期末强化练04 解三角形大题8种常见考法归类（58题）-2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 期末强化练04 解三角形大题8种常见考法归类（58题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 正余弦定理的综合应用 题型二 求边或角的取值范围 题型三 与三角形的面积有关的问题 题型四 与三角形的周长有关的问题 题型五 解三角形在平面几何中的应用 题型六 解三角形的实际应用 题型七 解三角形与三角函数的综合 题型八 结构不良型问题 题型一 正余弦定理的综合应用 1．（2023秋•金坛区校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若，，求． 2．（2023秋•未央区校级期末）在中，内角、、的对边分别为、、，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的值． 3．（2023秋•阳江期末）在中，角、、所对应的边分别为、、，且，，．求： （1）的值； （2）和的面积． 4．（2023秋•荔湾区校级期末）的内角，，的对边分别为，，．设． （1）求； （2）若，求． 5．（2023秋•河东区期末）已知的内角，，的对边分别为，，，满足． （Ⅰ）求角； （Ⅱ）若，求的值； （Ⅲ）若，，求的值． 6．（2023秋•兴化市期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求的大小； （2）若，，求． 题型二 求边或角的取值范围 7．（2023秋•翠屏区校级期末）设中角，，的对边分别为，，，． （1）若，，求； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 8．（2024春•山东期末）在锐角三角形中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的值． （2）求的取值范围． 9．（2023秋•阳江期末）在中，为的角平分线，且． （1）若，，求的面积； （2）若，求边的取值范围． 10．（2023秋•大祥区校级期末）已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2）若，求的取值范围． 11．（2023秋•柯桥区期末）在中，内角，，对应的边分别为，，，若． （1）证明：； （2）求的取值范围． 12．（2023秋•上虞区期末）在①；②；③．这三个条件中任选一个，填在下面的横线中，并完成解答． 在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且_____． （Ⅰ）求边长； （Ⅱ）若边上的高为，求角的最大值． 13．（2023秋•道里区校级期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，求的取值范围． 题型三 与三角形的面积有关的问题 14．（2023秋•迪庆州期末）在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 15．（2023秋•博爱县校级期末）在中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的值； （2）若，当边取最小值时，求的面积． 16．（2023秋•达州期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，． （1）若，，求； （2）若的面积为，，求． 17．（2023秋•宁波期末）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知． （1）求的大小； （2）若，，求的面积． 18．（2023秋•大理州期末）在等腰中，角，，的对边分别是，，，已知，． （1）求； （2）求三角形的面积． 19．（2023秋•西安区校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求的大小； （2）若，为的中点，且，求的面积． 20．（2024春•普陀区校级期末）在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知． （1）求角的大小； （2）当，时，求边长和的面积． 21．（2023秋•梅河口市校级期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，设，，满足条件和． （1）求角和； （2）若，求的面积； （3）求． 22．（2023秋•安康期末）在中，，，边中线． （1）求的值； （2）求的面积． 23．（2023秋•雁峰区校级期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，． （1）求； （2）若，的面积为，求，． 24．（2023秋•五华区校级期末）在中，，，分别为内角，，的对边，． （1）求角的大小； （2）若是锐角三角形，，求面积的取值范围． 题型四 与三角形的周长有关的问题 25．（2023秋•鞍山期末）已知，，分别为内角、、的对边，，且． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 26．（2023秋•毕节市期末）的内角，，所对的边分别为，，．已知，且． （1）求的面积； （2）若，求的周长． 27．（2023秋•惠来县校级期末）已知在中，内角，，所对的边分别为，，，． （1）若，外接圆的半径为，求； （2）若，求周长的取值范围． 28．（2023秋•合肥期末）在中，，，分别为角，，的对边，且满足． （1）求角； （2）若，的面积为，求的周长． 29．（2023秋•雁塔区校级期末）已知的内角，，的对边分别为，，．且． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若的面积为，周长为8，求． 30．（2023秋•齐齐哈尔期末）在中，角，，所对的边分别为，，，， （1）求角的大小； （2）若的面积为，周长为，求边上的高． 31．（2024春•溧阳市期末）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，满足． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围． 32．（2024春•洛阳期末）在中，，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，求的周长的取值范围． 题型五 解三角形在平面几何中的应用 33．（2023秋•金寨县校级期末）在中，角、、的对边分别为、、．已知，，． （1）求的值； （2）在边上取一点，使得，求的值． 34．（2023秋•瓜州县校级期末）记的内角，，的对边分别为，，．已知． （1）求的值； （2）若点在边上，且，求． 35．（2023秋•泸县校级期末）如图所示，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，． （1）求的值． （2）求． 36．（2023秋•普陀区校级期末）已知在中，，． （1）求； （2）设，求边上的高． 37．（2023秋•合肥期末）在中，，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）已知点在线段上，且，求长． 38．（2023秋•杭州期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，，，角为锐角，已知的面积为． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若为上的中线，求的余弦值． 39．（2024春•连云区校级期末）在中，是的角平分线，是边上的中线，点、在边上． （1）用正弦定理证明； （2）若，，，求的长． 40．（2023秋•林芝市期末）在中，为边上一点，． （1）若，且，，求的大小； （2）若，，，求的面积． 41．（2023秋•安徽期末）如图，在中，的平分线交边于点，点在边上，，，． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，求的面积． 42．（2023秋•濠江区校级期末）已知中角，，所对的边分别为，，，设其面积为，． （1）求角； （2）若，点在边上，若是的平分线，且，求． 43．（2023秋•漯河期末）如图所示，在平面四边形中，，，，，的面积为． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求． 44．（2023秋•新余期末）已知的内角，，的对边分别为，，，若，且． （1）求； （2）若为的中点，且，求的面积． 45．（2023秋•青羊区校级期末）在中，． （1）若，求； （2）为边上一点，且，求的面积． 46．（2024春•秦淮区期末）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，其中为的面积． （1）求角的大小； （2）设是边的中点，若，求的长． 47．（2024春•涉县校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，，为的中点，求的长； （3）若，求的取值范围． 48．（2023秋•洪山区校级期末）在中，已知，，． （1）求； （2）若为上一点，且，求的面积． 49．（2024春•成都期末）记的内角，，的对边分别为，，，若，且． （1）求及； （2）若点在边上，且，，求的面积． 50．（2023秋•驻马店期末）在中，为边上一点． （1）若，求的面积； （2）若，求． 51．（2023秋•新郑市校级期末）如图，在中，点在边上，，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面积． 52．（2023秋•巴东县校级期末）设三个内角，，所对的变分别为，，．已知． （1）求角的大小； （2）如图，在的一个外角内取一点，使得，过点分别作直线、的垂线、，垂足分别为、．设，求的最大值及此时的取值． 题型六 解三角形的实际应用 53．（2023秋•新洲区期末）某在建小区为了提高绿化率，创造更美好的生活环境，计划再建一个四边形花坛（四边形．已知米，． （1）若，米，求边的长； （2）若，求花坛面积的最大值． 54．（2023秋•青羊区校级期末）为加强学生劳动教育，成都石室中学北湖校区将一块四边形园地用于蔬菜种植实践活动．