期末强化练06 复数大题9种常见考法归类（59题）-2023-2024学年高一数学微专题期末精准突破（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 期末强化练06 复数大题9种常见考法归类（59题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 复数分类 题型二 共轭复数 题型三 复数相等 题型四 复数的模 题型五 复数的运算 题型六 复数的几何意义 题型七 复数范围内方程根的问题 题型八 复数与三角函数的综合 题型九 复数与平面向量的综合 题型一 复数分类 1．（2023春•嘉定区校级期末）设复数，其中为虚数单位，． （1）若，求的模； （2）若是纯虚数，求实数的值． 2．（2023春•黎川县校级期末）已知复数，． （1）若为实数，求的值； （2）若为纯虚数，求的值． 3．（2023春•湖口县校级期末）已知复数的虚部为，在复平面上对应的点在第三象限，且满足． （1）求； （2）已知，为纯虚数，求的值． 4．（2023春•齐齐哈尔期末）已知复数在复平面内所对应的点为． （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若点在第三象限，求的取值范围． 5．（2023春•菏泽期末）已知复数，． （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 6．（2023春•青羊区校级期末）已知复数，，其中． （1）若，求的值； （2）若是纯虚数，求的值． 7．（2023春•建邺区校级期末）设复数，． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求． 8．（2023春•梅州期末）已知复数，其中为虚数单位，． （1）若满足为纯虚数，求实数的值； （2）若，求实数的值． 9．（2023春•淮安期末）设复数，，为虚数单位． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若为实数，求． 10．（2023春•黄平县校级期末）已知复数． （1）若，求； （2）若是纯虚数，求的值． 题型二 共轭复数 11．（2023春•肇庆期末）设复数，，若． （1）求； （2）记为的共轭复数，计算的值． 12．（2023春•柯坪县校级期末）已知复数，． （1）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围． （2）若复数，求的共轭复数． 13．（2023春•彭泽县校级期末）已知复数是虚数单位）． （1）求复数的共轭复数； （2）若，求，的值． 14．（2023春•邢台期末）已知复数满足，． （1）求； （2）若复数满足，求． 15．（2023春•雁塔区校级期末）已知是复数，和均为实数，其中是虚数单位． （1）求复数的共轭复数； （2）记，若复数对应的点在第三象限，求实数的取值范围． 题型三 复数相等 16．（2024春•武强县校级期末）已知复数，． （1）若，且，求实数，的值； （2）若为纯虚数，且，求复数的模． 17．（2023春•濮阳期末）已知复数是虚数单位），为的共轭复数． （1）求复数的模； （2）若，求，的值． 题型四 复数的模 18．（2024春•闵行区校级期末）已知复数是纯虚数，是实数． （1）求； （2）若，求． 19．（2023春•大通县期末）已知是虚数单位，． （1）求； （2）若复数的虚部为，且是纯虚数，求． 20．（2023春•沈阳期末）在①，②为虚数，③为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中． 已知复数：． （1）若______，求实数的值； （2）若复数的模为，求的值． 21．（2023秋•房山区期末）已知复数． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求； （Ⅲ）若，且是纯虚数，求． 22．（2023春•锦江区校级期末）已知复数 （1）求； （2）若，且复数的虚部等于复数的虚部，复数在复平面内对应的点位于第三象限，求复数． 23．（2023春•辽宁期末）已知复数，，． （1）若是纯虚数，求； （2）若，求． 24．（2023春•鞍山期末）已知复数，复数，其中是虚数单位，，为实数． （1）若，为纯虚数，求的值； （2）若，求，的值． 25．（2023春•解放区校级期末）已知是虚数单位，是的共轭复数． （1）若，求复数和； （2）若复数是纯虚数，求实数的值． 