精品解析：四川省南充市仪陇县2023-2024学年高二下学期5月教学质量监测数学试题

仪陇县2024年5月高中二年级教学质量监测 数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： （1）答题前将姓名、考号等填在答题卡指定位置． （2）所有解答内容均需涂、写在答题卡上． （3）选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂． （4）填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、单项选择题（本大题共8个小题，每题5分，共40分） 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列下标和的性质直接计算可得结果. 【详解】根据等差数列下标和的性质可得， 又，所以， 故选：D． 2. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法可得答案. 【详解】令，得， 故选：B. 3. 数列为等比数列，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式计算求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 则可得，解得， 故选：C 4. 已知函数满足，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导函数，然后令列式求解可得. 【详解】， . 故选：C. 5. 1949年10月1日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有600余位宾客参加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”．该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福．若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为（ ） A. 240 B. 480 C. 384 D. 1440 【答案】B 【解析】 【分析】利用插空法求解. 【详解】鲍鱼浓汁四宝、蟹粉狮子头、清炒翡翠虾仁和全家福依次而上有种排列方式， 此时形成个空位，选出个空位将东坡肉方和鸡汁煮干丝分别插入进去，共有种排列方式， 由乘法原理可知不同的上菜顺序种数为， 故选：. 6. 在数列中，若，，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，探求出数列的周期，再利用周期性计算即得. 【详解】在数列中，由，，得，，， 因此数列是周期性数列，周期为3， 所以. 故选：A 7. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.如果某重卦中有3个阳爻，3个阴爻，则它可以组成种重卦. A. 6 B. 15 C. 20 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】 只需从个位置中选取个位置放置阳爻，则问题得解. 【详解】要满足题意，则只需从个位置中选取个位置放置阳爻即可， 故满足题意的重卦有种. 故选：C. 【点睛】本题考查分配问题的处理，属基础题. 8. 设已知函数，，在同一直角坐标系中，直线分别与函数和的图象相交于A点和B点，则A点与B点的坐标距离的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，令，求出，令，求出，可得，构造函数，利用导数求解最小值. 【详解】令得A点的横坐标， 令得B点的横坐标，由图可知， 所以，令， 则，令，则，且， 所以当，，，， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以，即A到B的距离的最小值为． 故选：C． 二、多项选择题（本大题共3个小题，每题6分，共18分，错选不得分，漏选得3分） 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式计算可得. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：ABC 10. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项是240 B. 各项系数和是64 C. 第3项的二项式系数最大 D. 奇数项的二项式系数和是32 【答案】AD 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项、对赋值进行计算即可求解. 【详解】二项式的通项为：， 当即时，该项为常数项，即，故选项A正确； 当时，各项系数和为1，故选项B错误； 因为6是偶数，所以二项式系数最大的项是， 即第4项为二项式系数最大的项，故选项C错误； 奇数项有，对应的二项式系数和为，故选项D正确. 故选：AD. 11. 如图，杨辉三角形中的对角线之和1，1，2，3，5，8，13，21，..构成的斐波那契数列经常在自然中神奇地出现，例如向日葵花序中央的管状花和种子从圆心向外，每一圈的数字就组成这个数列，等等.在量子力学中，粒子纠缠态、量子临界点研究也离不开这个数列.斐波那契数列的第一项和第二项都是1，第三项起每一项都等于它前两项的和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据数列满足，，，依次判断选项即可得到答案. 【详解】由题知：数列满足，，. 对选项A， ，故A错误. 对选项B，， 故B正确. 对选项C，∵ ∴， ∴ ，故C正确. 对选项D， ∴ .故D正确. 