经测量，边界与的长度都是14米，，． （1）若的长为6米，求的长； （2）现需要沿实验园的边界修建篱笆以提醒同学们不要随意进入，问所需要篱笆的最大长度为多少米？ 55．（2023秋•迎江区校级期末）某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯米）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌．如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度．某人在扶梯上点处（异于点观察广告牌的视角．当人在点时，观测到视角的正切值为． （1）求扶梯的长； （2）当某人在扶梯上观察广告牌的视角最大时，求的长． 题型七 解三角形与三角函数的综合 56．（2023秋•新郑市校级期末）已知函数，在中，，且的面积为， （1）求的值； （2）求的值． 题型八 结构不良型问题 57．（2023秋•碑林区期末）在中，内角，，的对边分别为，，．选择下列两个条件之一作为已知条件， ①；②． 解答以下问题： （1）求角的大小； （2）若的面积为，，求的值． （备注：若两个条件都选择作答，按第一个条件作答内容给分） 58．（2024春•连云区校级期末）条件①；②；③（其中为的外接圆半径）．在这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答． 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足 _____． （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值．（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个计分） $$2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 期末强化练04 解三角形大题8种常见考法归类（58题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 正余弦定理的综合应用 题型二 求边或角的取值范围 题型三 与三角形的面积有关的问题 题型四 与三角形的周长有关的问题 题型五 解三角形在平面几何中的应用 题型六 解三角形的实际应用 题型七 解三角形与三角函数的综合 题型八 结构不良型问题 题型一 正余弦定理的综合应用 1．（2023秋•金坛区校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若，，求． 【解析】（1）在中，由正弦定理及条件得： 为的内角， ，，， 又，所以； （2）由（1）知：， ，且， ， 由正弦定理得，且， ，． 2．（2023秋•未央区校级期末）在中，内角、、的对边分别为、、，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的值． 【解析】（1）中，， 由正弦定理得：， 又， ， 又， ， 又， ，； （2）由， 解得； 又， ， ， ． 3．（2023秋•阳江期末）在中，角、、所对应的边分别为、、，且，，．求： （1）的值； （2）和的面积． 【解析】（1），， 由余弦定理可得，，即，解得． （2），，， ， ， ， ， ． 4．（2023秋•荔湾区校级期末）的内角，，的对边分别为，，．设． （1）求； （2）若，求． 【解析】（1）的内角，，的对边分别为，，． ． ， 由正弦定理得：， ， ，． （2），， 由正弦定理得， 解得， 或， ，， ． 5．（2023秋•河东区期末）已知的内角，，的对边分别为，，，满足． （Ⅰ）求角； （Ⅱ）若，求的值； （Ⅲ）若，，求的值． 【解析】（Ⅰ）中，， 由正弦定理得； 又， 所以， 所以； 又，所以， 所以； 又， 所以； （Ⅱ）若，， 所以， 所以， ， 所以 ； （Ⅲ）若，， 由，得， 所以； 所以， 解得． 6．（2023秋•兴化市期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求的大小； （2）若，，求． 【解析】（1）因为的内角，，的对边分别为，，，已知， 可得，即， 所以，因为，所以， 可得，又由，解得； （2）因为，，可得， 故， 且，可得． 题型二 求边或角的取值范围 7．（2023秋•翠屏区校级期末）设中角，，的对边分别为，，，． （1）若，，求； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【解析】（1）由余弦定理得， 解得， （2）因为为锐角三角形， 所以， 解得， 同理， 所以， ， ． 8．（2024春•山东期末）在锐角三角形中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的值． （2）求的取值范围． 【解析】（1）设的外接圆半径为． 由，两边都乘以， 得， 即，结合，可得， 所以，结合，，可得，； （2）由正弦定理得， 结合，可得 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，得，即的取值范围是． 9．（2023秋•阳江期末）在中，为的角平分线，且． （1）若，，求的面积； （2）若，求边的取值范围． 