题型五 复数的运算 26．（2023春•南岗区校级期末）计算下列各题． （1）； （2）． 27．（2023春•资阳期末）已知复数，，其中是虚数单位，． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若，求的虚部． 28．（2023春•长安区校级期末）已知复数，，其中是实数． （1）若，求实数的值； （2）若是纯虚数，求． 题型六 复数的几何意义 29．（2023春•和平区期末）设复数，为实数． （1）当为何值时，是纯虚数； （2）若，求的值； （3）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数的取值范围． 30．（2023春•贺兰县校级期末）已知复数，． （1）若复数在复平面上对应的点在虚轴上，求的值． （2）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求的范围． 31．（2023春•金山区校级期末）已知复数，其中为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 32．（2023春•靖远县校级期末）已知复数满足为纯虚数． （1）求； （2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围． 33．（2023春•黄浦区期末）已知复数，，为虚数单位）． （1）若为实数，求； （2）设、在复平面上所对应的点为、，为原点，若，求． 34．（2023春•开封期末）已知，复数是虚数单位）． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 35．（2023春•乐安县校级期末）已知复数满足为纯虚数． （1）求； （2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围． 36．（2023春•新余期末）已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位． （1）求复数； （2）若对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 37．（2023春•恩施州期末）已知复数，，． （1）若，，，对应的点在第四象限，求的范围． （2）若，求的最大值． 38．（2023春•辽宁期末）已知复数满足，且的虚部为． （1）求； （2）若，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，求． 39．（2023春•青原区期末）已知复数使得，，其中是虚数单位． （1）求复数的共轭复数； （2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 40．（2023春•闵行区校级期末）已知，复数，在复平面上对应的点分别为、、，为坐标原点． （1）求的取值范围； （2）当、、三点共线时，求三角形的面积． 41．（2023春•长沙县校级期末）已知复数是虚数单位，，且为纯虚数是的共轭复数）． （1）求实数及； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 题型七 复数范围内方程根的问题 42．（2024春•普陀区校级期末）已知：实系数一元二次方程有虚根，另一根为． （1）求：实数，的值； （2）求：的值． 43．（2024春•山东期末）已知复数，为的共轭复数，且． （1）求的值； （2）若是关于的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根． 44．（2023春•杨浦区校级期末）设常数，已知关于的方程． （1）若，求该方程的复数根； （2）若方程的两个复数根为、，且，求的值． 45．（2023春•成都期末）设复数，为虚数单位，且满足． （1）求复数； （2）复数是关于的方程的一个根，求实数，的值． 46．（2023春•大余县校级期末）已知复数，是实数，其中是虚数单位，． （1）求的值； （2）若复数是关于的方程的根，求实数和的值． 47．（2024春•徐汇区校级期末）已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位． （1）求的值； （2）记复数，求复数的模． 48．（2023春•宾县校级期末）设实部为正数的复数，满足，且复数为纯虚数． （1）求复数； （2）若复数是关于的方程的根，求实数和的值． 49．