故选：BCD 三、填空题（本大题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为______m/s． 【答案】3 【解析】 【分析】利用平均变化率来求瞬时变化率即可得到瞬时速度. 【详解】该物体在时间段上的平均速度为: ， 当无限趋近于0时， 无限趋近于3，即该物体在时的瞬时速度为3m/s． 故答案为：. 13. 新高考模式下，“3+1+2”中“3”是数学、语文、外语三个必选的主科，“1”是物理、历史二选一，“2”是在地理、生物、化学、政治中选两科.已知某校高二学生中有的学生选择物理，剩余的选择历史，选择物理和历史的学生中选择地理的概率分别是和，则从该校高二学生中任选一人，这名学生选择地理的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由全概率公式可得答案. 【详解】设选择地理的概率为P，由全概率公式，得， 即从该校高二学生中任选一人，这名学生选择地理的概率为. 故答案为：. 14. 已知函数，若函数f(x)在处取得极大值，则实数a的取值范围是______. 【答案】. 【解析】 【分析】 求出函数的导数，讨论a的取值范围，得到函数的单调区间，结合函数的最大值，可得a的取值范围. 【详解】解：由，可得， 设，， 当，，，函数单调递增， 当，，，函数单调递增； ，，函数单调递减； 由f(x)在处取得极大值，可得， 当时，单调递增，当，，单调递减； 当，，单调递增，所以f(x)在处取得极小值，与题意不符； 当时，即，可得：在单调递增，所以当， ，当，，即f(x)在单调递减，在单调递增，所以f(x)在处取得极小值，与题意不符； 当时，即，在单调递增，在单调递减， 所以当，，单调递减，与题意不符； 当，即可，当，，函数单调递增； 当，，函数单调递减，所以f(x)在处取得极大值，符合题意， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的参数及含参函数的极值问题，综合性大，属于难题. 四、解答题（本大题共5个小题，15题13分，16，17题每题15分，18，19题每题17分，共77分） 15. 设随机变量X的分布列为 X 1 P a 2a 3a 4a 5a （1）求常数a的值； （2）求随机变量X的数学期望； （3）求和． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据分布列性质，所有概率之和为1并解方程可得； （2）代入计算求出分布列后可得期望值； （3）根据随机变量X的取值对应的概率，利用概率的加法公式可得结果. 【小问1详解】 由题意得， 解得． 【小问2详解】 随机变量X的分布列为 X 1 P ． 【小问3详解】 由（2）知，可得 ， 16. 已知为等差数列的前项和，，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设数列的首项为，公差为.代入已知条件解得后可得通项公式； （2）用裂项相消法求和． 【详解】（1）设数列的首项为，公差为. 由题意得 解得 ∴数列的通项公式 . （2）由（1）得， ∴． 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查裂项相消法求和．数列求和除需掌握等差数列和等比数列的前项和公式外还需掌握错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法、倒序相加法等求和方法． 17. 已知函数，当时，取得极小值5. （1）求的值； （2）当时，求的最小值. 【答案】（1）， （2）1 【解析】 【分析】（1）由函数解析式求导，根据可导函数取极值的必要条件，建立方程求得，利用极小值的判别方法进行检验，再根据函数解析式求值，可得答案； （2）由导数与函数单调性的关系，求得导数与零的大小关系，明确函数的单调区间，可得答案． 【小问1详解】 由题意函数，当时，取得极小值5， 可得， 所以，得， 此时； 当时，，当时，， 所以在时取极小值，符合题意； 所以，．又，所以． 即实数，； 【小问2详解】 由（1）可得，所以， 令解得或， 、随的变化情况如下表： 1 2 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 而，，由此可得函数的最小值为. 18. 在数列中，. （1）证明：是等比数列. （2）求的通项公式. （3）求数列的前项和. 【答案】（1） 在数列中，，故， 又，即，故， 故是首项为2，公比为2的等比数列； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将已知等式变形为，根据等比数列的定义，即可证明结论； （2）由（1）可得，利用累加法，即可求得的通项公式.； （3）由（2）可得的表达式，利用错位相减法，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得， 故时， ， 也适合该式，故； 【小问3详解】 由（2）可得， 故， 则， 两式相减得， 故. 19. 已知函数． （1）当a＝1时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若的有三个零点，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由直线的点斜式方程即可得出结果； （2）求导并对导函数整理变形，再对参数进行分类讨论即可得出函数的单调性； （3）分别讨论出函数的单调性，并根据零点个数限定出极值的符号，解不等式即可得出a的取值范围． 