2024年人教版数学九年级上暑假专题训练专题十二 二次函数自学检测题

人教版数学九年级上暑假自学课专题训练 专题十二 二次函数自学检测题 考试范围：22章；考试时间：120分钟；满分120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 3．抛物线经过原点，那么a的值等于（    ） A．0 B．1 C． D．35 4．抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如果将抛物线向左平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 6．已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（　　） A．或4 B．0或6 C．1或3 D．或6 7．二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： x … 0 1 … y … 0 0 … 根据表格中的信息，以下结论正确的是（    ） A．当时，有最大值． B．当时，随的增大而减小 C．关于的一元二次方程的根为， D．若，则 8．如图，抛物线与交于点，且分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论： ①无论x取何值，总是非负数； ②可由向右平移个单位，再向下平移个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先减小后增大； ④四边形一定为正方形． 其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 10．如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：①；②；③；④；⑤．正确的结论有（　　）个．    A．2 B．3 C．4 D．5 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．二次函数 的最小值为 ． 12．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过 象限． 13．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点A，点是该函数图象上任意一点，且不与点A重合，直线经过A，B两点．若时，总有，则m的取值范围为 ． 14．如图，一个横截面为抛物线的隧道，其底部的宽为，拱高为．该隧道为双向车道，且两车之间有的隔离带，一辆宽为的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部隧道有不少于的空隙，则该货车能够安全通行的最大高度是 m． 15．已知二次函数（a，b，c是常数），满足且，下列四个结论： ①； ②； ③当时，y随x的增大而增大； ④图象与直线有2个交点，设两交点横坐标之差为d；则． 其中正确的有 ．（填写序号） 评卷人 得分 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）探究二次函数及其图象的性质，请填空： ①图象的开口方向是 　　； ②图象的对称轴为直线 　　； ③图象与轴的交点坐标为 　　； ④当　　时，函数有最小值，最小值为 　　． 17．（8分）已知二次函数． (1)若该二次函数的最大值为，求m的值； (2)若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图像与x轴有2个交点，求m的取值范围． 18．（8分）如图，抛物线的顶点坐标为，对称轴与x轴交于点E，与x轴交于点A，B两点，请回答下列问题． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在y轴上，且，求线段的长． 19．（8分）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，下图是该种农产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数图象，请结合图象回答下列问题：    (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少元时，日销售利润最大?最大利润是多少? 20．（9分）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务． 利用二次函数的图象解不等式 我们知道，利用一次函数的图象可以解一元一次不等式，那么对于不等式，如何求它的解集呢？我们可以类比前面的学习经验来解决这个问题． 第一步：画出二次函数的图象． 列表如下： x 0 1 2 3 4 y 5 0 0 5 描点、连线，如图1所示． 第二步：确定二次函数的图象与轴的交点． 由图象可以看出，二次函数的图象与轴的交点为和． 第三步：确定不等式的解集． 由图象可知，当或时，二次函数的图象位于轴的上方，，即， 不等式的解集为或，同理，可得不等式的解集为． 任务： (1)利用二次函数的图象解不等式，主要体现的数学思想是______．（从下面选项中选出一个） A．数形结合思想        B．统计思想        C．公理化思想 (2)请你用阅读材料中的方法解不等式，在如图2所示的平面直角坐标系中，直接画出函数图象，并参照材料中第三步的分析过程写出你的分析过程． 21．（9分）某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示，他们利用“杠杆原理”制作出一种投石机，如图①，为检验投石机的性能，进行如下操作：将石头用投石机从处投出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，最终石头落在斜坡上的点处，以水平地面为轴，为轴建立平面直角坐标系如图②． 已知抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为， 米，点为抛物线的顶点，过点作轴于点，点到轴的水平距离 米． (1)请求出抛物线的函数表达式； (2)点是点左侧抛物线上一点，过点作轴交坡面于点，若石头运动到点时到坡面的铅直高度为米，求此时石头（点）到轴的距离． 22．（12分）如图①，是某高速公路正在修建的隧道．图②是其中一个隧道截面示意图，由矩形和抛物线的一部分构成，矩形的边，，抛物线的最高点离地面． (1)以点为原点、所在直线为轴，建立平面直角坐标系．求抛物线的表达式； (2)为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为 ； (3)该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度． 