（2023春•新乡期末）已知复数的虚部为，且为纯虚数． （1）求； （2）若复数是关于的方程的一个根，求，的值． 50．（2023春•赣县区校级期末）已知复数，为虚数单位． （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若为实数，求的值； （Ⅲ）若是关于的实系数方程的一个复数根，求，的值． 51．（2023春•抚州期末）已知复数是方程的一个虚根是虚数单位，． （1）求； （2）复数，若为纯虚数，求实数的值． 52．（2024春•溧阳市期末）已知复数是关于的方程的根是虚数单位），其中，． （1）求，的值． （2）若，且复数是纯虚数，求． 53．（2023春•安源区校级期末）已知复数，是方程的解． （1）求的值； （2）若复平面内表示的点在第三象限，且为纯虚数，其中，求的值． 题型八 复数与三角函数的综合 54．（2023春•平顶山期末）已知复数，，其中，，． （1）若，且，求的值； （2）若，求． 55．（2023春•河北期末）已知复数，，其中是虚数单位，，，． （Ⅰ）若为纯虚数，求的值； （Ⅱ）若，求的取值范围． 56．（2023春•无锡期末）已知复数，，． （1）在复平面内，复数所对应的点位于第二象限，求的取值范围； （2）已知，求的最大值． 57．（2023春•湖北期末）已知为三角形的一个内角，为虚数单位，复数，且在复平面上对应的点在虚轴上． （1）求； （2）设，，在复平面上对应的点分别为，，，求的面积． 58．（2024春•浠水县校级期末）现定义“维形态复数”： ，其中为虚数单位，，． （1）当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； （2）若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值； （3）若正整数，满足，，证明；存在有理数，使得． 题型九 复数与平面向量的综合 59．（2023春•南阳期末）已知复数，，． （Ⅰ）若为实数，求的值； （Ⅱ）设复数，在复平面内对应的向量分别是，若，求的值． 60．（2023春•锦州期末）已知是虚数单位，，，设复数，，，且． （1）若为纯虚数，求； （2）若复数，在复平面上对应的点分别为，，且为复平面的坐标原点． ①是否存在实数，，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数，的值；如果不存在，请说明理由； ②若，，三点不共线，记的面积为，求及其最大值． $$2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 期末强化练06 复数大题9种常见考法归类（59题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 复数分类 题型二 共轭复数 题型三 复数相等 题型四 复数的模 题型五 复数的运算 题型六 复数的几何意义 题型七 复数范围内方程根的问题 题型八 复数与三角函数的综合 题型九 复数与平面向量的综合 题型一 复数分类 1．（2023春•嘉定区校级期末）设复数，其中为虚数单位，． （1）若，求的模； （2）若是纯虚数，求实数的值． 【解析】（1）若， 则， 故，其模为； （2）由题意，它为纯虚数， 则，解得． 2．（2023春•黎川县校级期末）已知复数，． （1）若为实数，求的值； （2）若为纯虚数，求的值． 【解析】（1）若为实数，则，即； （2）若为纯虚数， 则，可得． 3．（2023春•湖口县校级期末）已知复数的虚部为，在复平面上对应的点在第三象限，且满足． （1）求； （2）已知，为纯虚数，求的值． 【解析】（1）复数的虚部为，在复平面上对应的点在第三象限， 则可设， ， ，解得（正值舍去）， ； （2）由（1）可知，， 为纯虚数， 则，解得． 4．（2023春•齐齐哈尔期末）已知复数在复平面内所对应的点为． （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若点在第三象限，求的取值范围． 【解析】（1）由题意得， 因为为纯虚数， 所以，解得． （2）复数在平面内所对应的点为，， 因为点在第三象限，所以，解得， 所以实数的取值范围为． 5．（2023春•菏泽期末）已知复数，． （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 【解析】（1），且是实数， ，解得， 故的值是； （2）是纯虚数， ，即，解得， 故的值是3； （3）在复平面内对应的点在第二象限， ，即，解得， 故的取值范围为． 