期末强化练08 立体几何大题11种常见考法归类（50题）-2023-2024学年高一数学微专题期末精准突破（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 期末强化练08 立体几何大题11种常见考法归类（50题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 空间几何体的表面积和体积问题 题型二 线面平行问题 题型三 面面平行问题 题型四 线线垂直问题 题型五 线面垂直问题 题型六 面面垂直问题 题型七 直线与平面所成的角问题 题型八 二面角问题 题型九 点到平面的距离问题 题型十 翻折问题 题型十一 探索性问题 题型一 空间几何体的表面积和体积问题 1．（2023春•成都期末）如图，圆柱内接于球，已知球的半径，设圆柱的底面半径为． （1）以为变量，表示圆柱的表面积和体积； （2）当为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？ 2．（2023春•建邺区校级期末）如图所示，底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为4的正四棱锥． （1）求棱台的体积； （2）求棱台的表面积． 3．（2023春•潍坊期末）如图，在正六棱锥中，球是其内切球，，点是底面内一动点（含边界），且． （1）求正六棱锥的体积； （2）当点在底面内运动时，求线段所形成的曲面与底面所围成的几何体的表面积． 题型二 线面平行问题 4．（2023春•延庆区期末）如图，在三棱锥中，，，，，分别是，，的中点，平面与棱交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 5．（2024春•成都期末）已知是棱长为2的正方体． （1）求三棱锥的体积； （2）若是的中点，是的中点，证明：平面． 6．（2023春•抚顺期末）三棱柱的棱长都为2，和分别是和的中点． （1）求证：直线平面； （2）若，点到平面的距离为，求三棱锥的体积． 7．（2023春•杭州期末）生活中为了美观起见，售货员用彩绳对长方体礼品盆进行捆扎．有以下两种捆扎方案：方案（1）为十字捆扎（如图（1），方案（2）为对角捆扎（如图（2）．设礼品盒的长，宽，高分别为，，． （1）在方案（2）中，若，设平面与平面的交线为，求证：平面； （2）不考虑花结用绳，对于以上两种捆扎方式，你认为哪一种方式所用彩绳最少，最短绳长为多少？ 8．（2024春•溧阳市期末）如图，在直三棱柱中，，，，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求三棱锥的体积． 题型三．面面平行问题 9．（2023春•新邱区校级期末）已知在正方体中，、、、分别是、、、的中点．求证： （1）、、、四点共面； （2）平面平面． 题型四 线线垂直问题 10．（2023春•威海期末）如图，四棱锥的底面为正方形，为的中点． （1）证明：平面； （2）若平面，证明：． 11．（2023春•平谷区期末）三棱锥中，面，，、分别是、中点，过的一个平面交面于． （1）证明：； （2）证明：． 12．（2023春•昌黎县校级期末）如图，在边长为2的菱形中，，现将沿边折到的位置，使得平面平面． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积． 13．（2023春•苏州期末）如图，在三棱柱中，侧面是菱形，平面平面，，和分别是和的中点． （1）求证：平面； （2）求证：． 14．（2023春•密云区期末）如图，在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，侧棱平面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）证明：； （3）求三棱锥的体积． 题型五 线面垂直问题 15．（2023春•临夏州期末）如图，在三棱锥中，侧面底面，，，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面． 16．（2023春•延庆区期末）如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，且底面，，点为棱的中点，平面与棱交于点． （1）求证：； （2）求证：平面． 17．（2024春•连云区校级期末）如图，三棱柱中，为中点，为中点． （1）求证：平面； （2）若，平面平面，，求证：平面． 题型六 面面垂直问题 18．（2023春•昌黎县校级期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为上一点． （1）若点为中点，求证：平面； （2）若，，，平面平面，求证：平面平面． 19．（2023秋•金华期末）如图，已知圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于，的动点，圆柱的两条母线． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求四棱锥体积的最大值． 20．（2023春•新邱区校级期末）如图所示，在直三棱柱中，，且． （1）求证：平面平面； （2）若是的中点，求三棱锥的体积． 21．（2023春•芜湖期末）如图，在三棱台中，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角为，求平面和平面所成角的正切值． 22．（2023春•阿克苏市校级期末）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，为的中点． （1）求证：面； （2）求证：平面平面． 23．