精品解析：广东省湛江市雷州市雷州八中，雷州二中，雷州三中2023-2024学年高二下学期4月阶段测试数学试题

命学科网 命组卷网 2023-2024学年高二数学下学期阶段测试卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分答卷前，考生务必将自己的姓 名、准考证号填写在答题卡上 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.在数列fa,}中，4=3，a1a,=2,neN,则40的值为() A.17 B.18 C.19 D.21 【答案】D 【解析】 【分析】题干条件得到a,}为等差数列，公差为2，利用通项公式进行相关计算 【详解1因为0-a,=2,n∈N,所以{a}为等差数列，公差为2，首项4=3，所以 a0=3+9×2=21 故选：D 第1页/共21页 6学科网6组卷网 2.下列结论中错误的一项是() A.若少=sin 3,则y'=0 B.若f(x)=3x2-f'()x,则f')=3 C若y=G+,则广2 1 D.若y=sinx+cosx,则y'=cosx+sinx 【答案】D 【解析】 【分析】根据求导公式计算判断： 【详解】对A:y=sin 3为常数函数，故y=0,故A正确： 对B,f)=6x-f0,令x=1得f0=3 故B正确； 对cy=t,则y1 2 2左+1，放c正稀： y=cosx-sinx 对D: ,故D错误 故选：D 3若0-2)n=4+a+ar+…+a7.刘4+a+4+am=() A.2 B.1 c.-1 D.-2 【答案】D 【解析】 【分析】在所给的等式中，分别令x=0,x=1,可得要求式子的值. 【详解10-2)7=4+ax+4,2++am70 ，令x=0,可得，=1」 再令X=1,可得%+a+a,+4,+4n=-1 则4+4+a.+001=-2 第2页/共21页 命学科网命组卷网 故选：D 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值问题，属于基础题， 4.某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被 选中的情况下，女生乙也被选中的概率为() 2 2 A.5 B.5 C.2 D.3 【答案】B 【解析】 【分析】设男生甲被选中为事件A,女生乙被选中为事件B,，分别求得 (A)P(AB) ，再结合条件概率 的计算公式，即可求解 【详解】解：由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动， C_ P(A)= 设男生甲被选中为事件4，其概率为 2, 设女生乙被选中为事件B, 则男生甲被选中且女生乙也被选中的概率为P(4B) C4-1 5, 所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为P(B1)=P1)_5_? P(A)15 故选：B 5.已知定义在(0,3]引上的函数f(的图象如图，则不等式(x-)小f'(x)<0 的解集为() 第3页/共21页 6学科网命组卷网 A.(0,2) B（1,2) c.(2,3) D.(0,1U1,2) 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数单调性与导数正负的关系，分类讨论0<x<1,1<x<2,2<x≤3，x=1与x=2 五种情况即可得解。 【详解】当0<x<1时，f(单调递增，则f"()>0 此时x-1<0,所以(-小f"()<0 满足题意： 当1<x<2时，f()单调递减，则'()<0 此时x-1>0,所以(x-)小()<0，满足题意， 当2<x≤3时，f()单调递增，则'()>0， 此时x-1>0,所以(x-小f'()> 0，不满足题意： 当x=l时，易得x-少(x)=0 不满足题意： 当x=2时，易得f()=0,则x-小f()=0,不满足腿意： 综上：0<x<1或1<x<2,即不等式(x-)f'()0的解集为(0,1U(1,2) 故选：D 6.在四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则 DA-(DB+DC)= A.-AE B.-AB C AE D.AB 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解 第4页/共21页 命学科网命组卷网 【详解】 DA-7(DB+DC)-DA-(2DE)-DA-DE-Ei--AE 故选：A 7.