6．（2023春•青羊区校级期末）已知复数，，其中． （1）若，求的值； （2）若是纯虚数，求的值． 【解析】（1），， ， ，从而，解得； （2）复数，，其中， ， 因为是纯虚数， 所以，解得或． 7．（2023春•建邺区校级期末）设复数，． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求． 【解析】（1）由，，得，而是实数， 于是，解得， 所以． （2）依题意，是纯虚数， 因此，解得， 所以． 8．（2023春•梅州期末）已知复数，其中为虚数单位，． （1）若满足为纯虚数，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【解析】（1）由于， 故由为纯虚数，可得，解得； （2）因为， 故由可得，，即， 解得或． 9．（2023春•淮安期末）设复数，，为虚数单位． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若为实数，求． 【解析】（1）因为， 若为纯虚数，则，解得． （2）因为， 若为实数，则， 解得，即， 解法一：因为，则； 解法二：可得． 10．（2023春•黄平县校级期末）已知复数． （1）若，求； （2）若是纯虚数，求的值． 【解析】（1）． 时，． （2）是纯虚数， ，． 题型二 共轭复数 11．（2023春•肇庆期末）设复数，，若． （1）求； （2）记为的共轭复数，计算的值． 【解析】（1）， 则，则，所以，则． （2），则， ． 12．（2023春•柯坪县校级期末）已知复数，． （1）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围． （2）若复数，求的共轭复数． 【解析】（1）因为，， 所以， 因为复数在复平面上对应的点在第四象限，所以，所以， 即实数的取值范围为． （2）， 所以． 13．（2023春•彭泽县校级期末）已知复数是虚数单位）． （1）求复数的共轭复数； （2）若，求，的值． 【解析】（1）， 则． （2）因为， 将代入上式，即，化简整理可得，， 所以，解得． 14．（2023春•邢台期末）已知复数满足，． （1）求； （2）若复数满足，求． 【解析】（1）由题意得， ， 所以或（舍去）， 故； （2）设， 则， 所以，解得或， 所以或． 15．（2023春•雁塔区校级期末）已知是复数，和均为实数，其中是虚数单位． （1）求复数的共轭复数； （2）记，若复数对应的点在第三象限，求实数的取值范围． 【解析】（1）设，则， 为实数，，解得， 为实数， ，解得， ， ； （2）由（1）可知， ， 复数对应的点在第三象限， 则，解得， 故实数的取值范围为，． 题型三 复数相等 16．（2024春•武强县校级期末）已知复数，． （1）若，且，求实数，的值； （2）若为纯虚数，且，求复数的模． 【解析】（1）若，则， ，，，． （2）， 为纯虚数，，， ， ． 17．（2023春•濮阳期末）已知复数是虚数单位），为的共轭复数． （1）求复数的模； （2）若，求，的值． 【解析】（1）， ； （2），， ，则，解得，． 题型四 复数的模 18．（2024春•闵行区校级期末）已知复数是纯虚数，是实数． （1）求； （2）若，求． 【解析】（1）设且． 则为实数， 所以，所以， 所以； （2）由（1），， 所以． 19．（2023春•大通县期末）已知是虚数单位，． （1）求； （2）若复数的虚部为，且是纯虚数，求． 【解析】（1）， 所以． （2）复数的虚部为，可设， 由（1）可知，， 则， 因为是纯虚数，所以且，解得， 所以． 20．（2023春•沈阳期末）在①，②为虚数，③为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中． 已知复数：． （1）若______，求实数的值； （2）若复数的模为，求的值． 【解析】（1）选择①，则，解得． 选择②为虚数，则，解得． 选择③为纯虚数，则，，解得． （2）可知复数， 依题意， 解得， 此时． 21．（2023秋•房山区期末）已知复数． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求； （Ⅲ）若，且是纯虚数，求． 【解析】（Ⅰ）复数， ； （Ⅱ）复数， ； （Ⅲ）设， ， ①， 又， ，②， 由①②联立，解得或， 或． 22．（2023春•锦江区校级期末）已知复数 （1）求； （2）若，且复数的虚部等于复数的虚部，复数在复平面内对应的点位于第三象限，求复数． 【解析】（1）由复数，可得， 所以． （2）由题意，可得， 因为复数的虚部等于复数的虚部，可设， 又，可得，解得或， 又因为复数在复平面内对应的点位于第三象限，所以，故． 23．（2023春•辽宁期末）已知复数，，． （1）若是纯虚数，求； （2）若，求． 【解析】（1）由题意得， 因为是纯虚数， 所以， 解得：． （2）因为， 所以， 解得：． 故． 24．（2023春•鞍山期末）已知复数，复数，其中是虚数单位，，为实数． （1）若，为纯虚数，求的值； （2）若，求，的值． 【解析】解（1）因为为纯虚数，所以． 又， 所以，，从而． 因此． （2）因为，所以， 即． 又，为实数， 所以， 解得 25．（2023春•解放区校级期末）已知是虚数单位，是的共轭复数． （1）若，求复数和； （2）若复数是纯虚数，求实数的值． 【解析】（1）， 由．得． ，； （2）是纯虚数， ， 解得． 题型五 复数的运算 26．（2023春•南岗区校级期末）计算下列各题． （1）； （2）． 【解析】（1）； （2）． 27．（2023春•资阳期末）已知复数，，其中是虚数单位，． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若，求的虚部． 【解析】（1）由题意得，， 因为为纯虚数，所以且，解得； （2）因为，所以，即， 所以，所以， 所以的虚部为． 28．（2023春•长安区校级期末）已知复数，，其中是实数． （1）若，求实数的值； （2）若是纯虚数，求． 【解析】（1）复数，则， 又是实数，因此， 解得， 所以实数的值是； （2）复数，，， 则， 因为是纯虚数，于是，解得， 因此， 又，，，， 即，且函数，的周期为4，， 所以． 题型六 复数的几何意义 29．（2023春•和平区期末）设复数，为实数． （1）当为何值时，是纯虚数； （2）若，求的值； （3）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数的取值范围． 【解析】（1）若是纯虚数，则，解得， 所以当时，是纯虚数． （2）若，则， 所以． （3）因为复数，对应的点为，， 若复数在复平面内对应的点在第三象限， 则，解得， 故实数的取值范围为． 30．（2023春•贺兰县校级期末）已知复数，． （1）若复数在复平面上对应的点在虚轴上，求的值． （2）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求的范围． 【解析】（1）复数在复平面上对应的点在虚轴上， ，解得或1． （2）复数在复平面上对应的点在第一象限， ，解得或， 故的范围为． 31．（2023春•金山区校级期末）已知复数，其中为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 【解析】（1）由是纯虚数，则，故． （2）由在复平面内对应的点在第四象限，，解得， 故的取值范围为． 32．（2023春•靖远县校级期末）已知复数满足为纯虚数． （1）求； （2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围． 【解析】（1）， 由为纯虚数，得解得． 所以； （2） ， 因为复数在复平面内对应的点位于第三象限， 所以 解得，即的取值范围是． 33．（2023春•黄浦区期末）已知复数，，为虚数单位）． （1）若为实数，求； （2）设、在复平面上所对应的点为、，为原点，若，求． 【解析】（1），， 则， 为实数， ，解得； （2）、在复平面上所对应的点为、，为原点， 则，， ， ，解得， ． 34．（2023春•开封期末）已知，复数是虚数单位）． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【解析】（1）因为是纯虚数， 所以，解得； （2）在复平面内对应的点为，， 由题意可得解得， 故的取值范围是． 35．（2023春•乐安县校级期末）已知复数满足为纯虚数． （1）求； （2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围． 【解析】（1）在复数中， ， 为纯虚数， ，解得， ，； （2）由题意及（1）得，， 在中， ， 复数在复平面内对应的点位于第三象限， ，解得， 的取值范围是． 36．（2023春•新余期末）已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位． （1）求复数； （2）若对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 【解析】（1）设， 由为实数，可得，则． 