【小问1详解】 当a＝1时，，得， ，则， 所以切线方程为：， 即； 【小问2详解】 由题，可得， 当时，当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 当时，的解为，， ①当，即时，恒成立，则在上单调递增； ②当，即时， 在区间，上，满足，在区间上，满足， 此时在，上单调递增；在上单调递减； ③当，即时， 在区间，上，满足，在区间上，满足， 即在，上单调递增；在上单调递减； 综上可知，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 ①当时，在上单调递减，在上单调递增， 则最多两个零点，不合题意； ②当时，，知在上单调递增，在上单调递减，上单调递增； 可得在处取得极大值，在处取得极小值； 且时，，时，，要使得有三个零点， 则必有，即，此时可得a无解； ③当时，，则在上单调递增；则最多一个零点，不合题意； ④当时，，知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 可得在处取得极小值，在处取得极大值； 且时，，时，，要使得有三个零点， 则必有，即，解得且； 综上得a的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于分类讨论出函数的单调性后，并结合函数图象根据零点个数限定出极值点的符号，解不等式可求得a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仪陇县2024年5月高中二年级教学质量监测 数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： （1）答题前将姓名、考号等填在答题卡指定位置． （2）所有解答内容均需涂、写在答题卡上． （3）选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂． （4）填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、单项选择题（本大题共8个小题，每题5分，共40分） 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 2. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 数列为等比数列，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数满足，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 5. 1949年10月1日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有600余位宾客参加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”．该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福．若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为（ ） A. 240 B. 480 C. 384 D. 1440 6. 在数列中，若，，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 7. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.如果某重卦中有3个阳爻，3个阴爻，则它可以组成种重卦. A. 6 B. 15 C. 20 D. 1 8. 设已知函数，，在同一直角坐标系中，直线分别与函数和的图象相交于A点和B点，则A点与B点的坐标距离的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每题6分，共18分，错选不得分，漏选得3分） 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项是240 B. 各项系数和是64 C. 第3项的二项式系数最大 D. 奇数项的二项式系数和是32 11. 如图，杨辉三角形中的对角线之和1，1，2，3，5，8，13，21，..构成的斐波那契数列经常在自然中神奇地出现，例如向日葵花序中央的管状花和种子从圆心向外，每一圈的数字就组成这个数列，等等.在量子力学中，粒子纠缠态、量子临界点研究也离不开这个数列.斐波那契数列的第一项和第二项都是1，第三项起每一项都等于它前两项的和，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为______m/s． 13. 新高考模式下，“3+1+2”中“3”是数学、语文、外语三个必选的主科，“1”是物理、历史二选一，“2”是在地理、生物、化学、政治中选两科.已知某校高二学生中有的学生选择物理，剩余的选择历史，选择物理和历史的学生中选择地理的概率分别是和，则从该校高二学生中任选一人，这名学生选择地理的概率为______. 14. 已知函数，若函数f(x)在处取得极大值，则实数a的取值范围是______. 四、解答题（本大题共5个小题，15题13分，16，17题每题15分，18，19题每题17分，共77分） 15. 设随机变量X的分布列为 X 1 P a 2a 3a 4a 5a （1）求常数a的值； （2）求随机变量X的数学期望； （3）求和． 16. 已知为等差数列的前项和，，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 已知函数，当时，取得极小值5. （1）求的值； （2）当时，求的最小值. 18. 在数列中，. （1）证明：是等比数列. （2）求的通项公式. （3）求数列的前项和. 19. 已知函数． （1）当a＝1时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若的有三个零点，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $