2024年人教版数学九年级上暑假自学课专题训练专题十三 旋转

人教版数学九年级上暑假自学课专题训练 专题十三 旋转 专题导航 知识点1 旋转的定义 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某一方向转动一个角度，这样的运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角叫旋转角，转动的方向称为旋转方向. 要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角. 名师点拨 ①旋转中心在旋转过程中保持不动； ②图形的旋转由旋转中心、旋转方向和旋转角决定； ③将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一角度，意味着图形上每一点同时按相同的方向旋转了相同的角度. 典例剖析1 例1-1．嘉嘉和爸爸非常自律，每天晚饭后都要从7点钟开始进行半个小时的体育锻炼，在锻炼期间，钟表上的分针（   ） A．顺时针旋转了 B．逆时针旋转了 C．逆时针旋转了 D．顺时针旋转了 针对练习1 1．通过翻折、旋转和平移都能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是正方形，是延长线上一点，是上一点，若绕点A按逆时针方向旋转度后与重合，则的最小值为（    ）    A．90 B．60 C．45 D．30 能力提升1 1．如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C恰好为的中 点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数． (2)求出的度数和的长． 2．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转至的位置，点B的对应点为点，点C的对应点恰好落在边上．设旋转角为． (1)的度数为 °； (2)求的周长． 知识点2 旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等； (2)对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角； (3)旋转前后的两个图形全等_.即旋转不改变图形的形状和大小. (4)对应线段相等，对应角相等； 名师点拨 图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. （1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键. （2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础. （3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。 典例剖析2 例2-1．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转到，使点落在边上，则旋转角为 度．    例2-2．如图，绕点A按逆时针方向旋转后与重合，则 ． 例2-3．如图，P是正三角形内的一点，且，，．若将绕点A逆时针旋转后，得到，则点P与之间的距离为 ， ． 针对训练2 1．如图，在，，点D是边上一点（不与点A，C重合），线段是由线段绕点A逆时针旋转得到，连接．判断直线与的位置关系，并说明理由； 2．如图，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接，若，直接写出的度数． 3．如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接．    (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求． 能力提升2 1．如图，在等腰直角中，，D为边上一点，连接，将绕点C逆时针旋转到，连接． (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 2．已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点，，当绕点旋转到时（如图），易证． (1)当绕点旋转到时（如图），上面的结论还成立吗？说明理由． (2)当绕点旋转到如图的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？说明理由． (3)图中，若，，求的面积为 ． 3．（一）问题探究 已知：在锐角中，，把线段绕点沿逆时针方向旋转得到线段，把线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段，分别连接． （1）如图①，当时，线段与的数量关系是 （直接写出结论，不说理由）； （2）如图②，当时， ①探究线段与的数量关系，并说明理由； ②若，，求的长； （二）解决问题 如图③，在四边形中，，，，请直接写出线段的长．（不说理由） 知识点3 旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 名师点拨 作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点 典例剖析3 例3-1．将图形  绕中心旋转后的图形是 （画出图形）． 例3-2．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)以点为旋转中心，将旋转，得到，请画出； (2)将线段向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，画出线段；（点与点对应，点与点对应） (3)画出格点，使得．（只需画出一个点，作图过程用虚线表示） 针对训练3 1．如图，在中，，将边绕点A顺时针旋转得到线段． (1)尺规作图：求作线段，使为边绕点A逆时针旋转所得的． (2)连结交边于点F．猜想并写出线段，的数量关系，请说明理由． 2．如图，的斜边在直线l上，将绕点顺时针旋转一个角，使点的对应点落在直线l上．请作出点的对应点．（要求：保留作图痕迹，不写作法）    能力提升3 1．如图，已知中，，点P是内的一点． (1)作图：将绕点A按逆时针旋转得到； (2)若，，求的长． 2．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段．点、都在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中画出钝角，且； (2)在方格纸中将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 3．如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点为． (1)作出旋转后的图形（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)连接，若，请判断直线是否经过点，并说明理由． 知识点4 坐标与旋转规律问题 坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 典例剖析4 例4-1．如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（    ）    A．71 B．72 C．73 D．74 例4-2．如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（　　）    A． B． C． D． 