【解析】（1）因为， 所以， 得：， 解得， 所以． （2）设，，， 由得 ， 即， 所以， 又在中， 所以， 得， 因为且， 得， 则， 所以， 即边的取值范围为． 10．（2023秋•大祥区校级期末）已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2）若，求的取值范围． 【解析】（1）由题意得， 化简得，即， 则，，解得． （2）由题意及正弦定理得： ，， ， 由（1）知，， 又解得， 则， 故，， 的取值范围为，． 11．（2023秋•柯桥区期末）在中，内角，，对应的边分别为，，，若． （1）证明：； （2）求的取值范围． 【解析】证明：（1）要证，只要证， 即证， ， 只要证，由题意即可得证； 解：（2），， ，， 设， ． 12．（2023秋•上虞区期末）在①；②；③．这三个条件中任选一个，填在下面的横线中，并完成解答． 在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且_____． （Ⅰ）求边长； （Ⅱ）若边上的高为，求角的最大值． 【解析】（Ⅰ）选①：，可得， 而由余弦定理可得， 可得，解得； 选②时，因为， 由余弦定理可得：， 整理可得：，解得； 选③时，因为， 所以，即， 所以，在中，可得， 所以， 即， 可得； （Ⅱ）因为，当且仅当时取等号， 所以，而， 所以， 即， 所以， 即，即， 即， 在中，， 所以角的最大值为． 13．（2023秋•道里区校级期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，求的取值范围． 【解析】（Ⅰ）因为， 所以由正弦定理可得，即， 又因为， 所以， 因为为锐角， 所以． （Ⅱ） ， 因为，可得， 所以，，即，． 题型三 与三角形的面积有关的问题 14．（2023秋•迪庆州期末）在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【解析】（1）由已知及正弦定理知：， 因为为锐角，则， 所以， 因为为锐角，则． （2）由余弦定理可得，， 则，即，即， 因为，则， 所以的面积． 15．（2023秋•博爱县校级期末）在中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的值； （2）若，当边取最小值时，求的面积． 【解析】（1）由条件和正弦定理可得，即， 整理得从而由余弦定理得． 又是三角形的内角，． （2）由余弦定理得， ，，， 则，即，当且仅当时等号成立． 的最小值为2，故． 16．（2023秋•达州期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，． （1）若，，求； （2）若的面积为，，求． 【解析】（1）因为，，所以， 由正弦定理，可得； （2）因为的面积为， 所以，因为，， 所以，解得， 由余弦定理可得，即． 17．（2023秋•宁波期末）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知． （1）求的大小； （2）若，，求的面积． 【解析】（1）由，结合正弦定理， 得， 即， 因为，，所以， 则，即； （2）因为，所以， 利用正弦定理可得， 而， 故的面积为 ． 18．（2023秋•大理州期末）在等腰中，角，，的对边分别是，，，已知，． （1）求； （2）求三角形的面积． 【解析】（1）因为三角形为等腰三角形，且， 所以角为钝角，则，， 所以， 则，所以或（舍去）， 即； （2）由余弦定理可得：， 解得，又， 所以三角形的面积为． 19．（2023秋•西安区校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求的大小； （2）若，为的中点，且，求的面积． 【解析】（本题满分为14分） 解：（1）由正弦定理，可得， ，可得：， ，化简可得：， ， ，即， ， 分 （2）， ， 解得：，分 分 20．（2024春•普陀区校级期末）在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知． （1）求角的大小； （2）当，时，求边长和的面积． 【解析】（1）由正弦定理得， 由于，则， 展开得， 化简得， 则，所以； （2）由正弦定理，得，即有， 因为，所以是锐角，即， 因为，所以， 由正弦定理，得， 所以 ． 21．（2023秋•梅河口市校级期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，设，，满足条件和． （1）求角和； （2）若，求的面积； （3）求． 【解析】（1）由余弦定理得， 因为， 所以． 由已知条件，应用正弦定理， 即， 所以． （2）因为，所以， 所以． （3）因为， 所以，又， 所以， 所以． 因为， 所以． 22．（2023秋•安康期末）在中，，，边中线． （1）求的值； （2）求的面积． 【解析】（1）， 由正弦定理可得， ， 又，，又，； （2），，为等腰三角形，且， 在中，由余弦定理可得， ，解得， 的面积为． 23．（2023秋•雁峰区校级期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，． （1）求； （2）若，的面积为，求，． 【解析】（1）由正弦定理得：， 即 ， 即 ． ； （2）若，的面积， ．① 再利用余弦定理可得： ， ．② 结合①②求得． 24．（2023秋•五华区校级期末）在中，，，分别为内角，，的对边，． （1）求角的大小； （2）若是锐角三角形，，求面积的取值范围． 【解析】（1）因为， 由正弦定理得：， 所以， 因为， 所以， 即， 即，整理得， 因为， 所以， 所以，即， 所以， 因为， 所以，可得； （2）因为，， 所以的面积， 由正弦定理得． 由于为锐角三角形， 故，， 因为， 所以，可得，， 可得， 从而． 因此，面积的取值范围是，． 题型四 与三角形的周长有关的问题 25．（2023秋•鞍山期末）已知，，分别为内角、、的对边，，且． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 【解析】（1）因为， 所以，即， 因为，可得， 所以，可得，． （2）因为，的面积为， 又， 所以， 由余弦定理可得， 所以，可得， 所以的周长的值为． 26．（2023秋•毕节市期末）的内角，，所对的边分别为，，．已知，且． （1）求的面积； （2）若，求的周长． 【解析】（1）已知， 由正弦定理，得， ． ． ． 的面积：． （2），．． 由余弦定理：． ． ．即． 故得的周长为：． 27．（2023秋•惠来县校级期末）已知在中，内角，，所对的边分别为，，，． （1）若，外接圆的半径为，求； （2）若，求周长的取值范围． 【解析】（1）由题意可得，可得， 由余弦定理可得，即， 即，解得或5； （2）由余弦定理可得，当且仅当时取等号， 可得，在三角形中，，所以， 所以， 所以周长为，． 28．（2023秋•合肥期末）在中，，，分别为角，，的对边，且满足． （1）求角； （2）若，的面积为，求的周长． 【解析】（1）因为 ， 所以， 化简得， 所以， 因为， 所以； （2）， ， 由余弦定理得， 即， 则， 从而有， 则， 故的周长为． 29．（2023秋•雁塔区校级期末）已知的内角，，的对边分别为，，．且． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若的面积为，周长为8，求． 【解析】（Ⅰ）中，， ， ； 由正弦定理得， ， 即； 又，， ， 即， ， 解得； （Ⅱ）的面积为，周长为8， ， ，① ，② 由余弦定理得：，③ 由①②③组成方程组，可得：， 可得：， 解得：． 30．（2023秋•齐齐哈尔期末）在中，角，，所对的边分别为，，，， （1）求角的大小； （2）若的面积为，周长为，求边上的高． 【解析】（1）由已知结合正弦定理，可得， 又， 代入整理可得， 因为，故，所以， 又，所以； （2）由及可得，， 又周长为，则，所以， 根据余弦定理可得， ， 整理可得，设边上的高为， 则，解得， 所以边上的高为． 31．（2024春•溧阳市期末）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，满足． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围． 【解析】（1）已知， 由正弦定理得：， ， 得， 又，即， 即， 又因为，所以，且， 所以，即； （2）由正弦定理得：，即，且， ，即， 而由为锐角三角形，，，得， 所以，即． 所以，且， 所以的周长的取值范围为． 32．（2024春•洛阳期末）在中，，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，求的周长的取值范围． 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 在三角形中，可得， 可得， 即， 在三角形中，可得， 解得； （2），， 由余弦定理可得，当且仅当时取等号 可得， 且， 所以该三角形的周长，． 即的周长的取值范围，． 题型五 解三角形在平面几何中的应用 33．（2023秋•金寨县校级期末）在中，角、、的对边分别为、、．已知，，． （1）求的值； （2）在边上取一点，使得，求的值． 【解析】（1）因为，，．，由余弦定理可得：， 由正弦定理可得，所以， 所以； （2）因为，所以， 在三角形 中，易知为锐角，由（1）可得， 所以在三角形中，， 因为，所以， 所以． 34．（2023秋•瓜州县校级期末）记的内角，，的对边分别为，，．已知． （1）求的值； （2）若点在边上，且，求． 【解析】（1）因为， 所以． （2）因为点在边上，且， 所以，， 又因为， 所以在中，由余弦定理，可得． 35．（2023秋•泸县校级期末）如图所示，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，． （1）求的值． （2）求． 【解析】（1），， ，． （2）在中，，由正弦定理得， 故． 36．（2023秋•普陀区校级期末）已知在中，，． （1）求； （2）设，求边上的高． 【解析】（1），， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 又，， 解得， 又，， ； （2）由（1）可知，， ， ， ，， 设边上的高为， 则， ， 解得， 即边上的高为6． 37．