精品解析：浙江省义乌市第二中学2023-2024学年高一下学期6月阶段性考试数学试题卷

义乌二中高一下学期6月阶段性考试 数学 试题卷 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产量之比为现用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的产品有8件，则样本容量n的值为（ ） A. 48 B. 36 C. 54 D. 42 2. 某网站举行购物抽奖活动，规定购物消费每满100元就送一次抽奖机会，中奖的概率为．那么以下理解正确的是（ ） A. 某人抽奖100次，一定能中奖10次 B. 某人消费1000元，至少能中奖1次 C. 某人抽奖1次，一定不能中奖 D. 某人抽奖10次，可能1次也没中奖 3. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，已知两个系统至少有一个能正常运作，小区就处于安全防范状态.若要求小区在任意时刻均处于安全防范状态的概率不低于，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在长方体中，若分别是棱的中点，则下列结论一定成立的是（ ） A. 四边形是矩形 B. 四边形是正方形 C. D. 平面平面 5. 在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量,对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是　(　　) A. 2+4i B. -2+4i C. -4+2i D. 4-2i 6. 十二水硫酸铝钾是一种无机物，又称明矾，是一种含有结晶水的硫酸钾和硫酸铝的复盐.我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到明矾晶体的结构，即为一个正八面体（如图）.假设该正八面体的所有棱长均为2，则二面角的余弦为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 7. 已知复数（i是虚数单位），则下列命题中正确的为（ ） A. B. 的虚部是4 C. 是纯虚数 D. 复数的共轭复数为 8. 空气质量指数分为“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重度污染”“严重污染”六个等级，指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，这六个等级分别对应的指数范围为，，，，，，如图是湘阴县连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法正确的是（ ） A. 这14天中有4天空气质量指数为“良” B. 从2日到5日空气质量越来越差 C. 这14天中空气质量指数的中位数是103 D. 连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11日 9. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ） A. 直线与平面所成的角等于 B. 点到面的距离为 C. 两条异面直线和所成的角为 D. 二面角的平面角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 10. 已知点与点，点在直线上，且，则点的坐标为_________. 11. 一组数据：2、3、4、5、6、7、8、9、11、12的分位数是__________. 12. 在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”，如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，则在过点且与直线平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积等于____________，该“堑堵”的外接球的表面积为____________. 四、解答题：本题共3小题，共37分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 13. 俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： （1）求样本中数据落在的频率； （2）求样本数据的第50百分位数； （3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率. 14. 如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合). （1）求证：平面EMN⊥平面PBC； （2）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由. 15. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且设点为的费马点． （1）若，． ①求角； ②求． （2）若，，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 义乌二中高一下学期6月阶段性考试 数学 试题卷 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产量之比为现用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的产品有8件，则样本容量n的值为（ ） A. 48 B. 36 C. 54 D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样的比例关系求得答案. 【详解】因为某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，三种产品产量之比为1：2：3， 已知抽得种型号的产品8件， 所以 ， 解得. 故选：A 2. 某网站举行购物抽奖活动，规定购物消费每满100元就送一次抽奖机会，中奖的概率为．那么以下理解正确的是（ ） A. 某人抽奖100次，一定能中奖10次 B. 某人消费1000元，至少能中奖1次 C. 某人抽奖1次，一定不能中奖 D. 某人抽奖10次，可能1次也没中奖 【答案】D 【解析】 【分析】对于概率的理解要到位，中奖的概率为，与抽的次数无关，只是有中奖的可能性，从而作出判断. 