例4-3．依次观察三个图形：，并判断照此规律从左向右第四个图形是（    ） A． B． C． D． 针对训练4 1．如图，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一个边长为1cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（  ） A． B． C． D． 2．图1是正方体的平面展开图，六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6，将点数朝外折叠成一枚正方体骰子，并放置于水平桌面上，如图2所示，若骰子初始位置为图2所示的状态，将骰子向右翻滚，则完成1次翻转，此时骰子朝下一面的点数是2，那么按上述规则连续完成2次翻折后，骰子朝下一面的点数是3；则连续完成2020次翻折后，骰子朝下一面的点数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 能力提升4 1．两块全等的等腰直角三角板如图放置，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，当点D落在直线AB上时，若BC＝2，则AD＝ ． 2．如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向连续翻转2015次，点依次落在点P1，P2，P3，……P2015的位置，则点P2015的横坐标为 ． 3．【阅读理解】 射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”． 【解决问题】 （1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD　 　射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 　 　；（用含n的代数式表示） （3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版数学九年级上暑假自学课专题训练 专题十三 旋转（解析版） 专题导航 知识点1 旋转的定义 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某一方向转动一个角度，这样的运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角叫旋转角，转动的方向称为旋转方向. 要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角. 名师点拨 ①旋转中心在旋转过程中保持不动； ②图形的旋转由旋转中心、旋转方向和旋转角决定； ③将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一角度，意味着图形上每一点同时按相同的方向旋转了相同的角度. 典例剖析1 例1-1．嘉嘉和爸爸非常自律，每天晚饭后都要从7点钟开始进行半个小时的体育锻炼，在锻炼期间，钟表上的分针（   ） A．顺时针旋转了 B．逆时针旋转了 C．逆时针旋转了 D．顺时针旋转了 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，解决本题的关键在于知道分针走一大格是． 钟面上指针转动的方向就是顺时针，分针走一大格是，从7点钟到7点半走了6大格，据此即能求解． 【详解】解：顺时针旋转了， 故选：D． 针对练习1 1．通过翻折、旋转和平移都能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折、旋转和平移，根据翻折及旋转的定义即可求解． 【详解】解： A、图形只能通过旋转变换得到，故不符合题意； B、图形通过翻折、旋转和平移都能得到，故符合题意； C、图形只可以通过旋转得到，不符合题意； D、图形可以通过平移得到，故不符合题意； 故选B． 2．如图，四边形是正方形，是延长线上一点，是上一点，若绕点A按逆时针方向旋转度后与重合，则的最小值为（    ）    A．90 B．60 C．45 D．30 【答案】A 【分析】本题考查旋转角，正方形的性质．根据正方形的性质得到，则将绕点A按逆时针方向旋转即可与重合，从而解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴旋转角为，即． 故选：A 能力提升1 1．如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C恰好为的中 点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数． (2)求出的度数和的长． 【答案】(1)旋转中心是点A，旋转角度是 (2)， 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键． （1）根据旋转的定义即可解答； （2）根据旋转的性质可得即可求出，再由，C是中点即可求解． 【详解】（1）解：∵逆时针旋转一定角度后与重合，A为顶点， 旋转中心是点A； 根据旋转的性质可以知道：， 旋转角度是150°； （2）解：∵逆时针旋转一定角度后与重合， ∴， ∴， 又∵C为中点， ． 2．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转至的位置，点B的对应点为点，点C的对应点恰好落在边上．设旋转角为． (1)的度数为 °； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质． （1）根据，，求出，即可求出结果； （2）根据直角三角形的性质得出，根据旋转得出，，证明是等边三角形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 根据旋转可知：； （2）解：∵，，， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转角度至的位置， ∴，， ∴是等边三角形， ∴的周长是． 知识点2 旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等； (2)对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角； (3)旋转前后的两个图形全等_.即旋转不改变图形的形状和大小. (4)对应线段相等，对应角相等； 名师点拨 图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. （1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键. （2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础. （3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。 典例剖析2 例2-1．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转到，使点落在边上，则旋转角为 度．    【答案】60 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 证明为等边三角形，得到即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵绕点C顺时针旋转到，使得点恰好落在上， ∴，等于旋转角， ∴为等边三角形， ∴， 即旋转角度为． 故答案为：60． 例2-2．