23．（13分）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版数学九年级上暑假自学课专题训练 专题十二 二次函数自学检测题（解析版） 考试范围：22章；考试时间：120分钟；满分120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题，写出相应的顶点坐标． 根据题目中的抛物线，可以直接写出顶点坐标，本题得以解决． 【详解】解：抛物线， 该抛物线的顶点坐标为， 故选：A． 2．下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查的是二次函数定义，形如，这样的函数叫做二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、化简后，不含二次项，不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 3．抛物线经过原点，那么a的值等于（    ） A．0 B．1 C． D．35 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与点的关系，熟练掌握把代入函数解析式，求解关于a的一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过原点， ∴，解得：， 故选C． 4．抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 5．如果将抛物线向左平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减，由此即可得出答案． 【详解】将抛物线向左平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是 故选：B． 6．已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（　　） A．或4 B．0或6 C．1或3 D．或6 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．由解析式可知该函数在时取得最大值5，时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大，根据时，函数的最大值为，可分如下两种情况：①若，时，取得最大值；②若，当时，取得最大值，分别列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵，二次函数关于对称，在时取得最大值5， 时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大， ①若，时，取得最大值， 可得：， 解得：或（舍）； ②若，当时，取得最大值， 可得：， 解得：或（舍）． 综上，的值为或6， 故选：D． 7．二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： x … 0 1 … y … 0 0 … 根据表格中的信息，以下结论正确的是（    ） A．当时，有最大值． B．当时，随的增大而减小 C．关于的一元二次方程的根为， D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式、二次函数与一元二次方程等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． 由表格可知当和时，，可得抛物线对称轴为，继而可得再利用表格数据求出函数解析式，画出图象即可判断． 【详解】解：当和时，， ∴抛物线对称轴为， ∴， ∴， 又∵当时，；当时，； ∴解得： ∴函数解析式为：， 画出函数图象如图： ∴当时，有最小值．故A错误； 当时，随的增大而增大，故B错误； 关于的一元二次方程，即的根是，，故C正确； 当时，抛物线与ｘ轴交点为， ∴若，则或，故D不正确． 故选C． 8．如图，抛物线与交于点，且分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论： ①无论x取何值，总是非负数； ②可由向右平移个单位，再向下平移个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先减小后增大； ④四边形一定为正方形． 其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①由非负数的性质，即可证得，可得无论x取何值，总是负数； ②由抛物线与交于点，可求得a的值，然后由抛物线的平移的性质，即可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；； ③由，可得随着x的增大，的值减小； ④首先求得点A，C，D，E的坐标，即可证得，又由，即可证得四边形为正方形． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴无论x取何值，总是负数；故①错误； ②∵抛物线与交于点， ∴当时，， 即， 解得：； ∴， ∴可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；故②正确； ③∵， ∴随着x的增大，的值减小；故③错误； ④设与交于点， ∵当时，， 解得：或， ∴点， 当时，， 解得：或， ∴点， ∴，， 当时，， ， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形．故④正确． 综上所述：正确的是②④．共2个； 故选：B． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、非负数的性质、二次函数的平移以及正方形的判定，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 9．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，， ∵，令， 即， 解得：， ∴, 令，解得， ∴， ∵点是对称轴上的一个动点， ∴， ∵ ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键． 10．如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：①；②；③；④；⑤．正确的结论有（　　）个．    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系①利用图象信息即可判断；②根据时，即可判断；③根据是方程的根，结合两根之积，即可判断；④根据两根之和，可得，可得；⑤根据抛物线与轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断． 