1.2 集合间的基本关系（教学课件）-2024-2025学年高一年级数学上学期同步课堂系列（人教A版2019必修第一册）

1.2 集合间的基本关系 * 学习目标 1.认识并理解两个集合间的包含关系. 2.掌握两个集合间的包含关系:能用符号和Venn图表示两个集合间的关系.(重点) 3.理解空集与子集、真子集之间的关系.(难点) 4.能计算子集和真子集与非空真子集的个数 创设情境 同学们,上两节课我们学习了集合的概念及其表示。那么,两个集合之间有什么关系呢?众所周知,两个实数之间有相等关系、大小关系,如2=2,2<3,2025>2024等等,问题来了,两个集合之间是否也有类似的关系呢?让我们一起带着问题来学习今天的内容吧! 内容索引 一、子集 二、真子集 三、由集合间的关系求参数范围 一 子集 * 问题1 观察下面的几个例子,请同学们说出它们之间的“包含”关系吧. (1)A={1,2,5},B={1,2,3,4,5}; 提示 集合A的任何一个元素都是集合B的元素.我们说集合A包含于集合B,或集合B包含集合A. (2)C为某中学高二(3)班全体男生组成的集合,D为这个班全体学生组成的集合; 提示 集合C包含于集合D,或集合D包含集合C. (3)E={x|x=2n,n∈Z},F={偶数}. 提示 集合E包含于集合F,集合F也包含于集合E. 新知讲解 1.Venn图:在数学中,我们经常用平面上 的内部代表集合,这种图称为Venn图. 2.子集 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中 一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的_ 记法与读法 记作 (或B⊇A),读作“ ”(或“B包含A”) 封闭曲线 任意 子集 A⊆B A包含于B 新知讲解 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集,即 ; (2)对于集合A,B,C,若A⊆B,且B⊆C,则_ A⊆A A⊆C 新知讲解 3.一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作 . 也就是说,若 ,且 ,则A=B. 注意点: (1)“A是B的子集”的含义:集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,即由任意x∈A,能推出x∈B. (2)集合A与集合B相等,就是集合A与集合B中的元素完全一致,集合“A=B”可类比实数中的结论“若a≤b,且b≤a,则a=b”,即“若A⊆B,且B⊆A,则A=B”,反之亦成立. A=B A⊆B B⊆A 例1 指出下列各对集合之间的关系: (1)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}; 集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知A⊆B. (2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形}; 等边三角形是等腰三角形,故A⊆B. (3)A={-2,2},B={(-2,-2),(-2,2),(2,-1),(2,2)}; 集合A的元素是数,属于数集,集合B的元素是有序实数对,属于点集,故A与B之间无包含关系. (4)M={x|x=2n-1,n∈Z},N={x|x=4n+1,n∈Z}. M={x|x=2n-1=2(n-1)+1,n∈Z},N={x|x=4n+1=2x2n+1,n∈Z},M中的代表元素是2乘以整数,而N中的代表元素2乘以偶数,故N⊆M. 反思感悟 判断集合间关系的常用方法 跟踪训练1 (1)已知A={x|x是有理数},B={x|x是分数},C={x|x是实数},那么A,B,C之间的关系是 A.A⊆B⊆C B.B⊆A⊆C C.C⊆A⊆B D.A=B⊆C √ 集合A,B,C的关系如图. (2)已知集合M={x|x=2m-1,m∈Z},集合N={x|x=2n+1,n∈Z},则M,N之间的关系为_. 由于N={x|x=2(n+1)-1,n∈Z},m,n∈Z,所以M=N. M=N 二 真子集 * 问题2 观察问题1中的几个例子,类比实数a<b与a≤b的关系,一个非空集合的子集有好多个,你能对它们进行分类吗? 提示 对于一个含有多个元素的集合,它的子集的元素的个数大多比它本身少,但有一个特殊的,那就是它本身也是它本身的一个子集. 问题3 集合A={x∈R|x2-2x+4=0}中有多少个元素? 提示 方程无解,集合A中没有元素. 新知讲解 1.真子集 定义 如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且 ,就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作 (或B A),读作“ ”(或“B真包含A”) 图示 x∉A A⫋B A真包含于B 新知讲解 2.空集 定义 一般地,我们把 的集合叫做空集 记法 _ 规定 空集是任何集合的子集,即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集,即它本身,∅⊆∅; (2)A≠∅,则∅⫋A 不含任何元素 ∅ 新知讲解 3.性质: (1)反身性:任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A; (2)传递性:对于集合A,B,C,如果A⫋B,且B⫋C,那么A⫋C. 注意点: (1)在真子集的定义中,A B首先要满足A⊆B,其次至少有一个x∈B,但x∉A. (2)∅与{0}的区别: ∅是不含任何元素的集合;{0}是含有一个元素的集合,∅⫋{0}. 例2 填写下表,并回答问题: 集合 集合的子集 子集的个数 ∅ {x} {x,y} {x,y,z} 由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2. 集合 集合的子集 子集的个数 ∅ ∅ 1 {x} ∅,{x} 2 {x,y} ∅,{x},{y},{x,y} 4 {x,y,z} ∅,{x},{y},{z},{x,y},{x,z}, {y,z},{x,y,z} 8 反思感悟 求集合的子集的两个关注点 (1)要注意两个特殊的子集:∅和自身. (2)按集合中含有元素的个数由少到多,分类一一写出,保证不重不漏. 跟踪训练2 满足{2,4}⫋M⊆{2,4,6,8,10}的集合M有_个. 7 由题意可得{2,4}⫋M⊆{2,4,6,8,10},可以确定集合M必含有元素2,4,且含有元素6,8,10中的至少一个,因此集合M的元素个数分类如下: 含有三个元素:{2,4,6},{2,4,8},{2,4,10}; 含有四个元素:{2,4,6,8},{2,4,6,10},{2,4,8,10}; 含有五个元素:{2,4,6,8,10}. 故满足题意的集合M共有7个. 三 由集合间的关系求参数范围 * 例3 已知集合A={x|-2≤x≤5},非空集合B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,求实数m的取值范围. 因为B≠∅,且B⊆A,如图所示. 所以实数m的取值范围是{m|2≤m≤3}. 延伸探究 若本例条件“A={x|-2≤x≤5}”改为“A={x|-2<x<5}”,其他条件不变,求m的取值范围. 因为B≠∅,且B⊆A,如图所示. 即2≤m<3, 所以m的取值范围是{m|2≤m<3}. 反思感悟 利用集合间的关系求参数的关注点 (1)解决集合关系求参数问题常采用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值. (2)一说子集就要想到“空集”的情况,因为空集是任何集合的子集. 跟踪训练3 已知集合A={x|x>4},非空集合B={x|2a≤x≤a+3},若B⊆A,求实数a的取值范围. 因为B≠∅,根据题意作出如图所示的数轴, 解得2<a≤3. 所以实数a的取值范围为{a|2<a≤3}. 课堂小结 1.知识清单: (1)子集、真子集的概念与性质. (2)子集的个数. (3)由集合间的关系求参数范围. 2.思维方法:分析法、观察法、元素特征法、数形结合、分类讨论. 3.易错点:在解决问题时,容易遗忘空集;求含参的问题时,容易遗漏端点的取值,应注意讨论. 知识像一艘船让它载着我们驶向理想的彼岸 谢谢 $$