（2023秋•合肥期末）在中，，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）已知点在线段上，且，求长． 【解析】（1）因为在中，，，的对边分别为，，，， 由余弦定理得，即， 又， 则可得； （2）由余弦定理， 所以， 因为， 所以， 则在中，由正弦定理可得． 38．（2023秋•杭州期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，，，角为锐角，已知的面积为． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若为上的中线，求的余弦值． 【解析】（Ⅰ）因为，，角为锐角，的面积为， 所以，， 所以； （Ⅱ）因为为上的中线， 所以， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 所以，即的余弦值是． 39．（2024春•连云区校级期末）在中，是的角平分线，是边上的中线，点、在边上． （1）用正弦定理证明； （2）若，，，求的长． 【解析】（1）证明：在中，由正弦定理可得：， 在中，由正弦定理可得：， 由，， 所以，， 所以； （2）解：在中，由余弦定理可得 ， 所以，由（1）可得， 所以． 因为是边上的中线，所以， 所以． 40．（2023秋•林芝市期末）在中，为边上一点，． （1）若，且，，求的大小； （2）若，，，求的面积． 【解析】解（1）因为，，， 所以，， 所以， 又是的一个内角，所以； （2）在中，由余弦定理得， 即，得（负值舍去）， 又， 由正弦定理得， 则， 所以． 41．（2023秋•安徽期末）如图，在中，的平分线交边于点，点在边上，，，． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，求的面积． 【解析】（Ⅰ）由题意可知，，，， 而因为平分，所以， 所以根据余弦定理， 解得， 所以由余弦定理可得， 即可解得，所以， 即的大小为； （Ⅱ）由题意可知，因为，所以由正弦定理，， 而由（Ⅰ）中的，可得，所以即可得， 而在四边形中，我们知道它的内角和为，所以即有， 所以， 所以即有， 所以即有． 所以的面积为． 42．（2023秋•濠江区校级期末）已知中角，，所对的边分别为，，，设其面积为，． （1）求角； （2）若，点在边上，若是的平分线，且，求． 【解析】（1）由题意可知，，解得， 因为， 所以； （2）中，， ，① 又，，即，② 联立①②得， ．． 43．（2023秋•漯河期末）如图所示，在平面四边形中，，，，，的面积为． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求． 【解析】（Ⅰ）由题意知，， 化为， 则， ，， 由余弦定理知， ， ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，． 如图所示，作，，垂足分别为，， 则，，． ，，， ，． ． 44．（2023秋•新余期末）已知的内角，，的对边分别为，，，若，且． （1）求； （2）若为的中点，且，求的面积． 【解析】（1）因为，所以， 由正弦定理得， 化简得． 因为，，所以． 因为，所以． （2）因为为的中点，所以， 等式两边平方得， 即①． 在中，由余弦定理得②， 联立①②解得， 所以． 45．（2023秋•青羊区校级期末）在中，． （1）若，求； （2）为边上一点，且，求的面积． 【解析】解法一：（1）在中，由正弦定理及题设得， 故， 解得， 又， 所以． （2）设，则． 在中，由余弦定理得，， 即，① 在等腰中，有，② 联立①②，解得或（舍去）， 所以为等边三角形， 所以， 所以． 解法二：（1）同解法一． （2）设，则，， 因为， 所以， 由余弦定理得， 得， 所以，解得或（舍去）， 所以为等边三角形，所以， 所以． 46．（2024春•秦淮区期末）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，其中为的面积． （1）求角的大小； （2）设是边的中点，若，求的长． 【解析】（1）因为，可得，即， 结合正弦定理可得， 在中，， 所以，整理得， 因为，， 故，即， 又， 所以； （2）因为是边的中点，， 所以， 在中，，则， 在中，，，， 由正弦定理可得，即， 所以， 所以，即， 所以， 又，， 所以，解得， 所以． 47．（2024春•涉县校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，，为的中点，求的长； （3）若，求的取值范围． 【解析】（1）因为，正弦定理得， 又由余弦定理得， 又，所以； （2）因为为的中点，所以，则， 所以， 所以， 解得，所以的长为1； （3）由正弦定理知， 所以， 因为，所以，所以， 则， 所以的取值范围为． 48．（2023秋•洪山区校级期末）在中，已知，，． （1）求； （2）若为上一点，且，求的面积． 【解析】（1）在中，角，，的对边分别为，，， 已知，，， 由余弦定理可得，解得， 由正弦定理，即， 解得； （2）在中，， 所以， 因为， 所以，即， 所以． 49．（2024春•成都期末）记的内角，，的对边分别为，，，若，且． （1）求及； （2）若点在边上，且，，求的面积． 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 解得， 因为，可得， 在中，， 所以，因为， 可得，， 所以， 综上可得，； （2），可得，， 在中，由余弦定理可得，① 在中，由余弦定理可得，② 又因为， 即， 由①②可得，整理可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以， 整理可得，解得（负值已舍）， 所以． 50．（2023秋•驻马店期末）在中，为边上一点． （1）若，求的面积； （2）若，求． 【解析】（1）由余弦定理得， 即，解得， 所以的面积为． （2）因为， 所以， 所以． 51．（2023秋•新郑市校级期末）如图，在中，点在边上，，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面积． 【解析】（Ⅰ）如图，在中，，，． ，． ． （Ⅱ）中，由正弦定理可得，即，求得， 故的面积为． 52．（2023秋•巴东县校级期末）设三个内角，，所对的变分别为，，．已知． （1）求角的大小； （2）如图，在的一个外角内取一点，使得，过点分别作直线、的垂线、，垂足分别为、．设，求的最大值及此时的取值． 【解析】（1）依题意， 由余弦定理得， 可得， 所以， 可得； （2）依题意可知， 所以 ， 因为， 所以，， 可得当时，取得最大值为． 题型六 解三角形的实际应用 53．（2023秋•新洲区期末）某在建小区为了提高绿化率，创造更美好的生活环境，计划再建一个四边形花坛（四边形．已知米，． （1）若，米，求边的长； （2）若，求花坛面积的最大值． 【解析】（1）如图，连接， 因为，， 所以是等边三角形，所以，， 又，所以在中，，， 由余弦定理得， 所以米； （2）如图，连接， 由（1）知是等边三角形，， 在中，设， 由正弦定理得，即， 所以， 所以 ， 因为，，所以当，即时， 四边形面积取得最大值，最大值为平方米， 即花坛面积的最大值为平方米． 54．（2023秋•青羊区校级期末）为加强学生劳动教育，成都石室中学北湖校区将一块四边形园地用于蔬菜种植实践活动．经测量，边界与的长度都是14米，，． （1）若的长为6米，求的长； （2）现需要沿实验园的边界修建篱笆以提醒同学们不要随意进入，问所需要篱笆的最大长度为多少米？ 【解析】（1）连接，由题意是等边三角形，所以， 在中，由余弦定理得， ， 即，解得（含去， 故的长为10米； （2）设，， 在中，， 所需篱笆的长度为 ， 则当时，所需篱笆的最大长度为米． 55．（2023秋•迎江区校级期末）某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯米）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌．如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度．某人在扶梯上点处（异于点观察广告牌的视角．当人在点时，观测到视角的正切值为． （1）求扶梯的长； （2）当某人在扶梯上观察广告牌的视角最大时，求的长． 【解析】（1）设．，则． ，． ．化为：， 解得或． ． ．． （2）设，，，． 则，．． 作，垂足为点，则． ，． ， ，时， 取得最大值， ． 题型七 解三角形与三角函数的综合 56．（2023秋•新郑市校级期末）已知函数，在中，，且的面积为， （1）求的值； （2）求的值． 【解析】（1） 由，得，得， ， （2）由（1）知，又 由余弦定理得 由正弦定理得（12分） 题型八 结构不良型问题 57．（2023秋•碑林区期末）在中，内角，，的对边分别为，，．选择下列两个条件之一作为已知条件， ①；②． 解答以下问题： （1）求角的大小； （2）若的面积为，，求的值． （备注：若两个条件都选择作答，按第一个条件作答内容给分） 【解析】（1）选择①： ， 而， 所以，解得或1， 因为，所以，且． 选择②： 由，得，即， 由余弦定理知，， 因为，所以． （2）的面积，所以， 由正弦定理知，， 所以， 所以， 故． 58．（2024春•连云区校级期末）条件①；②；③（其中为的外接圆半径）．在这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答． 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足 _____． （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值．（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个计分） 【解析】（1）若选①，因为， 所以由正弦定理可得， 因为， 可得， 可得， 又为三角形内角，， 所以， 可得， 因为， 可得，， 所以， 可得； 若选②，因为， 所以由正弦定理可得， 可得， 又为三角形内角，， 可得， 因为， 所以； 若选③，因为（其中为的外接圆半径）， 又由正弦定理可得， 所以， 可得， 又为三角形内角，， 所以， 因为， 所以． （2）因为，， 所以余弦定理可得， 可得，当且仅当时取等号， 所以的面积，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为． $$