如图，绕点A按逆时针方向旋转后与重合，则 ． 【答案】/62度 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟知旋转角的定义与旋转后对应边相等是解题的关键． 根据旋转的性质知，，然后利用三角形内角和定理进行求解． 【详解】∵绕点按逆时针方向旋转后与重合， ∴，， ∴， 故答案为：． 例2-3．如图，P是正三角形内的一点，且，，．若将绕点A逆时针旋转后，得到，则点P与之间的距离为 ， ． 【答案】 6 /150度 【分析】连接，得出为等边三角形，进而可求出点P与之间的距离；根据，，，判定为直角三角形，即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵绕点A逆时针旋转后，得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，，，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴． 故答案为：6；． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理，作辅助线构造三角形是解题的关键． 针对训练2 1．如图，在，，点D是边上一点（不与点A，C重合），线段是由线段绕点A逆时针旋转得到，连接．判断直线与的位置关系，并说明理由； 【答案】，见解析 【分析】本题考查了旋转性质求解，等边对等角，三角形内角和，对顶角相等等知识，延长交于点F ，根据旋转性质可知，，根据等边对等角以及三角形内角和即可求出，根据对顶角相等结合三角形内角和即可． 【详解】解：，理由如下： 如图，延长交于点F ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 2．如图，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接，若，直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由等边三角形的性质得，，由旋转的性质得，，进而得，即可由证明； （）由全等三角形的性质得，由，可判定为等边三角形，得到，利用角的和差关系即可求解； 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握旋转和等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 3．如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接．    (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求． 【答案】(1)正方形，理由见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，又由可得，由此得四边形是矩形，又由得四边形是正方形． （2）过点D作于H，则可得，进而可得，，在中，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）四边形是正方形，理由如下：      ∵将点B按顺时针方向旋转， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形； （2）如图，过点D作于H，    ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 能力提升2 1．如图，在等腰直角中，，D为边上一点，连接，将绕点C逆时针旋转到，连接． (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等，面积相等． （1）通过证明，即可求证； （2）先求出，在根据勾股定理求出，由全等的性质得出，则，即可解答． 【详解】（1）证明：∵绕点C逆时针旋转到， ∴， ∵， ∴，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 设， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点，，当绕点旋转到时（如图），易证． (1)当绕点旋转到时（如图），上面的结论还成立吗？说明理由． (2)当绕点旋转到如图的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？说明理由． (3)图中，若，，求的面积为 ． 【答案】(1)成立，理由见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】()证明，得到，，进而可证明，得到，则可得出结论； ()证明，得到，，进而可证明，得到，则可得出结论； ()根据全等三角形的性质得出，由题意求出的面积即可得出答案； 本题考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】（1）解：上面的结论还成立，理由如下： 如图，在的延长线上，截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，在上截取，连接 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， 即， ∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵ ， ∴， ∴的面积， ∴的面积为， 故答案为：． 3．（一）问题探究 已知：在锐角中，，把线段绕点沿逆时针方向旋转得到线段，把线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段，分别连接． （1）如图①，当时，线段与的数量关系是 （直接写出结论，不说理由）； （2）如图②，当时， ①探究线段与的数量关系，并说明理由； ②若，，求的长； （二）解决问题 如图③，在四边形中，，，，请直接写出线段的长．（不说理由） 【答案】（1）；（2）①，理由见详解；②；（3） 【分析】（1）先根据旋转的性质得到，，，从而证明，即得答案； （2）①类似（1）的证明，即可证得答案；②根据勾股定理可求得的长，根据①中的全等三角形及等腰三角形的性质，可得，最后由勾股定理即可求得答案； （3）过点作，交的延长线于点，先根据等腰三角形的判定与性质，分别求出与的长，再证明，即得的长． 【详解】解：（1）∵把线段绕点沿逆时针方向旋转得到线段，把线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：； （2）①，理由如下： ∵把线段绕点沿逆时针方向旋转得到线段，把线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ②∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； （3）如下图，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 知识点3 旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 名师点拨 作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点 典例剖析3 例3-1．将图形  绕中心旋转后的图形是 （画出图形）． 【答案】   【分析】本题考查了旋转的性质，旋转前后的图形不发生任何变化，绕中心旋转，即是对应点绕旋转中心旋转，即可得出所要图形，注意矩形图形的旋转变换是解题的关键． 【详解】 解：将图形  ，各对应点绕中心旋转， 可得出相应图形：  ，即是所求答案， 故答案为：． 例3-2．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)以点为旋转中心，将旋转，得到，请画出； (2)将线段向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，画出线段；（点与点对应，点与点对应） (3)画出格点，使得．（只需画出一个点，作图过程用虚线表示） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图旋转变换、平移变换、等腰直角三角形，熟练掌握旋转的性质、平移的性质、等腰直角三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可； （3）以点为直角顶点作等腰直角三角形，即可得格点． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，线段即为所求； （3）解：如图，以点为直角顶点作等腰直角三角形， 可得， 则点即为所求（答案不唯一）． ． 针对训练3 1．如图，在中，，将边绕点A顺时针旋转得到线段． (1)尺规作图：求作线段，使为边绕点A逆时针旋转所得的． (2)连结交边于点F．猜想并写出线段，的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【分析】本题主要考查作图﹣旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）在上取点N使得，由旋转可知，，进而证明，得出，再证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意作图，如图所示点P为所求作的点，   （2）解：，理由如下： 在上取点N使得， 由旋转可知，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， 又， ， 又，， ， ， ． 2．如图，的斜边在直线l上，将绕点顺时针旋转一个角，使点的对应点落在直线l上．请作出点的对应点．（要求：保留作图痕迹，不写作法）    【答案】作图见详解 【分析】本题主要考查尺规作角等于已知角，掌握尺规作角的方法是解题的关键． 【详解】如图，    以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点； 连接，以点为圆心，以为半径画弧，交于点； 连接并延长； 以点为圆心，以为半径画弧，交直线于点； 以点为圆心，以为半径画弧，交延长线于点，连接； ∵，，， ∴， ∴点即为所求． 能力提升3 1．如图，已知中，，点P是内的一点． (1)作图：将绕点A按逆时针旋转得到； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，画旋转图形： （1）根据题意作图即可； （2）由旋转的性质得到，则可求出，利用勾股定理求出，则可利用勾股定理求出的长． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，连接， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得得． 2．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段．点、都在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中画出钝角，且； (2)在方格纸中将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】(1)图形见解析 (2)图形见解析， 【分析】本题考查作图-旋转变换、勾股定理，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、钝角三角形的定义是解答本题的关键． （1）由勾股定理得，结合钝角三角形的定义画图即可． （2）根据旋转的性质作图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得，． 如图，钝角即为所求． （2）画出如图所示，由勾股定理得，．    3．如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点为． (1)作出旋转后的图形（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)连接，若，请判断直线是否经过点，并说明理由． 【答案】(1)图见详解 (2)直线经过点E 【分析】本题考查作图旋转变换、等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、等边三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）结合旋转的性质、等边三角形的性质，先分别以点，为圆心，线段的长为半径画弧，两弧相交于点，再以点为圆心，线段的长为半径画弧，以点为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，即可． （2）由旋转可得，，，则为等边三角形，可得，进而可得，则点，，在一条直线上，即可得直线经过点． 【详解】（1）解：如图，先分别以点，为圆心，线段的长为半径画弧，两弧相交于点，再以点为圆心，线段的长为半径画弧，以点为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，， 则即为所求． （2）直线经过点． 理由：由旋转可得，，， 为等边三角形， ， ， ， 点，，在一条直线上， 直线经过点． 知识点4 坐标与旋转规律问题 坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 典例剖析4 例4-1．如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（    ）    A．71 B．72 C．73 D．74 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，规律探索，循环节的计算，根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可． 【详解】根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可， ∵在第四象限， ∴除以4后的余数为2， ∵， 故选D．   ． 例4-2．如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第2023次旋转结束时，点C在第三象限，过点A作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F，再根据菱形的性质及全等三角形的性质，即可求得坐标. 【详解】解：∵将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转， ， ∴旋转4次后回到原来的位置， ∵， ∴第2023次旋转结束时，点C在第三象限， 如图：过点A作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F，    ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故第2023次旋转结束时，点C的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查菱形的性质和旋转的性质，全等三角形的判定及性质，以及坐标与图形的性质，直角三角形的性质，找出旋转规律是解题关键. 