精品解析：广东省湛江市雷州市雷州八中，雷州二中，雷州三中2023-2024学年高二下学期4月阶段测试数学试题

2023-2024学年高二数学下学期阶段测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在数列中，，，，则的值为（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 21 2. 下列结论中错误的一项是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 若，则 A. 2 B. 1 C. D. 4. 某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（　　） A. B. C. D. 5. 已知定义在上的函数的图象如图，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 在四面体中，为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 现有甲、乙、丙、丁四位同学要与两位老师站成一排合影留念，则甲同学不站两端且两位老师必须相邻的站法有（ ） A. 72种 B. 144种 C. 288种 D. 576种 8. 已知函数有两个不同极值点，且不等式恒成立，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 数列中，，且，则（ ） A. B. 等比数列 C. D. 为等差数列 10. 下列说法正确的是（ ） A. 甲､乙､丙､丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有种排法 B. 3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有种 C. 3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种 D. 3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296种 11. 已知函数，是自然对数的底数，则（ ） A. 若，则 B. C. 的最大值为 D. 对任意两个正实数，且，若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 已知数列满足，，则________. 13. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积为______. 14. 我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nào）”的几何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖臑”的个数是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，，． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知数列{}的前n项和为，且2=3-3（n∈） （1）求数列{}的通项公式 （2）若=（n+1），求数列{}的前n项和 17. 已知圆过两点且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）已知直线被圆截得的弦长为，求实数的值. 18. 如图，在正四棱锥中，与交于点，是棱上的两个三等分点，与交于点. （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 19 已知函数． （1）若是的极值点，求函数的单调性； （2）在（1）的条件下，当时，求的最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高二数学下学期阶段测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在数列中，，，，则的值为（ ） A 17 B. 18 C. 19 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】题干条件得到为等差数列，公差为2，利用通项公式进行相关计算. 【详解】因为，，所以为等差数列，公差为2，首项，所以. 故选：D 2. 下列结论中错误的一项是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据求导公式计算判断. 【详解】对A：为常数函数，故，故A正确； 对B：，令得，故B正确； 对C：，则，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：D 3. 若，则 A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在所给的等式中，分别令，，可得要求式子的值． 【详解】，令，可得． 再令，可得， 则. 故选：D. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值问题，属于基础题． 4. 某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设男生甲被选中为事件，女生乙被选中为事件，分别求得，，再结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】解：由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动， 设男生甲被选中为事件，其概率为， 设女生乙被选中为事件， 则男生甲被选中且女生乙也被选中的概率为， 所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为. 故选：B. 5. 已知定义在上的函数的图象如图，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数单调性与导数正负的关系，分类讨论，，，与五种情况即可得解. 【详解】当时，单调递增，则， 此时，所以，满足题意； 当时，单调递减，则， 此时，所以，满足题意； 当时，单调递增，则， 此时，所以，不满足题意； 当时，易得，不满足题意； 当时，易得，则，不满足题意； 综上：或，即不等式的解集为. 故选：D. 6. 在四面体中，为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】, 故选:A 7. 现有甲、乙、丙、丁四位同学要与两位老师站成一排合影留念，则甲同学不站两端且两位老师必须相邻的站法有（ ） A. 72种 B. 144种 C. 288种 D. 576种 【答案】B 【解析】 【分析】先安排甲同学在第二位、第三位、第四位、第五位，再安排两位老师，最后安排其他同学，利用分类加法原理、分步计数原理可得答案. 【详解】若甲同学在第二位，两位老师可以在第三第四位，或者两位老师在第四第五位，或者两位老师在第五第六位，其他同学没有限制要求，有种； 若甲同学在第三位，或者两位老师可以在第一第二位，或者两位老师可以在第四第五位，或者两位老师在第五第六位，其他同学没有限制要求，有种； 若甲同学在第四位，两位老师可以在第一第二位，或者两位老师在第二第三位，或者两位老师在第五第六位，其他同学没有限制要求，有种； 若甲同学在第五位，两位老师可以在第一第二位，或者两位老师在第二第三位，或者两位老师在第三第四位，其他同学没有限制要求，有种； 所以共有种. 故选：B. 8. 已知函数有两个不同极值点，且不等式恒成立，则实数t的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把函数有两个不同的极值点转化为根的分布求出a的范围， 利用分离参数法得到.把转化为，令，利用导数求出的值域，即可得到答案. 【详解】， 因为函数有两个不同的极值点，， 所以方程有两个不相等的正实数根， 于是有，解得. 因为不等式恒成立， 所以恒成立. ， 设， ，故在上单调递增， 故，所以. 因此实数t的取值范围是. 故选：A 【点睛】导数的应用主要有： （1）利用导函数几何意义求切线方程； （2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在数列中，，且，则（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 为等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据数列的递推公式，可求，的值，判断AC是否正确；利用等比数列的定义判断数列是否为等比数列，再利用等差数列的通项公式判断是否为等差数列. 