（2023春•余姚市期末）如图①，在正方体中，，，分别为，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）将该正方体截去八个与四面体相同的四面体得到一个多面体（如图②，若该多面体的体积是，求该正方体的棱长． 题型七 直线与平面所成的角问题24．（2023春•昌黎县校级期末）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，与交于点，面，且． （1）求证平面．； （2）求与平面所成角的大小． 25．（2024春•嘉定区期末）如图，在正四棱锥中，为底面的中心． （1）若，，求正四棱锥的体积； （2）若，为的中点，求直线与平面所成角的大小． 26．（2024春•宁波期末）如图，在三棱锥，中，，，，，点在上，点为的中点． （1）求证：平面平面； （2）求与平面所成角的正弦值． 27．（2024春•秦淮区期末）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，，分别为，的中点，二面角的正切值为2． （1）求四棱锥的体积； （2）证明：； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 28．（2024春•成都期末）在平行四边形中，，，，，分别为，的中点，将三角形沿翻折，使得二面角为直二面角后，得到四棱锥 ． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求与平面所成角的正弦值． 29．（2023秋•温州期末）如图，以所在直线为轴将直角梯形旋转得到三棱台，其中，． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 30．（2023春•汝州市校级期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，交于点，为等腰直角三角形，，点为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值． 31．（2023春•汕头期末）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． （1）证明：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值． 32．（2023春•和平区期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的余弦值． 33．（2023春•让胡路区校级期末）如图，在平面四边形中，，，，将沿翻折，使点到达点的位置，且平面平面． （1）证明：； （2）若为的中点，二面角的平面角等于，求直线与平面所成角的正弦值． 题型八 二面角问题 34．（2023春•安庆期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，是正三角形，平面平面，点是线段的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 35．（2023秋•洪山区校级期末）如图，在三棱锥中，，，，，，，的中点分别为，，，，点在上，． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求二面角的正弦值． 36．（2024春•南京期末）如图，正三棱柱中，各棱长均相等，、、、分别为棱、、、的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求二面角的余弦值． 37．（2024春•衢州期末）如图，三棱台中，是边长为2的等边三角形，四边形是等腰梯形，且，为的中点． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若过，，三点的平面截三棱台所得的截面面积为．当二面角为锐二面角时，求二面角的正弦值． 38．（2022春•林州市期末）如图，在四棱锥中，，，，，为锐角，平面平面． （1）证明：平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 39．（2023春•喀什市期末）如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求证：； （3）求二面角的余弦值． 题型九 点到平面的距离问题 40．（2023春•崂山区校级期末）已知四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，． （1）求点到平面的距离； 题型十 翻折问题 41．（2023春•南关区校级期末）如图，在正方形中，点、分别为、的中点，将，分别沿、折起，使，两点重合于，连接，． （1）点是上一点．若平面，则为何值？并说明理由； （2）点是上一点，若，求二面角的余弦值． 42．（2023春•汝州市校级期末）如图，在梯形中，，，，，，点满足，把沿折起到，使得，其中，，分别为，，的中点． （1）证明：； （2）求三棱锥的体积． 43．（2023春•土默特左旗校级期末）如图，边长为4的正方形中，点，分别为，的中点．将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的余弦值． 44．（2023春•市北区校级期末）如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，，沿进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且． （1）求二面角的余弦值； （2）求四棱锥外接球的体积． 45．（2023春•青羊区校级期末）如图1，在中，，，，是中点，作于，将沿直线折起到所处的位置，连接，，如图2． （1）若，求证：； （2）若二面角为锐角，且二面角的正切值为，求的长． 46．（2024春•浠水县校级期末）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成△，使平面平面． （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 题型十一 探索性问题 47．（2023春•怀柔区期末）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，底面， （1）证明：平面平面； （2）若平面，证明：为的中点； （3）若，在线段上是否存在点，使得平面，若存在点，则为何值时？直线与底面所成角为． 48．（2023春•平谷区期末）如图，几何体中，面面，，，且，，四边形是边长为4的菱形，，点为、的交点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）试判断在棱上是否存在一点，使得平面平面？说明理由． 49．（2023春•密云区期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点． （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）在线段上是否存在点，使得平面？请说明理由． 50．（2023春•房山区期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点． （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． $$2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 期末强化练08 立体几何大题11种常见考法归类（50题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 空间几何体的表面积和体积问题 题型二 线面平行问题 题型三 面面平行问题 题型四 线线垂直问题 题型五 线面垂直问题 题型六 面面垂直问题 题型七 直线与平面所成的角问题 题型八 二面角问题 题型九 点到平面的距离问题 题型十 翻折问题 题型十一 探索性问题 题型一 空间几何体的表面积和体积问题 1．（2023春•成都期末）如图，圆柱内接于球，已知球的半径，设圆柱的底面半径为． （1）以为变量，表示圆柱的表面积和体积； （2）当为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？ 【解析】（1）如图，点为圆柱底面圆圆心，连接， ， ， ； （2）， 当且仅当，即时，取最大值，最大值为． 2．（2023春•建邺区校级期末）如图所示，底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为4的正四棱锥． （1）求棱台的体积； （2）求棱台的表面积． 【解析】（1）底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为4的正四棱锥． 所以原棱锥的高为8， 所以正四棱锥的体积为， 截去的正四棱锥的体积为， 所以棱台的体积为． （2）棱台的表面积：． 3．（2023春•潍坊期末）如图，在正六棱锥中，球是其内切球，，点是底面内一动点（含边界），且． （1）求正六棱锥的体积； （2）当点在底面内运动时，求线段所形成的曲面与底面所围成的几何体的表面积． 【解析】（1）设是底面的中心，连接，，可知，在直角三角形中，， 又正六边形的面积为， 所以； （2）取的中点，连接，． 设正六棱锥的内切球与侧面相切于，可得在上，连接． 在直角三角形中，，，则，所以． 设内切球的半径为，由，可得，解得， 所以．在直角三角形中，，所以， 所以在正六边形中，且以为圆心，为半径的圆上， 所以在底面内运动时， 线段所形成的曲面和底面所围成的几何体为圆锥． 此几何体的表面积为． 题型二 线面平行问题 4．（2023春•延庆区期末）如图，在三棱锥中，，，，，分别是，，的中点，平面与棱交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 【解析】证明：（1）因为，分别是，的中点， 所以，平面，平面， 所以平面； （2）由（1）知，又，所以， 又，分别是，的中点，所以， 又，所以， 又， 所以平面， 又平面， 所以平面平面． 5．（2024春•成都期末）已知是棱长为2的正方体． （1）求三棱锥的体积； （2）若是的中点，是的中点，证明：平面． 【解析】（1）解：法因为是棱长为2的正方体， 因为平面，平面， 所以，正方体中，， ， 所以平面，而平面， 所以， 同理可得， 又因为， 可得平面， 在正方体中可得， 设到平面为，到平面的距离， 因为△为等边三角形，则， 所以， 又因为， 即，即，可得， 所以， 所以． 法三棱锥的体积 ； （2）证明：因为是的中点，是的中点， 在中，可得， 又因为平面，平面， 所以平面． 6．（2023春•抚顺期末）三棱柱的棱长都为2，和分别是和的中点． （1）求证：直线平面； （2）若，点到平面的距离为，求三棱锥的体积． 【解析】（1）证明：方法一：连接交于点，连接交于点， 在三棱柱中，，， ，， ，， 又面，面， 直线平面． 方法二：在三棱柱中，， 取中点，连接，， 和分别是和的中点， ，，， 又面，面，面，面， 面，面， 又，面平面． 面，直线平面． （2）解：直线平面， ， 又点到平面的距离为，设为， ． 7．（2023春•杭州期末）生活中为了美观起见，售货员用彩绳对长方体礼品盆进行捆扎．有以下两种捆扎方案：方案（1）为十字捆扎（如图（1），方案（2）为对角捆扎（如图（2）．设礼品盒的长，宽，高分别为，，． （1）在方案（2）中，若，设平面与平面的交线为，求证：平面； （2）不考虑花结用绳，对于以上两种捆扎方式，你认为哪一种方式所用彩绳最少，最短绳长为多少？ 