现有甲、乙、丙、丁四位同学要与两位老师站成一排合影留念，则甲同学不站两端且两位老师必须相邻 的站法有() A.72种 B.144种 C.288种 D.576种 【答案】B 【解析】 【分析】先安排甲同学在第二位、第三位、第四位、第五位，再安排两位老师，最后安排其他同学，利用 分类加法原理、分步计数原理可得答案 【详解】若甲同学在第二位，两位老师可以在第三第四位，或者两位老师在第四第五位，或者两位老师在 第五第六位，其他同学没有限制要求， 34G居=36种： 若甲同学在第三位，或者两位老师可以在第一第二位，或者两位老师可以在第四第五位，或者两位老师在 第五第六位，其他同学没有限制要米，有344=36种， 若甲同学在第四位，两位老师可以在第一第二位，或者两位老师在第二第三位，或者两位老师在第五第六 位，其他同学没有限制要求，有344=36 种； 若甲同学在第五位，两位老师可以在第一第二位，或者两位老师在第二第三位，或者两位老师在第三第四 位，其他同学没有限制要求，有344=36 种： 所以共有36×4=144种. 第5页/共21页 6学科网命组卷网 故选：B. 8已知函数(x)-r-2x+血x有两个不同的极值点，西，且不等式()+f(,)K+5+1-4 恒成立，则实数t的取值范围是() A.[-L,+o∞) B.【-5,+o) c2-2h2+o)D[l-h2,+o) 【答案】A 【解析】 【分折】把函数()=心-2x+血x有两个不同的极值点，。转化为根的分布求出a的范围， 利用分离参数法得到(：)+(：)(+)+4<1把()+(s)一(x+)+4转化为 f))(G++4=-子+3-h2a,$4o)-=子3-h2a0ea） 利用导数求出 h(@的值域，即可得到答案 【详释1了()-2m2+e>0)】 因为函数()=ar-2x+血x有两个不同的极值点，名， 2ax2-2x+1=0 所以方程 有两个不相等的正实数根， △=4-8a>0 1 于是有 +x2=->0 a ,解得 1 1 Xx2= >0 0<a< 2a 2 因为不等式f()+f()x+五+1-4， 恒成立， 所以(x)+f(:)(:+)+4<‘恒成立 第6页/共21页 命学科网命组卷网 f(x)+f(x2)-x-x2+4=a-2x+nx+a-2x2+hx2-x-x2+4 =a(名+x2-2xx3]-3(x+x)+h()+4 =-2+3-ln2a 数4o)=-子+3-h2a0<a< 2上单调递增 因此实数t的取值范围是-+o) 故选：A 【点睛】导数的应用主要有： (1)利用导函数几何意义求切线方程； (2)利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）： (3)利用导数求参数的取值范围， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在数列{a}中，4=0，且aH=30,+6n-3,则() A.0÷3 B.《a,+3m为等比数列 C.a3=12 D.{a.-3”}为等差数列 【答案】ABD 第7页/共21页 6学科网列组卷网 【解析】 【分析】根据数列的递推公式，可求4,4的值，判断AC是否正确；利用等比数列的定义判断数列 {a,+3m}是否为等比数列，再利用等差数列的通项公式判断{a。-3”}是否为等差数列 【详解】因为4=0，且0m=30n+6n-3 所以4=6x1-3=3,4=3+12-3=18,A正确，C错误 因为0m1=30.+6n-3,所以a1+3n+)=3(a.+3m）,又4=0， 所以4+3=3，所以{a,+3m}为等比数列，且首项为3，公比为3， 所以0+3n=3”,所以a.-3”=-3n 所以{a,-3”}为等差数列，且公差为3，B,D均正确。 故选：ABD 10.下列说法正确的是() A.甲、乙、丙、丁4人站成一排，甲不在最左端，则共 CA种排法 B.3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共 AA种 C.3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共 AA种 D.3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296种 【答案】ACD 【解析】 【分析】先排特殊元素（位置）再排其他元素，可判断A的正误：利用捆绑法，可判断B的正误：利用插 空法，可判断C的正误，利用插空法和特殊元素（位置）法，可判断D的正误，即可得答案 【详解】对于A:先排最左端，有C种排法，再排利余3个位置，有A种排法，则共有CA种特法。 故A正确； 第8页/共21页 学科网 组卷网 对于B:3名男生相邻，有A种排法。和剩余4名女生排列，相当于5人作排列，有A种排法， 所以共 AA号种排法，故B错误： 对于C:先排4名女生，共有A种排法，且形成5个空位，再排3名男生，共有A种排法。 所以共 AA种排法，故C正确： 对于D：由C选项可得3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共 AA种排法， 若女生甲在最左端，且男生互不相邻的排法 AA种排法， 所以3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共 AA.AA=1296种，故D正确 故选：ACD 11.已知函数 (x)=Inx x,e是自然对数的底数，则() A若血x=血西，则+x=2e B.2lh3>3ln元2>3n2 1 c.f(x)的最大值为e D.对任意两个正实数，出，且≠，若(G)=f(5),则西> 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于C,求出函数的导数，判断导数正负，确定函数单调性，即可求得最大值：对于B,根据函 数的单调性，即可判断：对于A,举反例即可判断：对于D,将心)=》展开整理得 第9页/共21页 6学科网列组卷网 2(-10 然后采用分析法的思想，推出血> x2+ 一，构造 Inx+Inx2 m(x+x2),Inx -In x2 m(x-x2) 函数0=h1-24-) t+1,求其最小值即可判断： 【详解】由题意得()= ()z 当0<x<e时，f(>0.f田递增， 当x>e时，f闭<0，f田适减， 放fax=fe)= e,故C正确； 由于3<π，由于当>c时，四递减，故f)>f网， ln3>lnr,2mln3>2×3n 即3π ,即2h3>3h元， 为o-2-f国 n2<hr,3n23×2nr.即3n元2>3lh2, 故2π 故21h3*>3nπ2>3h2 ,故B正确： Inx2 Inx 若x血x2=x2lnx,则2x,即f(x)=f(x),由f(2)=f(4)可知，2+4≠2e,故A错误； 对任意两个正实数，x,且≠为，若(x)=f(x) 第10页/供21页 6学科网列组卷网 h龙_n五 不妨设0<x2<x1，即x1x2, Inx_Inxz=m 设x为2，则lnx=mx,ln为3=mx2, m=h光-ln玉 则lnx+lnx2=m(x+x),hx-nx2=m(x-x),则x-3， 而5>c分n+h>2台mg+)>2台血-ln五、2 x-x2x+x 2(-1) 台nx-nx>2-)分h点>号 x1+x2 x2+1’ +,则0=20+》-20-- 设-毫>0=n-2. >0 tt+1)2tt+1)2 0=--2c>y 为单调增函数，故u()>u()=0, 2(-1) n>为 即x+1成立，故 5>e2故D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：对于选项A和D,构造新函数，结合分析法及导数证明不等关系 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12已知数列fa}满足4=2，a,=2a+2”(neN,n≥2)，则4，= 2 【答案】 【解析】 第11页/共21页 学科网命组卷网 【分析】根据递推公式逐项计算可得的值。 【详解1a,=20+2"(neN,n≥2)且4=2，则4，=2a+22=22,4,=2a+2=3-2, a4=2a3+24=4.24a=2a4+23=5.2a6=2a+2=6-26a,=2a6+2?=7.2 ag=2a7+28=8.28=21 21 故答案为： 【点睛】本题考查利用递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题 13.曲线f=r-hx在点f0 处的切线与坐标轴围成的图形的面积为一 11 【答案】4#0.25 【解析】 【分析】先求出切线方程，后求围成的三角形面积即可. 【详解】易知的定义政为∈(0，+o）,而f0=,故切点为 0,1) 设切线斜率为k,且(=32 x,故k=f'0)=3-1=2. y-1=2(x-1) y=2x-1 切线方程为 ,化简得 1 当y=0时，x=) 2,当x=0时，y=1, S11 易知国废的图形是三角形，设面积为S,检5=产分小 4 故答案为：4 l4.我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖(bi)臑(nào)”的几何体，它指的是由四个直 角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖臑”的个数是 第12页/供21页 6学科网命组卷网 【答案】24 【解析】 【分析】先以平面ABCD为基准，在平面ABCD内取三点A、B、C,然后判断一次一共可以确定多少 个“鳖(bi)臑(nào)”,然后类比推理，将重复计算的舍去即可. D B 【详解】(1) (2) D D D A A (3 (4) B 如图以平面ABCD为基准，在平面ABCD内取三点A、B、C,显然(1)(2)合题意，(3)(4)不 合题意，同理，将ABC换成小、B、D,DB、C,AD、C,各能找到两个“鳖(bi)臑 (nào)”,所以当三点确定在一个平面上时，可以确定8个“鳖(bi)臑(no)”,共有6个面，所以 可确定6×8=48个“鳖(bi)腈(nào)”,但上图(1)在以平面 BAB为基准时又被算了一次，图 (2)在以平 BCB,G为基准时又被算了一次，所以每一种情况都被重复计算了一次，故共能确定 48=24 2 个“鳖(bie)臑(nao)”. 故答案为：24 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.在△ABC中，a=3,b-c=2, CosB=-1 第13页/共21页 6学科网 命组卷网 b.c (1)求的值： (2)求sin(B+C)的值. 【答案】(1)b=7,c=5 3V3 (2)14 【解析】 【分析】(1)利用余弦定理可构造方程求得b,由c=b-2可得C; (2)由同角三角函数关系可得sinB,根据正弦定理得到sinA,由sin(B+C)=sinA可得结果 【小问1详解】 .b-c=2∴.c=b-2 由余弦定理得： b2=a2+c2-2 ac cos B=9+(b-2)}2+3(b-2) 解得：b=7,∴c=5 【小问2详解】 B∈(0，x),cosB=- .sin 2, 白正弦定星每：5咖A4sim83x 23v5 b 714’ sin(B+C)=sin(x-)=sin3 14· 16已知数列O的前n项和为S,且2S303（eN) (1)求数列（的通项公式 第14页/供21页 6学科网命组卷网 (2)若b。=1)8,求数列)的前u项和， b 【答案】(1)a,=3” 4 【解析】 【分析】()利用a,、S的关系可得0，=30,1，即可知{a,}为等比数列，写出等比数列通项公式即可 (2)由4)得，。=+)：3”，利用错位相减求和法即可求出前n项和. 【小问1详解】 当”=时， 2S1=241=3a1-3 解得93 当n≥2时，2S=301-3 则2，-2S=2a.=(3a.-3)-(3a-3）,即4=3a1, 则8,0 又4*0 m=3 .a1,故{an}是以a=3为首项，以3为公比的等比数列， ·数列{a}的通项公式为0，=3” 【小问2详解】 由(1)知a=3” 所以b。=(m+1)a,=(m+0-3” 所以7。=2×3'+3×32+4×3++(n+10-3” ①， 则37，=2×32+3×3+4×3++n-3”+m+0）-3 ②， 第15页/供21页 6学科网命组卷网 ①②，得27。=2×3'+32+3°+3++3”-0+10-301 整理，得27。=3+32+3+3+…+3”+3-n+0-3 所=兮+3- 17已知圆C过4(，0)，B(0,1)两点且圆心C在直线x+y-4=0上 (1)求圆C的方程： 4V30 (2)已知直线：y=cx-1被圆C截得的弦长为5，求实数k的值 【答案】1)(x-2+(y-2}2=5 22 K= (2)k=2或19 【解析】 【分析】1先设圆的标准方程，带入点A(,0),B(0,1)的坐标求出参数即可； (2)先求点到直线距离公式求距离，再根据垂径定理列式求k即可 【小问1详解】 设Ca,4-a,半径为(>0) 所以圆C的方程为(x-a+(y-4+a)}2=r2 (0-a}+1-4+a)2=r2 所以1-a)2+(0-4+a2=r2 第16页/供21页 6学科网 命组卷网 a=2 解得r=V5 所以圆C的方程为x-2+0-2}=5 【小问2详解】 d=2-2-1-2k-3到 圆心C(2,2)到直线：y=-的距离4R+- 2V+1 2k-32230 由垂径定理得 定5 22 k= 解得k=2或19 18.如图，在正四棱锥1 -ABCD,1C与BD交于O点.F,G是 G是棱PB上的两个三等分点，DF与 PO E 交于”点 E (1)求证：OG∥平面ADF: (2)若AB=32,PC=3V5,求直线AE与平面ACF所成角的正弦值 【答案】(I)F,G是棱PB上的两个三等分点， mFG-GB-3PB 由题知四边形ABCD是正方形，所以DO=BO,所以OG∥DF 第17页/供21页 6学科网 命组卷网 又OG丈平面ADF,DFC平面ADF,所以OG∥平面ADF V34 (2)34 【解析】 【分析】(1)利用三角形中位线证明OGDF,证得OG∥平面ADF: (2)以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以0为坐标原点， OA,OB,OP 所在直线分别为 x,y,Z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 B OGIIDF,PF=FG 因为 ,所yEF是△POG的中位线，即E是PO 的中点， 因为AB=32,PC=3N5,所以A0=C0=3,P0=V3N5-32=6,0E=3. 则1(3,0,0，E(0,0,3),C(-3,00),F(0,14) EA=(3,0,-3),4AF=（-3,1,4),C℉=(31,4) m·AF=-3x+y+4z=0, 设平面ACF的法向量为m=(x,y,z)则'm.CF=3x+y+42=0, 令2=1，则x=0y=4,得m=(0,4,) 第18页/共21页 6学科网命组卷网 因为os(Em EA.m V34 EAm 34, V34 所以直线4AE与平面ACF所成角的正弦值为34， 19已知函数f()=-lmr-a ,a∈R (1)若x=1是f()的极值点，求函数f()的单调性， [1 (2在（山的深件下，当22时.求的#位 【答案】)f(冈在(0,1)上单调递减，在山，+)上单调递增， (2)最小值为0，最大值 2n21 【解析】 【分】山)求出发函数的导函数，结合了0=0求得1，代入导活数。得到了(-+n- x2 再由厂r+血x1在(0，+切)上单调递增，且l时0，可得当01时，"()大0，f(冈单调 递减：当>1时，()>0，f四单调递猫。 白少可：当店].了内[2上运，在L*地#可 =0.#学付).问.大小间网大位 【小问1详解】 第19页/供21页 6学科网列组卷网 f(x)-a-1-I-@+Ix-1 ,x>0 x2 因为x=1是()的极值点， 所以f'(0=0,可得a=1. 以x匹-1，r)-t x2 因为y=r+lnx-l在(0，+o)上单调递增，且x=1时，y=0, 所以0<x<1时，2+nr-1<0,f儿因<0，f()单调递减： x>1时，2+nx-1>0,f()>0,f(✉)单调递增 故f(x)在0，)上单调递减，在山，+切)上单调递增。 【小问2详解】 在1)的条件下，f(女在(0，山上单调递减，在（山，+切)上单调递指。 上单调递减，在(1,2]上单调递增。 来1011e02221-222222123 1 2 2 2 0)6-1g-22分22-he-h水h20 2h2- 所.当子].求内的录为0，人为22 2 第20页/供21页 命学科网组卷网 第21页/共21页 2023-2024学年高二数学下学期阶段测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在数列中，，，，则的值为（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 21 2. 下列结论中错误的一项是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 若，则 A. 2 B. 1 C. D. 4. 某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（　　） A. B. C. D. 5. 已知定义在上的函数的图象如图，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 在四面体中，为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 现有甲、乙、丙、丁四位同学要与两位老师站成一排合影留念，则甲同学不站两端且两位老师必须相邻的站法有（ ） A. 72种 B. 144种 C. 288种 D. 576种 8. 已知函数有两个不同的极值点，且不等式恒成立，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在数列中，，且，则（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 为等差数列 10. 下列说法正确的是（ ） A. 甲､乙､丙､丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有种排法 B. 3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有种 C. 3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种 D. 3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296种 11. 已知函数，是自然对数的底数，则（ ） A. 若，则 B. C. 的最大值为 D. 对任意两个正实数，且，若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，，则________. 13. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积为______. 14. 我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nào）”的几何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖臑”的个数是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，，． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知数列{}的前n项和为，且2=3-3（n∈） （1）求数列{}的通项公式 （2）若=（n+1），求数列{}的前n项和 17. 已知圆过两点且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）已知直线被圆截得的弦长为，求实数的值. 18. 如图，在正四棱锥中，与交于点，是棱上的两个三等分点，与交于点. （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知函数． （1）若是的极值点，求函数的单调性； （2）在（1）的条件下，当时，求的最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $