12=15． 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课 题 第14章整式的乘法和因式分解 14.3因式分解（教师版） 教学目标 1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系； 2.掌握因式分解法将多项式分解因式. 3.掌握好简单的分组分解法. 教学过程 【学生定位】 问题1因式分解 1.下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（　　） A．a（m+n）=am+an B．a2﹣b2﹣c2=（a﹣b）（a+b）﹣c2 C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1） D．x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x 问题2 因式分解法 2．多项式m2﹣m与多项式2m2﹣4m+2的公因式是（　　） A．m﹣1 B．m+1 C．m2﹣1 D．（m﹣1）2 3.下列因式分解正确的是（　　） A．a2﹣b2=（a﹣b）2 B．x2+4y2=（x+2y）2 C．2﹣8a2=2（1+2a）（1﹣2a） D．x2﹣4y2=（x+4y）（x﹣4y） 【精准突破】 【精准突破1】因式分解 知识点一、把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【要点解读】 （1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形 （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 【例题精讲】 【例题1-1】 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． x2+2x﹣1=（x﹣1）2 B．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 C．x2+4x+4=（x+2）2 D．ax2﹣a=a（x2﹣1） 【例题1-2】若多项式x2﹣mx﹣21可以分解为（x+3）（x﹣7），则m=　 　． 【精准突破2】提公因式法 知识点一、公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 【要点解读】 （1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2） 公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 知识点二、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 【要点解读】 （1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 . （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 【例题精讲】 【例题2-1】2x3y2与12x6y的公因式是（　　） A．xy B．x3y C．2x3y D．12x6y2 【例题2-2】把多项式a2﹣4a分解因式，结果正确的是（　　） A． a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2） C．a（a+2）（ a﹣2） D．（a﹣2 ）2﹣4 【例题2-3】已知a+b=3，ab=﹣4，则a2b+ab2的值为　 　． 【精准突破3】公式法 知识点一、平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 【要点解读】 （1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点二、完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 【要点解读】 （1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数 （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 【例题精讲】 【例题3-1】多项式x2﹣4分解因式的结果是（　　） A． （x+2）（x﹣2） B．（x﹣2）2 C．（x+4）（x﹣4） D．x（x﹣4） 【例题3-2】多项式x2﹣2x+1因式分解，结果正确的是（　　） A． （x+1）2 B．（x+1）（x﹣1） C．（x﹣1）2 D．（x+1）（x﹣2） 【例题3-3】如果代数式x2+kx+49能分解成（x﹣7）2形式，那么k的值为（　　） A．7 B．﹣14 C．±7 D．±14 【精准突破4】十字相乘法 知识点一、利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 【要点解读】 （1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 【例题精讲】 【例题4-1】计算结果为x2+7x﹣18的是（　　） A．（x+2）（x﹣9） B．（x﹣2）（x+9） C．（x+3）（x+9） D．（x﹣3）（x+6） 【例题4-2】若多项式x2+mx+12因式分解的结果是（x﹣2）（x﹣6），则m的值是（　　） A．8 B．﹣4 C．﹣8 D．4 【例题4-3】若x2+4x+m=（x﹣2）（x+n），则m+n=　 　． 【巩固练习】 【巩固一】因式分解 1．下列变形：①（x+1）（x﹣1）=x2﹣1；②9a2﹣12a+4=（3a﹣2）2；③3abc3=3c•abc2；④3a2﹣6a=3a（a﹣2）中，是因式分解的有　 　（填序号） 2、若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为　 　． 【巩固二】提公因式法 1、提出公因式 （1）多项式2a2b3+6ab2的公因式是　 　． （2）多项式2ab2﹣8a2b提出的公因式是　 　． （3）多项式6a2b+9ab2﹣15ab的公因式是　 　． 2、因式分解：m2﹣m=　 　． a2+a=　 　．5x3﹣10x2=　 　． m2（a﹣2）+m（2﹣a）　 　．（x+y）2﹣3（x+y）=　 　． 3、 先化简，再求值：已知a+b=2，ab=2，求a3b+2a2b2+ab3的值． 【巩固三】公式法 1、下列各多项式中：①x2﹣y2，②x3+2，③x2+4x，④x2﹣10x+25，其中能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2、分解因式：16﹣x2=（　　） A．（4﹣x）（4+x） B．（x﹣4）（x+4） C．（8+x）（8﹣x） D．（4﹣x）2 3、 分解因式： x2﹣4=　 　． x2﹣6x+9=　　 ． 4a2﹣4a+1=　 　． 9﹣b2=　 　． m2﹣4n2=　 　． （a+b）2﹣4b2=　 　． 9x2﹣4=　 　． 4a2﹣25b2=　 　． 【巩固四】十字相乘法 1、把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（　　） A．a=﹣2，b=﹣3 B．a=2，b=3 C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3 2、 因式分解3ax2+9ax﹣12a=　 　． 3、因式分解x2﹣3x﹣10=　 　． 【查缺补漏】 1、将3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）因式分解，应提的公因式是（　　） A．3x﹣9y B．3x+9y C．a﹣b D．3（a﹣b） 2、 把多项式﹣16x3+40x2y提出一个公因式﹣8x2后，另一个因式是　 　． 3、 分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2=　 　． 4、 分组分解因式： ax2﹣ay2=　 　． 3x2﹣18x+27=　　 ． 8a2﹣2=　 　． 2x2﹣8xy+8y2=　 　． 5、下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x=y 原式=（y+2）（y+6）+4（第一步） =y2+8y+16（第二步） =（y+4）2（第三步） =（x2﹣4x+4）2（第四步） 请问： （1）该同学因式分解的结果是否彻底？　 　（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果． （2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． 【举一反三】 1、多项式（x+y﹣z）（x﹣y+z）﹣（y+z﹣x）（z﹣x﹣y）的公因式是（　　） A．x+y﹣z B．x﹣y+z C．y+z﹣x D．不存在 2、计算（﹣2）100+（﹣2）99的结果是（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣299 D．299 3、若2x3﹣ax2﹣5x+2=（2x2+ax﹣1）（x﹣b），则a+b=（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 4、认真阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（1+x）+x（1+x）2 =（1+x）[1+x+x（1+x）] =（1+x）2（1+x） =（1+x）3 ①上述分解因式的方法是　 　； ②分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3． ③猜想：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式的结果是　 ． 【方法总结】 一、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 二、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【效果检验】 1．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A．x2﹣9+6x=（x+3）（x﹣3）+6x B．（x+5）（x﹣2）=x2+3x﹣10 C．x2﹣8x+16=（x﹣4）2 D．6ab=2a•3b 2、多项式12ab3c+8a3b的各项公因式是（　　） A．4ab2 B．4abc C．2ab2 D．4ab 3、下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（　　） A．a2+4 B．a2﹣ab2 C．﹣a2+4 D．﹣a2﹣4 4、下列各式中不能用公式法分解因式的是（　　） A．x2﹣6x+9 B．﹣x2+y2 C．x2+2x+4 D．﹣x2+2xy﹣y2 5、多项式x2﹣4x﹣12可以因式分解成（　　） A．x（x﹣4）﹣12 B．（x﹣2）（x+6） C．（x+2）（x﹣6） D．（x+3）（x﹣4） 6、分解因式：m2+2m=　 　． x2﹣25=　 　． x2﹣2x+1=　 ． a2+4a+4=　 　． m2﹣4mn+4n2=　 　． 【课后作业】 一、选择题 1. 下面分解因式正确的是（　　） A．x3﹣x=x（x﹣1） B．3xy+6y=y（3x+6） C．a2﹣a+1=（a﹣1）2 D．1﹣b2=（1+b）（1﹣b） 2、把多项式2x3y﹣x2y2﹣6x2y分解因式时，应提取的公因式为（　　） A．x2y B．xy2 C．2x3y D．6x2y 3、分解因式（2x+3）2﹣x2的结果是（　　） A．3（x2+4x+3） B．3（x2+2x+3） C．（3x+3）（x+3） D．3（x+1）（x+3） 4、多项式mx2﹣nx﹣2能因式分解为（3x+2）（x+p），那么下列结论正确的是（　　） A．m=6 B．n=1 C．p=﹣2 D．mnp=3 5、分解因式：（a+b）2﹣a（a+b）=　　 ． 6、若a+b=2，a﹣b=﹣3，则a2﹣b2=　 　． 7、求（2x﹣y）（2x+y）﹣（2y+x）（2y﹣x）的值，其中x=2，y=1． 3 学科网（北京）股份有限公司 $$