【解析】（1）证明：连接，， 在长方体中，， 则，， 所以， ， 所以，， 所以四边形是平行四边形， ， 又平面，平面， 平面； 又平面，平面平面， ； 又平面，平面， 平面， 又平面， 平面； （2）方案1中，绳长为； 方案2中，将长方体盒子展开在一个平面上，在平面展开图中彩绳是一条由到的折线，如图所示， 在扎紧的情况下，彩绳长度的最小值为长度， 因为， 所以， 所以彩绳的最短长度为． 8．（2024春•溧阳市期末）如图，在直三棱柱中，，，，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求三棱锥的体积． 【解析】（1）证明：设与交于点，则为的中点，连接， 则在中，则是的中位线，所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）证明：在中，由，，， 由余弦定理，得， 则，即， 为直角三角形，． 又平面，平面，， 又，，平面， 平面， 平面，． （3）在中过点作，垂足为， 平面平面，且平面平面， 平面 易知，， ，． 题型三．面面平行问题 9．（2023春•新邱区校级期末）已知在正方体中，、、、分别是、、、的中点．求证： （1）、、、四点共面； （2）平面平面． 【解析】证明（1）、分别是、的中点，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 即、确定一个平面，故、、、四点共面． （2）、分别是，的中点， ， 又平面， 平面， 平面， 连接，则， 四边形是平行四边形， ， 又平面，平面， 平面， 、都在平面内，且， 平面平面． 题型四 线线垂直问题 10．（2023春•威海期末）如图，四棱锥的底面为正方形，为的中点． （1）证明：平面； （2）若平面，证明：． 【解析】证明：（1）连接，交于点，连接， 因为底面是正方形，所以点是的中点， 又为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面． （2）因为平面，平面，所以， 因为底面是正方形，所以， 又，、平面， 所以平面， 因为平面， 所以． 11．（2023春•平谷区期末）三棱锥中，面，，、分别是、中点，过的一个平面交面于． （1）证明：； （2）证明：． 【解析】证明：（1）因为面，面， 所以， 又因为，， 所以面， 又因为面， 所以； （2）因为、分别是、中点，所以， 面，面， 所以面， 又因为过的一个平面交面于， 所以． 12．（2023春•昌黎县校级期末）如图，在边长为2的菱形中，，现将沿边折到的位置，使得平面平面． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积． 【解析】证明：（1）如图所示， 取的中点为，连接、， 由，得，由，得， 又，平面， 而平面，， 即； 解：（2）由（1）知，， 又平面平面，且平面平面， 平面， 由已知可得，，， ． 13．（2023春•苏州期末）如图，在三棱柱中，侧面是菱形，平面平面，，和分别是和的中点． （1）求证：平面； （2）求证：． 【解析】证明：（1）取中点为，连接，， ，分别为，中点，，， ，，又为中点， ，， ，， 四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面． （2）连接， 四边形是菱形， ， 平面平面，平面平面，平面，， 平面， 又平面， ， ，，平面， 平面， 平面， ． 14．（2023春•密云区期末）如图，在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，侧棱平面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）证明：； （3）求三棱锥的体积． 【解析】（1）证明：设，连接， 在四棱柱中，四边形是正方形， 为中点，又为中点，， 又面，面， 面； （2）证明：在四棱柱中，面， 又面，， 又在正方形中，， 且，，面，面， 面，又面， ； （3）在四棱柱中， 面，是三棱锥的高， ． 题型五 线面垂直问题 15．（2023春•临夏州期末）如图，在三棱锥中，侧面底面，，，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面． 【解析】证明：（1）在三棱锥中，侧面底面，侧面底面， 而，故平面，平面， 故； 又，是的中点，故， 而，，平面， 故平面； （2）因为平面，平面， 故，又，，，平面， 故平面，平面， 故，又，，平面， 故，平面，平面， 故平面． 16．（2023春•延庆区期末）如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，且底面，，点为棱的中点，平面与棱交于点． （1）求证：； （2）求证：平面． 【解析】证明：（1）底面是正方形，则，平面，平面， 所以平面，平面，平面平面， 所以； （2）因为平面，面，所以， 又为正方形，则，，，面， 所以面，又面，所以， 因为，点为的中点，所以， 又，，面， 所以平面． 17．（2024春•连云区校级期末）如图，三棱柱中，为中点，为中点． （1）求证：平面； （2）若，平面平面，，求证：平面． 【解析】证明：（1）取的中点，连接，，因为为的中点， 所以且，又为的中点， ，，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为，由（1）可知，所以， 又，平面平面，平面平面， 平面，所以平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面． 题型六 面面垂直问题 18．（2023春•昌黎县校级期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为上一点． （1）若点为中点，求证：平面； （2）若，，，平面平面，求证：平面平面． 