例4-3．依次观察三个图形：，并判断照此规律从左向右第四个图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形规律可知，从左到右是依次顺时针旋转图形，据此即可求解． 【详解】解：由图形规律可得从左到右是依次顺时针旋转图形， ∴第四个图形是D． 故答案为：D 【点睛】本题考查了旋转的性质，根据三个图形找出旋转的规律是解题关键． 针对训练4 1．如图，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一个边长为1cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，矩形ABCD的边长AB和BC分别是3cm和2cm，小正方形的边长为1cm，则这个小正方形第一次回到起始位置时需10次翻转，而每翻转4次，它的方向重复依次，小正方形共翻转10次回到起始位置，即可得到它的方向． 【详解】解：根据题意可得：小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，矩形ABCD的边长AB和BC分别是3cm和2cm，小正方形的边长为1cm，则这个小正方形第一次回到起始位置时需10次翻转，而每翻转4次，它的方向重复1次，故回到起始位置时它的方向是向下． 故选：C． 【点睛】本题考查了图形类规律题，关键是得出小正方形共翻转10次回到起始位置． 2．图1是正方体的平面展开图，六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6，将点数朝外折叠成一枚正方体骰子，并放置于水平桌面上，如图2所示，若骰子初始位置为图2所示的状态，将骰子向右翻滚，则完成1次翻转，此时骰子朝下一面的点数是2，那么按上述规则连续完成2次翻折后，骰子朝下一面的点数是3；则连续完成2020次翻折后，骰子朝下一面的点数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先根据平面图形确定各对面的点数，根据翻转发现规律：每四次为一个循环，用2020除以4得到翻转完成2020次后的图形，即可得到答案． 【详解】由平面图形可知：1与6是对面，2与5是对面，3与4是对面， 这是一个正方体，完成1次翻转时骰子朝下一面的点数是2，完成5次翻转后朝下一面的点数还是2，故每四次为一个循环， ∵， ∴连续完成2020次翻折后，与图2的位置相同，骰子朝下一面的点数是4， 故选：C． 【点睛】此题考查图形类规律探究，正方体展开图，旋转的性质，正确理解旋转的规律并运用规律解决问题是解题的关键． 能力提升4 1．两块全等的等腰直角三角板如图放置，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，当点D落在直线AB上时，若BC＝2，则AD＝ ． 【答案】或 【分析】作直线AE，则AE⊥BC；设E点为坐标原点，则A（0，1），B（-1，0），则直线AB为：y=x+1，设D点（a，a+1），利用D、E两点的距离公式求得D点坐标，再求A、D两点距离即可解答； 【详解】解：如图，作直线AE， △ABC是等腰直角三角形，E是BC中点，∴AE⊥BC， ∵BC=2，∴BE=1，AE=1，AB==， ∵△ABC≌△DEF，∴DE=AB=， 设E点为坐标原点，则A（0，1），B（-1，0）， 设AB所在的直线为：y=kx+b，代入A，B坐标可得直线为：y=x+1， D点在直线AB上，设D点（a，a+1），由两点距离公式可得： DE==， ，解得：a= ∴D点坐标为（，）（在BA延长线上）， 或（，）（在AB延长线上）， A点坐标（0，1）， ∴AD==， 或AD==， 故答案为：或； 【点睛】本题考查了图形的旋转，等腰三角形的性质，勾股定理，通过建立坐标系构造一次函数求得D点坐标是解题关键． 2．如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向连续翻转2015次，点依次落在点P1，P2，P3，……P2015的位置，则点P2015的横坐标为 ． 【答案】2015 【详解】试题分析：因为正三角形边长为1，根据题意可得出P1、P2的横坐标是1，P3的横坐标是2．5，P4、P5的横坐标是4，P6的横坐标是5．5…依次类推下去，P2011、P2012的横坐标是2012，P2013的横坐标是2013．5，P2014、P2015的横坐标就是2015． 考点：1．图形旋转的性质2．探寻点的坐标的规律． 3．【阅读理解】 射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”． 【解决问题】 （1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD　 　射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 　 　；（用含n的代数式表示） （3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？ 【答案】（1）是；（2）n；（3）或或或30秒 【分析】（1）根据“友好线”定义即可作出判断； （2）根据“友好线”定义即可求解； （3）利用分类讨论思想，分四种情况进行计算即可． 【详解】解：（1）∵OB是∠BOC的平分线， ∴∠BOD＝∠COD， ∵∠COA＝∠BOC， ∴∠BOD＝∠AOD， ∴射线OD是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”． （2）∵射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，∠AOB的度数为n， ∴∠BOM＝∠AOB＝n， ∵ON平分∠AOB， ∴∠BON＝∠AOB＝n， ∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝n﹣n＝n； （3）设运动时间为x（x≤36）秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好线”． 当射线OB是射线OA在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠AOB＝∠COB， 所以3x＝（180﹣5x﹣3x）， 解得x＝（符合题意）， 即运动时间为秒时，射线OB是射线OA的“友好线”． 当射线OB是射线OC在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠COB＝∠AOB， 所以180﹣5x﹣3x＝×3x， 解得x＝（符合题意）， 即运动时间为秒时，射线OB是射线OC的“友好线”． 当射线OC是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”时，则∠COB＝∠AOC， 所以3x+5x﹣180＝（180﹣5x）， 解得x＝（符合题意）， 即运动时间为秒时，射线OC是射线OB的“友好线”． 当射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”时，则∠AOC＝∠COB， 所以180﹣5x＝（5x+3x﹣180）， 解得x＝30（符合题意）， 即运动时间为30秒时，射线OC是射线OA的“友好线”． 综上所述，当运动时间为或或或30秒时，符合题意要求． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，角的运算，理解新定义，并用数形结合思想解答是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$