又为实数，则， 得，； （2）， ， 而对应的点在第四象限， ，解得或． 故的取值范围为． 37．（2023春•恩施州期末）已知复数，，． （1）若，，，对应的点在第四象限，求的范围． （2）若，求的最大值． 【解析】（1）由题意知，解得， 故实数的范围为； （2）， 所以， 所以，故． 当且仅当，所求最大值为． 38．（2023春•辽宁期末）已知复数满足，且的虚部为． （1）求； （2）若，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，求． 【解析】（1）设， 则， 所以，解得， 故； （2）由（1）知，，所以，故， ，所以，，且为锐角，即， 所以． 39．（2023春•青原区期末）已知复数使得，，其中是虚数单位． （1）求复数的共轭复数； （2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 【解析】（1）设，则， ，，即． 又， ，即． ，则； （2）为实数，且， 由题意，，解得． 实数的取值范围为． 40．（2023春•闵行区校级期末）已知，复数，在复平面上对应的点分别为、、，为坐标原点． （1）求的取值范围； （2）当、、三点共线时，求三角形的面积． 【解析】（1）因为，， 所以，当且仅当时等号成立， 故的取值范围是，． （2）由题意有，，三点共线， ，即，解得， ，，即，， 所以， ， 所以 ． 41．（2023春•长沙县校级期末）已知复数是虚数单位，，且为纯虚数是的共轭复数）． （1）求实数及； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【解析】（1）， ， ， 为纯虚数， ，解得， 故，则； （2）， ， 复数所对应的点在第二象限， ，解得， 故实数的取值范围为． 题型七 复数范围内方程根的问题 42．（2024春•普陀区校级期末）已知：实系数一元二次方程有虚根，另一根为． （1）求：实数，的值； （2）求：的值． 【解析】（1）实系数一元二次方程有虚根， 方程必有另一根为， 由韦达定理可得，， ，； （2） 43．（2024春•山东期末）已知复数，为的共轭复数，且． （1）求的值； （2）若是关于的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根． 【解析】（1）， 则， 由于，得，解得：； （2）由（1）可知，， 将代入方程可得：，化简整理可得，， ，解得，， 代入一元二次方程中得：，解得，， 故方程另外一个复数根为． 44．（2023春•杨浦区校级期末）设常数，已知关于的方程． （1）若，求该方程的复数根； （2）若方程的两个复数根为、，且，求的值． 【解析】（1）若， 则，即，解得； （2）方程的两个复数根为、， 则，， 若△，解得或， ， ，解得， 若△， 设， 则， 故， ， ， 则，解得， 故， 故， 综上所述，的值为或． 45．（2023春•成都期末）设复数，为虚数单位，且满足． （1）求复数； （2）复数是关于的方程的一个根，求实数，的值． 【解析】（1）设，因为． 所以， 则，解得， 故； （2）是方程的一个解， 它的共轭复数也是方程的一个解， 根据韦达定理，可得， ，． 46．（2023春•大余县校级期末）已知复数，是实数，其中是虚数单位，． （1）求的值； （2）若复数是关于的方程的根，求实数和的值． 【解析】（1）复数， 则， 是实数， ，解得； （2）， 复数是关于的方程的根， 则也为的方程的另一个根， 故，解得，． 47．（2024春•徐汇区校级期末）已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位． （1）求的值； （2）记复数，求复数的模． 【解析】（1）是关于的方程的一个根， ，即， ， 则，， 解得：，，得； （2），， ，则． 48．（2023春•宾县校级期末）设实部为正数的复数，满足，且复数为纯虚数． （1）求复数； （2）若复数是关于的方程的根，求实数和的值． 【解析】（1）设， 则， 因为为纯虚数， 所以且，， 解得，， 所以； （2）由复数性质可知，，为方程的根， 所以， 即， ． 49．（2023春•新乡期末）已知复数的虚部为，且为纯虚数． （1）求； （2）若复数是关于的方程的一个根，求，的值． 【解析】（1）设，， 则 ， 又为纯虚数，所以，解得， 所以． （2）因为复数是关于的方程的一个根， 所以也是关于的方程的一个根， 所以，解得． 50．（2023春•赣县区校级期末）已知复数，为虚数单位． （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若为实数，求的值； （Ⅲ）若是关于的实系数方程的一个复数根，求，的值． 【解析】（Ⅰ）因为，所以； （Ⅱ）因为为实数，所以，解得； （Ⅲ）因为是关于的实系数方程 的一个复数根， 所以，整理得， 所以，解得 或． 51．（2023春•抚州期末）已知复数是方程的一个虚根是虚数单位，． （1）求； （2）复数，若为纯虚数，求实数的值． 【解析】（1）是方程的一个虚根， 则也是方程的一个虚根， 故，解得， ， 所以； （2）， 则， 为纯虚数， ，解得． 52．（2024春•溧阳市期末）已知复数是关于的方程的根是虚数单位），其中，． （1）求，的值． （2）若，且复数是纯虚数，求． 【解析】（1）因为是方程的根，所以， 即， 所以，解得，； （2）设，则，所以，① 又为纯虚数，所以，② 由①②联立，解得，或， 所以或． 53．（2023春•安源区校级期末）已知复数，是方程的解． （1）求的值； （2）若复平面内表示的点在第三象限，且为纯虚数，其中，求的值． 【解析】（1）复数，是方程的解， 由韦达定理可得，，， ； （2），， 又复平面内表示的点在第三象限， ， ， 为纯虚数， ，解得． 题型八 复数与三角函数的综合 54．（2023春•平顶山期末）已知复数，，其中，，． （1）若，且，求的值； （2）若，求． 【解析】（1）由，且，可得，且，，解得； （2）因为，所以，解得， 所以． 55．（2023春•河北期末）已知复数，，其中是虚数单位，，，． （Ⅰ）若为纯虚数，求的值； （Ⅱ）若，求的取值范围． 【解析】（Ⅰ），为纯虚数， 则，解得； （Ⅱ）， 则，， 则， 当时，取得最小值， 当时，取得最大值5， 故的取值范围为． 56．（2023春•无锡期末）已知复数，，． （1）在复平面内，复数所对应的点位于第二象限，求的取值范围； （2）已知，求的最大值． 【解析】（1）复数，因为复数所对应的点位于第二象限， 所以，解得：， 故的取值范围为； （2）因为，所以， 所以， 因为，所以，， 当时，， 所以的最大值为7． 57．（2023春•湖北期末）已知为三角形的一个内角，为虚数单位，复数，且在复平面上对应的点在虚轴上． （1）求； （2）设，，在复平面上对应的点分别为，，，求的面积． 【解析】（1）， ，， ； （2）由（1）知：，， ，， ． 在复平面上对应的点分别为，，， ，，， 由余弦定理可得，且， ， ． 58．（2024春•浠水县校级期末）现定义“维形态复数”： ，其中为虚数单位，，． （1）当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； （2）若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值； （3）若正整数，满足，，证明；存在有理数，使得． 【解析】证明：（1）当时，， ， ； 解：（2）因为，， 则， 因为， 所以，， 故； 证明：（3）因为，， 所以，， 所以，即，， 同理，，， 所以，， 所以，，， 因为， 所以，，即，，， 故存在有理数，使得． 题型九 复数与平面向量的综合 59．（2023春•南阳期末）已知复数，，． （Ⅰ）若为实数，求的值； （Ⅱ）设复数，在复平面内对应的向量分别是，若，求的值． 【解析】（1） ， ， 即， ，， ，； （2）由题得：，， ，， ， ， 即， 即， 即， ， ，， ． 60．（2023春•锦州期末）已知是虚数单位，，，设复数，，，且． （1）若为纯虚数，求； （2）若复数，在复平面上对应的点分别为，，且为复平面的坐标原点． ①是否存在实数，，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数，的值；如果不存在，请说明理由； ②若，，三点不共线，记的面积为，求及其最大值． 【解析】（1）因为复数， 所以， 而为纯虚数，因此，即． 又因为，且，所以， 由，解得或， 所以或． （2）①存在，理由如下： 法一：由题意知：，得， 解得或， 因为逆时针旋转后与重合，所以； 法二：设，是以轴正半轴为始边，为终边的角，则， 所以即， 所以，所以， 且时，满足． 所以． ②因为复数，对应的向量分别是为坐标原点），且，，三点不共线， 所以设向量的夹角为，，设复数所对应的向量为， 则且， 因此的面积， ， 设，则， 当且仅当且，即或时等号成立， 所以，其最大值为2． $$