【解析】证明：（1）连接交于，连接，如图所示： 因为为的中点，是的中点， 所以是的中位线，则， 又平面，平面， 所以平面； （2）在中，，，， 所以由余弦定理可得，， 则， 所以， 因为四边形是平行四边形， 所以，则， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面． 19．（2023秋•金华期末）如图，已知圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于，的动点，圆柱的两条母线． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求四棱锥体积的最大值． 【解析】（Ⅰ）为圆柱的母线，平面， 又平面，．①， 是下底面圆的直径，．②， ①②及，平面，平面， 平面． 又平面，平面平面． （Ⅱ）在中，设，，则， ， 当且仅当 时，不等式取“”号． 故的最大值为18． 20．（2023春•新邱区校级期末）如图所示，在直三棱柱中，，且． （1）求证：平面平面； （2）若是的中点，求三棱锥的体积． 【解析】（1）证明：因为三棱柱是直三棱柱， 所以平面， 因为平面， 所以， 因为，，，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面． （2）由（1）知，平面， 所以是三棱锥的底面上的高， 因为， 所以，， 因为是的中点， 所以， 因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 所以三棱锥的体积． 21．（2023春•芜湖期末）如图，在三棱台中，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角为，求平面和平面所成角的正切值． 【解析】（1）证明：，，如图： 作，，则，，， 则，则， 由勾股定理，可得，又， 平面，，又，即， 平面，平面平面； （2）由（1）知直线与平面所成角为，，， 设平面和平面的交线为，易知， 过点作于，平面，， 再过点作于，连结，即为所求角， ， ． 22．（2023春•阿克苏市校级期末）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，为的中点． （1）求证：面； （2）求证：平面平面． 【解析】（1）证明：设，连接， 因为，分别是，的中点 ，所以（4分） 而面，面， 所以面（7分） （2）连接，因为， 所以， 又四边形是菱形， 所以（10分） 而面，面，， 所以面（13分） 又面， 所以面面（14分） 23．（2023春•余姚市期末）如图①，在正方体中，，，分别为，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）将该正方体截去八个与四面体相同的四面体得到一个多面体（如图②，若该多面体的体积是，求该正方体的棱长． 【解析】（1）证明：在正方体中，平面， 又平面，， 连接，在中，，分别是，的中点，， 在正方形中，，， 又，平面，平面， 平面， 而平面，平面平面； （2）解：设正方体的棱长为，由（1）知，四面体的体积为： ， 所得多面体的体积为，解得． 即该正方体的棱长为4． 题型七 直线与平面所成的角问题 24．（2023春•昌黎县校级期末）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，与交于点，面，且． （1）求证平面．； （2）求与平面所成角的大小． 【解析】（1）证明：四边形是正方形， ， 又平面，平面，则， ，平面，平面， 平面； （2）连接，如图所示： 平面， 为与平面所成的角， ， ， 在中，， ，即与平面所成的角为． 25．（2024春•嘉定区期末）如图，在正四棱锥中，为底面的中心． （1）若，，求正四棱锥的体积； （2）若，为的中点，求直线与平面所成角的大小． 【解析】（1）因为底面是正方形，所以，， 所以，即正四棱锥的高为3， 所以正四棱锥的体积． （2）由题意知，平面， 因为平面， 所以， 因为正方形，所以， 又，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 连接，设，则， 在中，点是的中点，所以，， 所以，即， 又，、平面， 所以平面， 所以即为直线与平面所成角， 在中，， 所以，即直线与平面所成角的大小为． 26．（2024春•宁波期末）如图，在三棱锥，中，，，，，点在上，点为的中点． （1）求证：平面平面； （2）求与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：，，， ， ， ， ，平面，， 平面，平面， 平面平面． （2）过点作的垂线交于，过点作的平行线交于点，连接， 平面平面，平面，， 平面， ， 平面， 就是与平面所成的角， ， ，， 为等边三角形，， 为的中点，， 在中易知， ， 因此，与平面所成角的正弦值为． 27．（2024春•秦淮区期末）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，，分别为，的中点，二面角的正切值为2． （1）求四棱锥的体积； （2）证明：； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）解：为正三角形，为中点， ， 又平面平面，平面平面， 平面， 又平面， ， 为二面角的平面角， ， 又，， 底面为正方形． 又易得， 四棱的体积． （2）证明：由（1）知，平面，平面， ， 在正方形中，易知， ， 而， ， ， ， 平面， 平面， ． （3）解：设，连接，． 平面． 为直线与平面所成的角， 可求得，，， ， 又，， ， 直线与平面所成角的正弦值为． 28．（2024春•成都期末）在平行四边形中，，，，，分别为，的中点，将三角形沿翻折，使得二面角为直二面角后，得到四棱锥 ． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：取的中点，连接，， 因为平行四边形中，，，，，分别为，的中点， 可得，且， ，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）证明：因为二面角为直二面角，，，， 在原四边形中，，即，， 所以，， 所以平面， 而平面，所以， 在原四边形中，可得，， 所以平面，而平面， 所以平面平面； （3）解：在原四边形中，，， 可得，为的中点，所以，且， 由（2）可得平面，而平面， 所以，而， 所以平面，所以为与平面所成的角， 在原四边形中，可得，，， 在中，由余弦定理可得， 所以． 即与平面所成角的正弦值为． 29．（2023秋•温州期末）如图，以所在直线为轴将直角梯形旋转得到三棱台，其中，． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：连接，，设，则， 由条件易得，，， 同理可得，又，，平面， 平面，平面，； （2）由（1）可得， ，，是等边三角形， ，，． 又，，，平面，平面， 过点作交于点，连接． 由，所以为的中点，又，所以， 又，，平面，平面， 又平面，平面平面． 过点作交于点，连接． 就是直线与平面所成的角．面面， 就是直线与面所成的线面角． ，又．，，， ，即直线与平面所成角的正弦值为． 30．（2023春•汝州市校级期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，交于点，为等腰直角三角形，，点为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：在四棱锥中，菱形的对角线，交于点，则是的中点， 而为棱的中点，于是，又平面，平面， 所以平面． （2）取的中点，连接，，，如图， 菱形中，由，得是正三角形，有， 由，得，又平面平面，平面平面， 而平面，平面，因此平面，平面， 设，则，，， 在中，由余弦定理得， 则，因为，平面，平面， 于是平面，则点到平面的距离， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值是． 31．（2023春•汕头期末）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． （1）证明：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值． 【解析】证明：（1）且， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面； （2）平面，平面， ， 连接，且， 四边形为平行四边形， ，， 平行四边形为正方形， ， 又，， 又，面，面， 面， 面， 平面平面； 解：（3）平面，平面，， 又，，平面，平面， 平面， 平面，， 为二面角的平面角，从而， 在中，， 作于，连接， 由（2）知，平面平面且平面，平面平面， 面，即为直线在平面上的投影， 为直线与平面所成角， 在直角中，，，， ， 面，面，， 在直角中，，， ， 则直线与平面所成角的正切值为． 32．（2023春•和平区期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的余弦值． 【解析】（1）证明：连接，，因为底面为平行四边形， 为中点，故与相交于， 因为为的中点，则， 因为平面，平面， 所以平面； （2）证明：因为，， 由余弦定理得， 即，解得， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，， 所以平面； （3）解：取的中点，连接，，则， 因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成角， 其中，故， 因为，， 由勾股定理得， 故， 由勾股定理得， 所以， 即直线与平面所成角的余弦值为． 33．（2023春•让胡路区校级期末）如图，在平面四边形中，，，，将沿翻折，使点到达点的位置，且平面平面． （1）证明：； （2）若为的中点，二面角的平面角等于，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：因为平面平面， 平面平面，平面，， 所以平面，又因为平面，所以． 又因为，，，所以平面， 又因为平面，所以． （2）解：因为，，所以是二面角的平面角， 即，在中，， 设，因为平面，所以点到平面的距离， 所以点到平面的距离，，设点到平面的距离为， 因为，所以，所以， 令直线与平面所成角为， 题型八 二面角问题 34．（2023春•安庆期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，是正三角形，平面平面，点是线段的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）如图，取中点，连接， 是正三角形，， 平面平面，且两平面的交线为，平面， 平面，， ， 又， 则； （2）由（1）知平面，平面，故， 过作于，连接， 、平面，， 平面，则， 即为平面与平面的夹角， 在中，因为， 所以， 即， 即平面与平面夹角的余弦值为． 35．（2023秋•洪山区校级期末）如图，在三棱锥中，，，，，，，的中点分别为，，，，点在上，． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求二面角的正弦值． 【解析】（1）证明：由题可知，，设， ， ， 解得， ，， 而，， ，， 四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面． （2）证明：由（1）可知，则， 得， 因此， 则，有， 又，，，平面， 则有平面， 又平面， 所以平面平面． （3）过点作交于点，设， 由，得，且， 又由（2）知，， 则为二面角的平面角， 因为，分别为，的中点， 因此为的重心， 即有， 又，即有， ， 解得， 同理得， 于是，即有， 则， 从而，， 在中，， 于是，， 所以二面角的正弦值为． 