2023年香港亚洲国际数学奥林匹克公开赛（AIMO）竞赛初赛数学试卷

2023年香港亚洲国际数学奥林匹克公开赛（AIMO）竞赛初赛数学试卷 一、甲部：每題 4 分 Section A - each question carries 4 marks 1、 2、求 的非負整數解組的數目． Find the number of non-negative integral solution sets of . 3、圖 中， 是圓的圓心， 和 都是圓的直徑，，，求 ． In Figure , is the centre of the circle. and are diameters of the circle. . . Find . 4、已知 的首三組正整數解是 and ．設 和 為正整數，且 ，求 的第二小的可能值． Given that the first three sets of solutions of are and . Let and be positive integers. . Find the second smallest possible value of . 5、一個長方體的長比闊大 ，闊比高出大 ，長方體的體積是 ，求長方體的表面面積． For a cuboid, the length is greater than the width, and the width is greater than the height. The volume of the cuboid is . Find the total surface area of the cuboid. 6、設 和 为正整數．若 ，求方程的解組的數目． Let and be positive integers. If , find the number of solution set(s) of the equation. 7、若，而且對於所有正整數 ，求 、 、 、 、 和 的算術平均數． If , , and for all positive integer , , find the arithmetic mean of , , , , and . 8、己知正整數 和 滿足方程 ，求 的最小可能值. It is known that and are positive integers and . Find the least possible value of . 二、乙部：每題 5 分 Section B - each question carries 5 marks 9、 10、 11、 12、己知將 件不同的禮物送給 個人（每人最少得到 件）有 種方法． 問：將 件不同的禮物送給 個人（每人最少得到 件）有多少種方法？ It is given that there are methods to distribute different presents to people where each person gets at least I present. Question: Distribute different presents to people, where each person gets at least present. How many methods are there? 13、一個三角形的其中兩邊長度是 和 ，面積是 ．求第三邊的長度的可能值的平方和． There is a triangle. The lengths of two sides are and . The area is . Find the sum of the squares of the possible values of the length of the third side. 14、一個三角形的其中兩條頂垂線的長度（高）是 和 ，第三條頂垂線的長度必大於 ，求 的最大可能值． The lengths of two of the altitudes (heights) of a triangle are and . The length of the third altitude must be greater than . Find the maximum possible value of . 15、圖 中，、 及 ， 的面積是 ．求 的面積． In Figure , , and The area of is . Find the area of 16、設 ．已知 是方程 的一個根, 求方程的實數根之和． Let . Given that is a root of the equation . Find the sum of the real root(s) of this equation. 三、丙部：每題 7 分 Section C - each question carries 7 marks 17、 18、設 , 若 被 除時的餘式是 , 求的值． Let . When is divided by , if the remainder is , find the value of . 19、設 為整數，若 被 除時的餘數是 ，且 ，求 的所有可能值的和． Let be an integer. When is divided by , if the remainder is and , find the sum of all possible value(s) of . 20、 是由一個 、四個 、一個 和一個 組成的七位數．求所有由一個 、四個 、一個 和一個 組成的七位數之和． is a seven-digit number which is formed of one '', four ''s, one '' and one ''. Find the sum of all seven-digit numbers, each of them is formed of one '', four ''s, one '' and one ''. 1 、【答案】 ; 【解析】 原式 【标注】 2 、【答案】 ; 【解析】 【标注】 3 、【答案】 ; 【解析】 【标注】 4 、【答案】 ; 【解析】 【标注】 5 、【答案】 ; 【解析】 【标注】 6 、【答案】 ; 【解析】 【标注】 7 、【答案】 ; 【解析】 【标注】 8 、【答案】 ; 【解析】 不難發現 滿足方程, 方程的通解是 ，當中 是任意整數． 最小正整數解是 ． 【标注】 9 、【答案】 ; 【解析】 【标注】 10 、【答案】 ; 【解析】 原式 【标注】 11 、【答案】 ; 【解析】 兩式取平方得 兩式相加得 【标注】 12 、【答案】 ; 【解析】 有 種方法． 【标注】 13 、【答案】 ; 【解析】 對應長度是 的邊的高 ，得以下兩圖 【标注】 14 、【答案】 ; 【解析】 設三角形的面積為 ， 那麼長度為 和 的兩條頂垂線的對應邊 分别長 和 , 第三邊的長度必小於 第三條頂垂線的長度必大於 【标注】 15 、【答案】 ; 【解析】 由割線定理（或相似三角形），，解 ，得 ． 【标注】 16 、【答案】 ; 【解析】 方程的另一個非實數根是 ． 由韋達定理， 是 的一個因式, 由長除法得， 方程的兩個實數根是 和 ． 【标注】 17 、【答案】 ; 【解析】 原式, 考慮 中 的係數: 原式 【标注】 18 、【答案】 ; 【解析】 留意 考慮 代入 ，得 即 【标注】 19 、【答案】 ; 【解析】 或 【标注】 20 、【答案】 ; 【解析】 根據 、   和 的位置，一個 、四個 、一個 和一個 可組成 個七位數， 出現在個位至十萬位各 次； 和 出現在百萬位 次，個位至十萬位各 次； 出現的次數是 的 倍； 總和是： 【标注】 第页， 共页 学科网（北京）股份有限公司 $$