【详解】抛物线开口向下， ， 抛物线交轴于正半轴， ， ， ， ，故①正确， 时，， ，即，故②正确， 的图象过点和， ，，则， ， ，故③正确， ， ， ， ∵， ∴，故④正确， 对于，可得：， 由函数图象交点可知或， ， ， ，故⑤正确， 故选：D． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．二次函数 的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数最值，由可得，时，取得最小值． 【详解】解： 当时，取最小值，最小值为 故答案为：． 12．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，根据开口向下和对称轴在y轴右侧得到，，据此可得一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故答案为：四． 13．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点A，点是该函数图象上任意一点，且不与点A重合，直线经过A，B两点．若时，总有，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，直线与抛物线的交点坐标的求法，以及解不等式，根据题意确定出，得出直线的解析式为，再联立抛物线解析式，化简得，最后利用对于时，总有，即可求出答案． 【详解】解：二次函数的图象与y轴交于点A， ， 直线经过点A， ， ， 点是该函数图象上任意一点，且不与点A重合， ， 整理得， 即，， 时，总有， 时，总有， ， 即， 解得， 故答案为：． 14．如图，一个横截面为抛物线的隧道，其底部的宽为，拱高为．该隧道为双向车道，且两车之间有的隔离带，一辆宽为的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部隧道有不少于的空隙，则该货车能够安全通行的最大高度是 m． 【答案】． 【分析】本题考查二次函数的应用．建立坐标系，利用待定系数法求得该抛物线对应的函数解析式；求出时，y的值，根据货车顶部与隧道间有不少于的空隙即可求解． 【详解】解：建立如图的平面直角坐标系， ，抛物线顶点坐标， 设抛物线的解析式为：， 依题意得：， 解得， ∴抛物线的解析式为：． ∵， 当时，， 当时，． 故答案为：． 15．已知二次函数（a，b，c是常数），满足且，下列四个结论： ①； ②； ③当时，y随x的增大而增大； ④图象与直线有2个交点，设两交点横坐标之差为d；则． 其中正确的有 ．（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数的性质，先根据且，结合二次函数的图象的性质，判断出进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①∵二次函数（a，b，c是常数），满足且， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②不正确； ③∵ ∴即 解得： ∵， ∴ ∴当时，y随x的增大而增大； ④∵，图象与直线有2个交点，设两交点横坐标之差为d； ∴ 即 ∴ ∴ 由③可得 ∴当时取得最小值，最小值为 当时，取得最大值，最大值为 ∴ ∴，故④正确， 故答案为：①③④． 评卷人 得分 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）探究二次函数及其图象的性质，请填空： ①图象的开口方向是 　　； ②图象的对称轴为直线 　　； ③图象与轴的交点坐标为 　　； ④当　　时，函数有最小值，最小值为 　　． 【答案】①向上；②；③；④3， 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，有最小值， 令，则， 图象与轴的交点坐标为， 故答案为：①向上；②；③；④3，． 17．（8分）已知二次函数． (1)若该二次函数的最大值为，求m的值； (2)若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图像与x轴有2个交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数图像的平移问题： （1）把抛物线解析式化为顶点式得到当时，二次函数有最大值，则，解之即可； （2）求出平移后的解析式为，根据题意结合二次函数图像的性质可得平移后的抛物线顶点一定在x轴上方，则． 【详解】（1）解：∵二次函数解析式为， ∴当时，二次函数有最大值， ∵该二次函数的最大值为， ∴， ∴； （2）解：把二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数解析式为， ∵平移后的抛物线解析式与x轴有2个交点，且抛物线开口向下， ∴平移后的抛物线顶点一定在x轴上方， ∴． 18．（8分）如图，抛物线的顶点坐标为，对称轴与x轴交于点E，与x轴交于点A，B两点，请回答下列问题． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在y轴上，且，求线段的长． 【答案】(1) (2)1或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和勾股定理的应用，求得顶点坐标是本题的关键． （1）用待定数法求二次函数的解析式即可． （2）先求出A，B两点之间的坐标，即可求出，根据求出点P的坐标，再根据两点之间的距离求出的长即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为 ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为． （2）令，则， 解得， ∴，， ∴， ∴． ①当时， ②当时， 综上：的长为1或． 19．（8分）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，下图是该种农产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数图象，请结合图象回答下列问题：    (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少元时，日销售利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1)， (2)当销售单价定为70元时，日销售利润最大为900元 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，二次函数最值问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）利润为，则，转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 由题意得：代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为， 当时，，解得：， ∴自变量的取值范围为：． （2）解：设利润为， 则， ∴当时，， 答：当销售单价定为70元时，日销售利润最大为900元． 20．（9分）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务． 利用二次函数的图象解不等式 我们知道，利用一次函数的图象可以解一元一次不等式，那么对于不等式，如何求它的解集呢？我们可以类比前面的学习经验来解决这个问题． 第一步：画出二次函数的图象． 列表如下： x 0 1 2 3 4 y 5 0 0 5 描点、连线，如图1所示． 第二步：确定二次函数的图象与轴的交点． 由图象可以看出，二次函数的图象与轴的交点为和． 第三步：确定不等式的解集． 由图象可知，当或时，二次函数的图象位于轴的上方，，即， 不等式的解集为或，同理，可得不等式的解集为． 任务： (1)利用二次函数的图象解不等式，主要体现的数学思想是______．（从下面选项中选出一个） A．数形结合思想        B．统计思想        C．公理化思想 (2)请你用阅读材料中的方法解不等式，在如图2所示的平面直角坐标系中，直接画出函数图象，并参照材料中第三步的分析过程写出你的分析过程． 【答案】(1)A (2)不等式的解集为或，画图及过程见解析 【分析】本题考查的是利用二次函数的图象解不等式，掌握数形结合的方法是解本题的关键； （1）根据题干部分的阅读提示可得答案； （2）先构建二次函数，再画二次函数的图象，建立对应的不等式，再利用数形结合的方法解题即可． 【详解】（1）解：利用二次函数的图象解不等式，主要体现的数学思想是数形结合思想． 故选A； （2）画函数的图象如图所示． 列表如下： 描点并连线： 将不等式进一步变形为， 观察图像可知，抛物线与轴相交于和两点， 当或时， 二次函数的图象位于轴下方，此时，即， 不等式的解集为或． 21．（9分）某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示，他们利用“杠杆原理”制作出一种投石机，如图①，为检验投石机的性能，进行如下操作：将石头用投石机从处投出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，最终石头落在斜坡上的点处，以水平地面为轴，为轴建立平面直角坐标系如图②． 已知抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为， 米，点为抛物线的顶点，过点作轴于点，点到轴的水平距离 米． (1)请求出抛物线的函数表达式； (2)点是点左侧抛物线上一点，过点作轴交坡面于点，若石头运动到点时到坡面的铅直高度为米，求此时石头（点）到轴的距离． 【答案】(1) (2)此时石头到轴的距离为米 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）将代入，进而得出，根据对称轴为，进而求得的值，即可求解； （2）根据题意，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题可得，将代入得，， ， 抛物线的顶点横坐标为20， ， ， 抛物线的函数表达式为． （2）由题意可得：， 解得，（舍去）， 此时石头到y轴的距离为5米． 22．（12分）如图①，是某高速公路正在修建的隧道．图②是其中一个隧道截面示意图，由矩形和抛物线的一部分构成，矩形的边，，抛物线的最高点离地面． (1)以点为原点、所在直线为轴，建立平面直角坐标系．求抛物线的表达式； (2)为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为 ； (3)该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度． 【答案】(1) (2) (3)米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用， （1）根据题意得顶点，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据平移的性质可得所求区域为边长为矩形的面积，即可求解； （3）依据题意，由车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶，代入求得函数值，进而根据题意，即可求解． 【详解】（1）解：又∵， ∴,，顶点 设抛物线解析式为 ∴ 解得： ∴抛物线解析式为： （2）将该抛物线向上平移所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域 ∴贴黄黑立面标记的区域的面积为 （3）由题意，∵车辆必须在距离隧道边缘大于等于2m范围内行驶， ∴令x=2，则． 又（米）， ∴该隧道车辆的限制高度为5米． 23．（13分）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为或 (3)的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解； （3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于，如图： 由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； （3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ，， 由，得直线解析式为， 设，， 过作轴于，过作轴于， ①， 当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图： 此时； ②当在第一象限，在第四象限时， 是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（小于0，舍去）或， ， 的坐标为； ③当在第四象限，在第三象限时，如图： 是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 同理可得， 解得或（大于0，舍去）， ， 的坐标为； ④当在第四象限，在第一象限，如图： 是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（舍去）或， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$