精品解析：上海市嘉定区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

2023 学年第二学期高二期末质量调研 数学样卷 考生注意： 1． 本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，考生在答题纸正面填写姓名、学校、班级，粘贴考生本人条形码， 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上同试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试物上作答一律不得分． 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 直线的斜率为______________． 2. 若则正整数n的值为_______． 3. 已知一组数据8.6，8.9，9.1，9.6，9.7，9.8，9.9，10.2，10.6，10.8，11.2，11.7，则该组数据的第80百分位数为__________． 4. 在空间直角坐标系中一点关于坐标平面的对称点的坐标为___________ 5. 化循环小数为分数：___________ 6. 圆柱的底面半径为3，侧面积为，则圆柱的体积为________． 7. 在二项展开式中，项的系数为_____. 8. 已知抛物线 上一点P到焦点的距离为5，则点P到x轴的距离为________． 9. 盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒面．已知某盲盒产品共有4种玩偶，小明购买5个盲盒，则他能集齐4种玩偶的概率是_____． 10. 已知，分别为双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线的渐近线方程为______． 11. 如图，在棱长为1正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A，不重合）．给出下列结论： ①存在点P，使得平面平面； ②对任意点P，都有； ③面积的最小值为； ④若是平面与平面的夹角，是平面与平面的夹角，则对任意点P，都有．其中所有正确结论的序号是_________． 12. “用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”，利用这个原理，小强在家里用两个射灯(射出的光锥视为圆锥)在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等边三角形，椭圆所在平面为，则椭圆的离心率为______________． 二、选择题（本大题共有4题， 满分18分， 第13、14题每题4分， 第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 直线与直线的夹角为（ ） A. B. C. D. 15. 空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、；满足：，，且存在实数，使得成立，则向量确定时，由构成的空间几何体的侧面积是（ ） ． A. B. C. D. 16. 设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列.关于命题：①若等差数列为和谐数列，则一定存在最小值；②若的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列为和谐数列.下列判断正确的是（ ） A. ①和②都真命题 B. ①和②都为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 如图，在正四棱锥中，为底面的中心． （1）若，，求正四棱锥的体积； （2）若，为的中点， 求直线与平面所成角的大小． 18. 已知数列各项均为正数，且，记其前项和为． （1）若数列为等差数列，，求数列的通项公式： （2）若数列为等比数列，，求满足时的最小值． 19. 用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩(满分100分，成绩都是整数)中抽取一个容量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组： [40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]．绘制得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a值； （2）若在区间[40,50)和[90,100]内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进行调查，求调查对象来自不同分组的概率： （3）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差． 20. 已知椭圆 的左、右顶点分别为、，且椭圆经过点 . （1）求的值，并求经过点且与圆相切的直线方程； （2）设为椭圆上的一个异于、的动点，直线、分别与直线相交于、两点，求的最小值： （3）已知椭圆上有不同的两点、，且直线不与坐标轴垂直，设直线、的斜率分别为、，求证：“”是“直线经过定点”的充要条件． 21. 设. （1）若，求函数图象在处的切线方程； （2）若在 上恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数存在两个极值点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023 学年第二学期高二期末质量调研 数学样卷 考生注意： 1． 本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，考生在答题纸正面填写姓名、学校、班级，粘贴考生本人条形码， 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上同试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试物上作答一律不得分． 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 直线的斜率为______________． 【答案】## 【解析】 【分析】转换成斜截式即可得. 【详解】由直线可得，则其斜率为. 故答案为：. 2. 若则正整数n的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由组合数的公式可得，解方程即可得出答案. 【详解】由可得， 则，解得：或. 故答案为：. 3. 已知一组数据8.6，8.9，9.1，9.6，9.7，9.8，9.9，10.2，10.6，10.8，11.2，11.7，则该组数据的第80百分位数为__________． 【答案】10.8 【解析】 【分析】根据题设及百分位数的求法，得到第80百分位数所在的位次，找到对应位次上的数，即为所求. 【详解】由题设知：数据共有12个,则，即第80百分位数在第10位, 第80百分位数是10.8. 故答案为：10.8. 4. 在空间直角坐标系中一点关于坐标平面的对称点的坐标为___________ 【答案】 【解析】 【分析】由空间直角坐标系中点关于面对称的性质计算即可得. 【详解】由关于坐标平面对称的点的横坐标相反，纵坐标与竖坐标相等可得. 故答案：. 5. 化循环小数为分数：___________ 【答案】 【解析】 【分析】令，借助计算即可得. 【详解】令，则，则，故. 故答案为：. 6. 圆柱的底面半径为3，侧面积为，则圆柱的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据底面半径为3，侧面积为，求得高，再代入体积公式求解. 【详解】由已知圆柱的底面半径,设高为， 侧面积为， 所以， 所以圆柱的体积为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查圆柱的侧面积和体积，属于基础题. 7. 在的二项展开式中，项的系数为_____. 【答案】 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对有， 令，则，有， 即项的系数为. 故答案为：. 8. 已知抛物线 上一点P到焦点的距离为5，则点P到x轴的距离为________． 【答案】. 【解析】 【分析】根据抛物线的方程求出准线，再由抛物线定义求解即可. 【详解】抛物线方程，则焦点坐标为，准线方程为， 由抛物线的定义可知，点P到准线的距离为5， 所以，解得：，代入， 则 所以点P到x轴的距离为． 故答案为：. 9. 盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒面．已知某盲盒产品共有4种玩偶，小明购买5个盲盒，则他能集齐4种玩偶的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定基本事件总数和满足题意的基本事件数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】购买5个盲盒，得到玩偶所有情况有种； 其中集齐种玩偶的情况有： 所求概率. 故答案为：. 10. 已知，分别为双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用得到AB⊥，结合双曲线定义得到，由勾股定理求得，从而求得，求出渐近线方程. 【详解】如图， 因为，所以AB⊥， 设，则， 由双曲线定义可知：，所以， 故， 因为，所以， 解得：，所以， 由勾股定理得：， 即，解得：， 又因为，所以， 故渐近线方程为 故答案为： 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A，不重合）．给出下列结论： ①存在点P，使得平面平面； ②对任意点P，都有； ③面积的最小值为； ④若是平面与平面的夹角，是平面与平面的夹角，则对任意点P，都有．其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①可通过线面垂直的判定定理找到点P；②③④都可以通过建立空间直角坐标系解决，其中通过向量的长度可以对②进行判断；利用两条直线所成的角和三角形面积公式可以判断③；求出三个面的法向量，并求出和，即可对④进行判断. 【详解】①因为，在上取点使， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故①正确； ②以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图 ，，，，则，， 设，则，, 从而，，所以，故②正确； ③由②，，， ，， 当且仅当时等号成立，所以面积的最小值为，故③正确； ④平面的法向量，平面的法向量， 设平面的法向量， 由即得， 令得， 则，， 令得或，而，故， 从而对存在点P，使得，而不大于直角， 故，故④错误； 故答案为：①②③. 12. “用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”，利用这个原理，小强在家里用两个射灯(射出的光锥视为圆锥)在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等边三角形，椭圆所在平面为，则椭圆的离心率为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由勾股定理结合余弦定理代入计算可得，再由相似三角形的相似比结合勾股定理可分别计算出椭圆的，结合椭圆的离心率定义即可得到结果. 【详解】设，由于，所以，在等边三角形中， 点为的中点，于是，在平面中，由椭圆的对称性可知， ，连接，延长与交于点， 由于为中点，所以在中，， 由勾股定理可得， 在中，，，，由余弦定理可得 ， 在中，由于，所以， 于是有， 设椭圆短轴的两个顶点为，连接分别交圆锥于， 由于，所以， 由于为圆锥母线，所以， 从而有， 在中，由勾股定理可得， 所以在椭圆中，，， 则， 则离心率为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了椭圆定义的理解以及椭圆离心率的求解，难度较大，解答本题的关键在于结合椭圆的定义以及余弦定理代入计算，分别求得，从而得到结果. 二、选择题（本大题共有4题， 满分18分， 第13、14题每题4分， 第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由面面平行的性质、线面、面面平行的判定即可判断. 【详解】因为，若，则由线面平行的性质可知，故“”是“”的充分条件， 设，，显然，从而有成立，但此时不平行. 故选：A. 14. 直线与直线的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助倾斜角与斜率关系可得两直线的倾斜角，即可得其夹角. 【详解】设两直线的倾斜角分别为，由，则， 由，则，即， 则两直线夹角为. 故选：B. 15. 空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、；满足：，，且存在实数，使得成立，则向量确定时，由构成的空间几何体的侧面积是（ ） ． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式有解，结合数量积运算，求得，又且，可得围成的空间几何体是以原点为顶点，高为2，母线长为的圆锥，从而根据锥体侧面积公式求得结论. 详解】由已知得，所以， 即存在实数，使得不等式有解， 则有，解得， 又因为且，所以在方向上的数量投影是， 所以围成的空间几何体是以原点为顶点，高为，母线长为的圆锥， 则其底面半径， 故由构成的空间几何体的侧面积为. 故选：C. 16. 设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列.关于命题：①若等差数列为和谐数列，则一定存在最小值；②若的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列为和谐数列.下列判断正确的是（ ） A. ①和②都为真命题 B. ①和②都为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 【答案】A 【解析】 【分析】对于①：根据等差数列的求和公式可得，结合可得，进而根据二次函数性质分析判断；对于②：可以取一个公比为负数的等比数列说明其存在性即可. 【详解】对于①：设等差数列的公差为， 则，所以， 即为公差为的等差数列， 若为和谐数列，则， 即，则， 所以关于的二次函数，开口向上， 所以在上一定存在最小值，所以①正确； 对于②：取， 则，且, 为和谐数列等价于， 证明上述不等式即说明存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列， 即证，即证， 当时，上式左边为负数，显然成立； 当时，即证，即证，（*） 设，， 则在上单调递增，可得， 即（*）式成立，所以②正确. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：命题②的关键点在于取一个公比为负数的等比数列说明其存在性. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 如图，在正四棱锥中，为底面的中心． （1）若，，求正四棱锥的体积； （2）若，为的中点， 求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形的边长，再利用体积公式计算即可得； （2）连接，结合正四棱锥的性质与线面垂直的判定定理可先证平面，根据线面角的定义得出所求角为，然后结合题目数量关系求解. 【小问1详解】 正四棱锥满足平面，由平面，则， 又正四棱锥底面是正方形，由可得，， 故，则； 【小问2详解】 连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形， 由是中点，则，又平面， 故平面，即平面，又平面， 于即为直线与平面所成角， 设，则，， 又线面角的范围是，故，即直线与平面所成角的大小为. 18. 已知数列各项均为正数，且，记其前项和为． （1）若数列为等差数列，，求数列的通项公式： （2）若数列为等比数列，，求满足时的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出数列公差，借助等差数列及其前项和计算即可得； （2）设出数列公比，由题意计算可得其通项公式及前项和，计算即可得. 【小问1详解】 设数列的公差为，则有，即， 故； 【小问2详解】 设数列的公比为，则有，即， 则，则， 令，即，故，即的最小值为. 19. 用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩(满分100分，成绩都是整数)中抽取一个容量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组： [40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]．绘制得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值； （2）若在区间[40,50)和[90,100]内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进行调查，求调查对象来自不同分组的概率： （3）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差． 【答案】（1）0.025 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的长方形面积和为1列方程，解方程即可； （2）根据直方图得到成绩在区间和的男生人数，然后求概率即可； （3）根据分层抽样的性质求总样本的平均数，根据方差公式和、求总样本的方差. 【小问1详解】 由题意得，解得. 【小问2详解】 ，， 所以成绩在区间的男生有4人，在区间的男生有2人， 设成绩在区间的男生为，在区间的男生为， 则在这6个数据中随机抽取两个的样本空间包含的样本点为： ，，，，，，，，，，，，，，， 所以， 记事件“调查对象来自不同分组”， 则事件包含的样本点为，，，，，，，， ， 所以调查对象来自不同的分组得概率为. 【小问3详解】 设男生成绩样本数据为，其平均数位，方差为， 女生成绩样本数据为，其平均数为，方差为， 设总体的平均数为，方差为， 由分层抽样总体样本平均数与各层样本平均数的关系得， 因为， 又， 同理， 所以 ， 所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148. 20. 已知椭圆 的左、右顶点分别为、，且椭圆经过点 . （1）求的值，并求经过点且与圆相切的直线方程； （2）设为椭圆上的一个异于、的动点，直线、分别与直线相交于、两点，求的最小值： （3）已知椭圆上有不同的两点、，且直线不与坐标轴垂直，设直线、的斜率分别为、，求证：“”是“直线经过定点”的充要条件． 【答案】（1），相切直线为与 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）代入点坐标计算即可得，结合直线与圆的位置关系，分切线斜率存在与不存在进行讨论计算即可得切线方程； （2）设，由题目条件求出，由结合基本不等式，即可求出的最小值． （3）充分性：设出直线的方程，联立方程组，根据整理出的关系式，即可得到，即直线过定点；必要性：根据直线过定点，设出直线的方程，联立方程组，求出的表达式，消去即证明出. 【小问1详解】 由题意可得，解得，即， 若经过点且与圆相切的直线方程斜率存在，可设为， 则有，解得，即，即， 若经过点且与圆相切的直线方程斜率不存在，则为， 又到的距离为，符合题意，故也与相切， 综上所述，相切直线为与； 【小问2详解】 设，则有，即， 由，则，， 则，故直线的方程为， 其与直线的交点的总坐标为， 又，故直线的方程为， 其与直线的交点的纵坐标为． 于是，即， 故， 当且仅当时，取得最小值； 【小问3详解】 充分性： 因为直线不与坐标轴垂直，设的方程为，， 联立方程组，整理得， ， ， ，， ，， ， ， ， 将代入上式， 整理得：， 恒成立， ，即直线过定点，充分性得证； 必要性： 因为直线不与坐标轴垂直且过点，设的方程为， ，联立方程组， 整理得， ， ，， ，必要性得证. 所以“”是“直线经过定点”的充要条件. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 21. 设. （1）若，求函数的图象在处的切线方程； （2）若在 上恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数存在两个极值点，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）借助导数研究及的单调性后，由函数的最小值可分及进行讨论，结合零点的存在性定理可得时不符合要求； （3）结合极值点定义计算可得，结合函数单调性可得只需证，构造相应函数，结合导数证明其恒成立即可得. 【小问1详解】 当时，，则，则， 又，则切线方程为，即； 【小问2详解】 ，令， 则，当时，有， 故在上单调递增，即在上单调递增， 则， 当时，，则在上单调递增， 有，满足要求； 当时，则，又， 则必存在，使，即， 当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 则 ，令， 则， 则在上单调递减，则， 即，故此时不符合题意，故舍去， 综上所述，； 【小问3详解】 由（2）得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又函数存在两个极值点，则，即， 则有，要证，即证， 又，，在上单调递增， 即只需证，又， 即只需证， 令 ，， 则 ， 即在上恒成立，即在上单调递减， 则， 即，即得证. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于得到、的范围，从而结合函数单调性，将证明转化为证明，从而可构造相应函数，利用导数研究其单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$