【详解】因为，且， 所以，，A正确，C错误． 因为，所以，又， 所以，所以为等比数列，且首项为3，公比为3， 所以，所以， 所以为等差数列，且公差为，B，D均正确． 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 甲､乙､丙､丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有种排法 B. 3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有种 C. 3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种 D. 3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296种 【答案】ACD 【解析】 【分析】先排特殊元素（位置）再排其他元素，可判断A的正误；利用捆绑法，可判断B的正误；利用插空法，可判断C的正误，利用插空法和特殊元素（位置）法，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A：先排最左端，有种排法，再排剩余3个位置，有种排法，则共有种排法，故A正确； 对于B：3名男生相邻，有种排法，和剩余4名女生排列，相当于5人作排列，有种排法， 所以共有种排法，故B错误； 对于C：先排4名女生，共有种排法，且形成5个空位，再排3名男生，共有种排法， 所以共有种排法，故C正确； 对于D：由C选项可得3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种排法， 若女生甲在最左端，且男生互不相邻的排法有种排法， 所以3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有-=1296种，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，是自然对数的底数，则（ ） A. 若，则 B. C. 的最大值为 D. 对任意两个正实数，且，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于C，求出函数的导数，判断导数正负，确定函数单调性，即可求得最大值；对于B，根据函数的单调性，即可判断；对于A，举反例即可判断；对于D，将展开整理得，然后采用分析法的思想，推出，构造函数，求其最小值即可判断. 【详解】由题意得，则 ， 当 时，，递增 ， 当 时，，递减， 故，故C正确； 由于，由于当 时，递减，故 ， 即 ，即， 因为 ， 故，即， 故，故B正确； 若，则，即，由可知，，故A错误； 对任意两个正实数，且，若， 不妨设 ，即， 设，则， 则，则， 而 ， 设 令 ，则， 即为单调增函数，故， 即成立，故，故D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：对于选项A和D，构造新函数，结合分析法及导数证明不等关系. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据递推公式逐项计算可得的值. 【详解】且，则，，，，，，. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题. 13. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积为______. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】先求出切线方程，后求围成三角形面积即可. 【详解】易知的定义域为，而，故切点为， 设切线斜率为，且，故， 切线方程为，化简得， 当时，，当时，， 易知围成的图形是三角形，设面积为，故. 故答案为： 14. 我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nào）”的几何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖臑”的个数是________. 【答案】 【解析】 【分析】先以平面为基准，在平面内取三点，然后判断一次一共可以确定多少个“鳖（biē）臑（nào）”，然后类比推理，将重复计算的舍去即可. 【详解】（1） （2） （3） （4） 如图以平面为基准，在平面内取三点，显然（1）（2）合题意，（3）（4）不合题意，同理，将换成，，，各能找到两个“鳖（biē）臑（nào）”，所以当三点确定在一个平面上时，可以确定8个“鳖（biē）臑（nào）”，共有6个面，所以可确定个“鳖（biē）臑（nào）”.但上图（1）在以平面为基准时又被算了一次，图（2）在以平面为基准时又被算了一次，所以每一种情况都被重复计算了一次，故共能确定个“鳖（biē）臑（nào）”. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可构造方程求得，由可得； （2）由同角三角函数关系可得，根据正弦定理得到，由可得结果. 【小问1详解】 ，， 由余弦定理得：， 解得：，. 【小问2详解】 ，，， 由正弦定理得：， . 16. 已知数列{}的前n项和为，且2=3-3（n∈） （1）求数列{}通项公式 （2）若=（n+1），求数列{}的前n项和 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用的关系可得，即可知为等比数列，写出等比数列通项公式即可. （2）由（1）得，利用错位相减求和法即可求出前n项和. 【小问1详解】 当时，，解得， 当时，， 则，即， 又，则， ∴，故是以为首项，以3为公比的等比数列， ∴数列的通项公式为； 【小问2详解】 由(1)知，所以， 所以①， 则②， ①-②，得， 整理，得， ， 所以. 17. 已知圆过两点且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）已知直线被圆截得的弦长为，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)先设圆的标准方程，带入点的坐标求出参数即可； (2)先求点到直线距离公式求距离，再根据垂径定理列式求即可. 【小问1详解】 设，半径为， 所以圆的方程为， 所以 解得 所以圆的方程为. 【小问2详解】 圆心到直线的距离 由垂径定理得， 解得或. 18. 如图，在正四棱锥中，与交于点，是棱上的两个三等分点，与交于点. （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线证明，证得平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 是棱上的两个三等分点，即， 由题知四边形是正方形，所以，所以. 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，所以是的中位线，即是的中点， 因为，所以，，， 则， ． 设平面的法向量为，则 令，则，得． 因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 19. 已知函数． （1）若是的极值点，求函数的单调性； （2）在（1）的条件下，当时，求的最值． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增． （2）最小值为，最大值为． 【解析】 【分析】（1）求出原函数的导函数，结合求得，代入导函数，得到，再由在上单调递增，且时，可得当时，，单调递减；当x＞1 时，，单调递增； （2）由（1）可知，当时，在上单调递减，在上单调递增,计算可得，计算，，比较大小可得最大值. 【小问1详解】 因为是的极值点， 所以，可得． 所以，. 因为在上单调递增，且时，， 所以时，，，单调递减； 时， ，，单调递增． 故在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 在（1）的条件下，在上单调递减，在上单调递增． 当时，在上单调递减，在上单调递增． 求，，， ， ∴. 所以，当时，求的最小值为，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$