36．（2024春•南京期末）如图，正三棱柱中，各棱长均相等，、、、分别为棱、、、的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求二面角的余弦值． 【解析】（1）证明：连接，，， 又为的中点， ，， 四边形是平行四边形， 又平面，平面， 平面， （2）证明：平面， ， 是的中点， 平面， 又因为平面， ， 在正方形中，、分别为棱、的中点， 易知， ， 平面， 又平面， 平面平面． （3）由（2）知平面， 平面， 平面平面平面，且平面平面， ，设与交于点，则平面， 过作垂直，连接，则， 为二面角的平面角， 令，则，， ， 又因为，， 为的中点， ， 在直角三角形中，， 由图易知，为锐角， ， 由图易知二面角的平面角与二面角的平面角互补， 故二面角的平面角的余弦值为． 37．（2024春•衢州期末）如图，三棱台中，是边长为2的等边三角形，四边形是等腰梯形，且，为的中点． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若过，，三点的平面截三棱台所得的截面面积为．当二面角为锐二面角时，求二面角的正弦值． 【解析】（Ⅰ）证明：如图，取中点，连接，， 是等边三角形，点是的中点， ， 又四边形是等腰梯形，且为的中点， ， 又，，平面， 平面，又平面， ． （Ⅱ）过，分别作，，，垂足为，，，连接， 由（Ⅰ）易知平面平面，， 平面平面，平面， 平面，， 又，且， 平面， ，又， 为二面角的平面角， 过，，三点的截面为梯形， 则， ，， ，， ， ， ， 即二面角的正弦值为． 38．（2022春•林州市期末）如图，在四棱锥中，，，，，为锐角，平面平面． （1）证明：平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 【解析】（1）证明：在平面内过点作，垂足为， 因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又平面， 则， 过点，分别作，垂直于点，， 所以，即， 因为，且，平面， 则平面， 又平面， 所以，又，，，平面， 故平面； （2）解：二面角的平面角与二面角的平面角互补， 由（1）可知，为二面角的平面角， 在中，为与平面所成的角，其正弦值为， 所以， 因为，则， 故， 所以二面角的余弦值为． 39．（2023春•喀什市期末）如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求证：； （3）求二面角的余弦值． 【解析】（1）证明：连接交于点，连接，如图， 则为的中点， 由于是的中点，故， 平面，平面， 平面； （2）证明：在四棱柱中，底面是菱形，则， 又平面，且平面，则， 平面，平面，， 平面，又平面， ； （3）连接，， ，是的中点，， ，平面，平面， 又平面，， 由底面是菱形，得， 又，，平面， 平面，又平面， ， 则为二面角的平面角， ，，， 由余弦定理可知， 二面角的余弦值为． 题型九 点到平面的距离问题 40．（2023春•崂山区校级期末）已知四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，． （1）求点到平面的距离； 【解析】取的中点，连接， ，，， ， ，四边形是平行四边形， 则， 则， 即是直角三角形， ， 过作直线，交的延长线于， 则， 连接， 平面，平面， 平面平面， 过作与， 则平面，即是到平面的距离， 则中，，，则， 则，得，得，即到平面的距离是． 题型十 翻折问题 41．（2023春•南关区校级期末）如图，在正方形中，点、分别为、的中点，将，分别沿、折起，使，两点重合于，连接，． （1）点是上一点．若平面，则为何值？并说明理由； （2）点是上一点，若，求二面角的余弦值． 【解析】（1）若面，则， 理由如下：连接，交于，连接，则为的中点， 因为在正方形中，点是的中点，点是的中点， ， 因为面，面，平面平面， 所以， 所以， 所以． （2）由（1）知，则， 因为，， 所以，， 又，，面， 所以面， 又面， 所以， 因为在正方形中，点是的中点，点是的中点， 所以， 因为，，面， 所以面， 又，面， 所以，， 又面，面，面面， 所以是二面角的平面角， 由上知，面，面， 所以， 设正方形的边长为4，则，， ，， 所以， ， 所以， 所以二面角的余弦值为． 42．（2023春•汝州市校级期末）如图，在梯形中，，，，，，点满足，把沿折起到，使得，其中，，分别为，，的中点． （1）证明：； （2）求三棱锥的体积． 【解析】（1）证明：因为点满足，，，， 所以，，且， 因为，， 所以， 所以， 因为，，， 所以， 故， 又因为，，平面，且， 所以平面， 因为平面， 所以， 又因为，平面，， 所以平面， 因为平面， 所以． （2）解：因为，分别为，的中点， 所以， 又在面内，不在面内， 则面， 所以， 因为，，，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离为， 又因为， 所以． 43．（2023春•土默特左旗校级期末）如图，边长为4的正方形中，点，分别为，的中点．将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的余弦值． 【解析】（1）证明：因为在正方形中，， 折叠后即有，， 又，，平面， 所以平面，而平面， 故； （2）由题意知，，故， 故； （3）取线段的中点，连接，， 因为，， 所以有，，平面，平面， 所以即为二面角的平面角， 又由（1）得平面，平面， 故，而，， 故， 即二面角的余弦值为． 44．（2023春•市北区校级期末）如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，，沿进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且． （1）求二面角的余弦值； （2）求四棱锥外接球的体积． 【解析】（1）六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且， ，，沿进行翻折， 得到的图形立体图形，且． 在等腰梯形中，作于， 则， ．连接，则， ，，，； ，，平面．又面， ， 又，，面，，又， 就是二面角的平面角， 在中，， 所以二面角的余弦值为． （2）取的中点，连接，，，，， 所以四边形、均为平行四边形， 所以，所以为等腰梯形的外心， 取的中点，连接，，，，， 平面．平面．可得， 所以为四棱锥外接球的球心， 所以． 45．（2023春•青羊区校级期末）如图1，在中，，，，是中点，作于，将沿直线折起到所处的位置，连接，，如图2． （1）若，求证：； （2）若二面角为锐角，且二面角的正切值为，求的长． 【解析】（1）在图1中，，，，是中点， 所以，， 则，，， 则， 又， 所以，， 因为， 则， 又，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以． （2）由题意知，，，平面，平面， 所以平面， 则为二面角的平面角（或补角），即为锐角， 又平面， 所以平面平面， 作所在直线，交于点，如图， 又平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以， 作于点，连接， 又，，面， 故面， 因为面，则， 所以为二面角的平面角（或补角）， 设，则， 在 中，， 设，则，，， 所以，， 在直角三角形中，， 即， 解得 或（舍去）， 此时，， 从而． 46．（2024春•浠水县校级期末）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成△，使平面平面． （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）证明：，是的中点，， 故四边形是菱形，从而， 沿着翻折成△后，，， 又， 平面， 由题意，易知，， 四边形是平行四边形，故， 平面； （2）解：平面， 与平面所成的角为， 由已知条件，可知，， △是正三角形，， 与平面所成的角为； （3）假设线段上是存在点，使得平面， 过点作交于，连结，，如下图： ，，，，四点共面， 又平面，， 四边形为平行四边形，故， 为中点， 故在线段上存在点，使得平面，且． 题型十一 探索性问题 47．（2023春•怀柔区期末）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，底面， （1）证明：平面平面； （2）若平面，证明：为的中点； （3）若，在线段上是否存在点，使得平面，若存在点，则为何值时？直线与底面所成角为． 【解析】（1）证明：底面，平面， 所以， 又底面为正方形，所以，而， 所以平面； 又因为平面， 所以平面平面； （2）证明：平面，连接交于， 由四边形为正方形，可知为的中点， 连接，平面，平面平面， 所以， 所以为的中点； （3）解：存在点在的处，使得平面， 在线段上取点，使，连接，，， 因为中， 所以，且， 在正方形中，在的处， 所以，且， 所以，且， 所以为平行四边形，即， 又平面，平面， 所以平面， 在的处取点，连接，， 中，点，分别为，的处， 所以，且， 因为平面，所以平面， 所以在平面上的射影， 所以即为与底面所成角， 在中，，若，， 所以． 48．（2023春•平谷区期末）如图，几何体中，面面，，，且，，四边形是边长为4的菱形，，点为、的交点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）试判断在棱上是否存在一点，使得平面平面？说明理由． 【解析】（1）证明：取中点，连接，． 菱形，为中点， ，且， ，且， ，， 为平行四边形，， 面，面， 平面； （2），面，面， 面， 到面的距离为， 菱形对角线， ， 三棱锥的体积； （3）在棱上存在一点，使得平面平面，且点为棱的中点． 证明：三角形为等边三角形，点为棱的中点， ， 面面，面面，，面， 面，又面， 所以，又，面，面， 面，平面， 平面平面． 49．（2023春•密云区期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点． （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）在线段上是否存在点，使得平面？请说明理由． 【解析】（1）证明：因为，为中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 因此． （2）证明：由（1）知，平面，平面，所以． 在矩形中，， 又因为，，平面，所以平面． 平面，所以． 又因为，，，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （3）存在为中点时，平面． 理由：取中点为，连接，， 因为为中点，，且． 在矩形中，为中点，所以，且． 所以，且，所以四边形为平行四边形， 因此，又因为面，面， 所以面． 50．（2023春•房山区期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点． （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）证明：因为，为的中点，所以， 又底面为矩形，所以，所以． （2）证明：底面为矩形，． 平面平面，平面平面， 平面，平面， 又平面，． 又，，、平面，平面， 而平面，平面平面； （3）存在，且，理由如下： 连接、，，连接， 因为是矩形，且为的中点，所以，所以， 又平面，平面平面，平面， 所以， 所以． $$