【详解】中奖的概率为，与抽的次数无关，不能保证一定中奖，也不能保证一定不中奖，只是有中奖的可能性，故D选项正确 故选：D 3. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，已知两个系统至少有一个能正常运作，小区就处于安全防范状态.若要求小区在任意时刻均处于安全防范状态的概率不低于，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：根据独立事件的乘法公式和互斥事件加法公式求解即可；方法二：根据独立事件的乘法公式和对立事件概率公式求解. 【详解】设系统和系统在任意时刻发生故障的事件分别为M和N. 方法一：小区处于安全防范状态的概率为 ， 解得，故的最大值为. 故选：A. 方法二：小区在任意时刻均处于安全防范状态的概率为，解得，故的最大值为. 故选：A. 4. 如图，在长方体中，若分别是棱的中点，则下列结论一定成立的是（ ） A. 四边形是矩形 B. 四边形是正方形 C. D. 平面平面 【答案】A 【解析】 【分析】充分利用中点的特征，通过证明，，来得到四边形是矩形，从而确定选项A正确，选项B错误.选项C、D可利用反证法. 【详解】在长方形中，因为点，分别为，的中点， 所以，. 在长方体中，有平面，又， 所以平面，又平面，所以. 在长方形中，同理可得，. 所以，，又，所以四边形是矩形. 故选项A正确，选项B错误. 若，则由知，， 又点，分别为，的中点，所以， 所以.由图知和为相交直线，矛盾.故假设不成立，故选项C错误. 由图知，和为相交直线，所以平面与平面不会平行，故选项D错误. 故选：A. 5. 在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量,对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是　(　　) A. 2+4i B. -2+4i C. -4+2i D. 4-2i 【答案】D 【解析】 【详解】 由题意可得，在平行四边形中， 则，所以对应的复数为，故选D． 6. 十二水硫酸铝钾是一种无机物，又称明矾，是一种含有结晶水的硫酸钾和硫酸铝的复盐.我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到明矾晶体的结构，即为一个正八面体（如图）.假设该正八面体的所有棱长均为2，则二面角的余弦为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用定义作出二面角的平面角，在中利用余弦定理即可求解. 【详解】如图， 连接AC，BD交于点O，连接EF，易知EF过点O，取的中点，连接，， 根据正八面体的几何特征，，， 又平面，平面，平面平面， 所以为二面角的平面角. 易知平面，AC在面ABCD内，则， 所以是直角三角形，又，，所以，所以. 在中，，同理， 在中，， 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 7. 已知复数（i是虚数单位），则下列命题中正确的为（ ） A. B. 的虚部是4 C. 是纯虚数 D. 复数的共轭复数为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的模长、虚部、运算、共轭复数逐项判断即可. 【详解】复数，所以，故A正确； 的虚部为，故B不正确； ，为实数，故C不正确； 复数的共轭复数是，故D正确. 故选：AD. 8. 空气质量指数分为“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重度污染”“严重污染”六个等级，指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，这六个等级分别对应的指数范围为，，，，，，如图是湘阴县连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法正确的是（ ） A. 这14天中有4天空气质量指数为“良” B. 从2日到5日空气质量越来越差 C. 这14天中空气质量指数的中位数是103 D. 连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11日 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据折线图根据数据的分布特点判断A，B，根据中位数的计算解得判断C，根据方差的意义即可判断D. 【详解】根据题图分析数据，对选项逐一判断． 对于A，1日，3日，12日，13日在区间内，共4天空气质量指数为“良”，故A正确； 对于B，从2日到5日空气质量指数越来越高，故空气质量越来越差，故B正确； 对于C，十四天的空气质量指数从小到大排序为：25,37,40,57,79,86,86,121,143,158,160,160,217,220中位数为，故C错误； 对于D，方差小说明了个数据的波动较小，由题图可知连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11日，故D正确． 故选：ABD． 9. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ） A. 直线与平面所成的角等于 B. 点到面的距离为 C. 两条异面直线和所成的角为 D. 二面角的平面角的余弦值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据线面角的定义及求法即可判断；由点到平面的距离的求法即可判断；由异面直线所成角的定义及求法即可判断；由平面角的定义及余弦定理即可判断． 【详解】解：如图，取的中点，连接，易证平面， 所以是直线与平面所成的角为，故正确； 点到平面的距离为的长度为，故正确； 易证，所以异面直线和所成的角为或其补角， 因为为等边三角形，所以两条异面直线和所成的角为，故错误； 连接，由，所以，又， 所以为二面角的平面角， 易求得，又，， 由余弦定理可得，故错误． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 10. 已知点与点，点在直线上，且，则点的坐标为_________. 【答案】或 【解析】 【分析】由题设条件知A，P，B三点共线，且有或，设出点P的坐标，分两类利用向量相等的条件建立方程求出点P的坐标即可 【详解】设，则由，得或. 若，则. 所以解得故. 若，同理可解得故. 综上，点的坐标为或. 故答案为或. 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，向量相等的条件，解题的关键是由题设条件得出两向量的数乘关系，属于中档题. 11. 一组数据：2、3、4、5、6、7、8、9、11、12的分位数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】数据组共10个数据且从小到大顺序排列， ， 原数据组的第分位数为  ，即 . 故答案为： 12. 在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”，如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，则在过点且与直线平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积等于____________，该“堑堵”的外接球的表面积为____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】取中点，利用线线平行可得线面平行，进而可得四边形即为符合要求的等腰梯形．即可由长度关系确定、、均为等边三角形．由三角形面积即可求解空1，补形为正方体，即可由正方体的外接球求解. 【详解】如图，分别取的中点E，F，G，连接FG，EP，EF，， 则且．在直三棱柱中，易知且， ∵E，P分别为的中点，且， ∴四边形为平行四边形，且， ，目，四点共面． ∵E，F分别为的中点，，又平面，平面， 平面． ，且F，G分别为的中点，， ， ∴四边形即为符合要求的等腰梯形． 当不是的中点时，不平行于平面， 则四边形不是等腰梯形，故等腰梯形有且仅有一个． 取的中点，连接DF、DG， ∵，，且点为的中点，∴且 ， ∴四边形为平行四边形，可得，同理可得， 、、均为等边三角形． ． 将三棱柱补成正方体， 则其外接球即为正方体的外接球，故正方体的体对角线为外接球的一条直径， ∴外接球的直径， 故球的表面积为． 故答案为：， 四、解答题：本题共3小题，共37分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 13. 俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： （1）求样本中数据落在的频率； （2）求样本数据的第50百分位数； （3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率. 【答案】（1）0.4 （2）52.5 （3） 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图可得：组距为10，所以： ， 得：，故样本中数据落在的频率为：. 【小问2详解】 设第50百分位数为，易得位于50和60之间， 则有： 解得：. 【小问3详解】 分组人数为：人； 分组人数为：人， 利用分层抽样的方法易得： 分组抽人， 分组抽人， 从这6人中随机抽取2人进行座谈，抽取的2人中至少有1人的年龄在分组，即： 2人中有1人的年龄在分组，另1人的年龄在分组；2人的年龄都在分组， 故抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率为：. 14. 如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合). （1）求证：平面EMN⊥平面PBC； （2）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由. 【答案】 （1）证明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED=E， 所以PE⊥平面EBCD，又BC⊂平面EBCD， 故PE⊥BC，又BC⊥BE，故BC⊥平面PEB， EM⊂平面PEB，故EM⊥BC， 又等腰三角形PEB，EM⊥PB， BC∩PB=B，故EM⊥平面PBC， EM⊂平面EMN， 故平面EMN⊥平面PBC； （2）存在，N为BC的中点. 【解析】 【分析】（1）根据题意，先证明EM⊥平面PBC，再利用面面垂直的判定定理，证明结论； （2）以E为原点，EB，ED，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PE=EB=2，设N(2，m，0)，求出平面EMN的法向量，利用夹角公式求出m，得到结论. 【详解】（1）略 （2）假设存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值. 以E为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设PE=EB=2，设N(2，m，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)， P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，0，1)， ，，， 设平面EMN的法向量为， 由，令，得， 平面BEN的一个法向量为， 故， 解得：m=1， 故存在N为BC的中点. 【点睛】立体几何解答题的基本结构： (1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理； (2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算． 15. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且设点为的费马点． （1）若，． ①求角； ②求． （2）若，，求实数的最小值． 【答案】（1）①；②. （2）． 【解析】 【分析】（1）①利用两角和的正弦公式得到，即可求出，从而得解；②利用余弦定理求出，利用等面积法求出，再根据数量积的定义计算可得； （2）利用二倍角公式及正弦定理得到，则，设，则，再利用余弦定理得到，再利用基本不等式计算可得. 【小问1详解】 ①因为 ， ， 又， 所以， 即．因为，所以， 因为，所以． ②由三角形内角和性质可知，的三个内角均小于，结合题设易知点一定在的内部． 由余弦定理可得，即， 又，解得． 所以 ， 所以， 所以 ． 【小问2详解】 由已知中， 即， 故，由正弦定理可得， 故直角三角形，即， 点为的费马点，则， 设，，，， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解并应用费马点的定义，第三问关键是设，，，从而推导出、，再利用基本不等式及一元二次不等式求出的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $