精品解析：辽宁省朝阳市建平县第二高级中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

辽宁高二6月联考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､雅考证号､考场号，座位写填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则z的共轭复数在复平面中对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法及共轭复数的概念求出，即可得解. 【详解】因为, 所以，故复数在复平面中对应的点所在的象限为第四象限. 故选：D 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解法求出，再由集合的运算法则可求得结果. 【详解】解不等式可得， 可得或，所以. 故选：C 3. 直线被圆所截得的最短弦长等于（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出直线过定点坐标，当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点的连线垂直于弦，求出弦心距，利用弦长公式求出结果即可． 详解】由题可知，直线过定点， 由圆的方程可知圆心为，半径为. 圆心到直线的最大距离为点的距离，即， 所以所截得的最短弦长为. 故选：C. 4. 甲､乙等6位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排2位同学，每位同学只去一个社区，则甲､乙到不同社区的不同安排方案共有（ ） A. 6种 B. 18种 C. 36种 D. 72种 【答案】D 【解析】 【分析】按照分步计数原理并利用平均分配的计算方法，即可计算得出结果. 【详解】根据题意，分成两步进行分析： 第一步，将6位同学分成3组，要求甲、乙不到同一组，有种分组方法， 第二步，将分好的3组全排列，安排到三个不同的社区，有种情况， 则共有种不同的安排方法. 故选：D 5. 在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，构造面对角线长分别为4，5，的长方体，求出其体对角线长即可求解作答. 【详解】三棱锥中，，，， 构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径，如图， 设长方体的棱长分别为，，，则，，，则， 因此三棱锥外接球的直径为， 所以三棱锥外接球的表面积为． 故选：A 6. 如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和．现测得，，米，在点测得塔顶的仰角为60°，则塔高为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，由正弦定理求出BC，进而在中求得答案即可. 【详解】由题意，在中，，由正弦定理可知. 在中，易知，于是. 故选：A. 7. 若关于的方程存在三个不等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方程转化为，令，利用导数求函数单调性和极值，确定关于的方程存在三个不等实数根的条件，求出实数的取值范围. 【详解】关于的方程存在三个不等的实数根， 等价于方程存在三个不等的实数根， 令，，解得，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且时，时，当时，有极大值， 方程，，方程有两个不等的实数根，且两根之积为， 则方程有一正根一负根，且正根位于区间上， 此时关于的方程存在三个不等的实数根， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 8. 已知A，B是椭圆与双曲线的公共顶点，P是双曲线在第一象限上的一点，直线，交椭圆于点M，N．若直线过椭圆的右焦点F，则的面积为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何关系可知直线与直线斜率相等，直线与直线斜率相等，由此可找出直线，的几何关系，由此得出点M，N的坐标，代入三角形的面积公式即可求出答案. 【详解】设点，则直线，斜率分别为，， 又因，可得， 再设点，则直线，斜率分别为，， 又因，可得， 因为，所以，即直线，关于x轴对称， 又因直线过椭圆的右焦点F，即，代入椭圆方程得， . 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 是的最大值 C. 把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象 D. 时，的最小值为，的最大值为1 【答案】AC 【解析】 【分析】化简已知可得，即可判断A项；代入求出，即可判断B项；求出平移后的函数解析式，即可判断C项；求出的范围，结合正弦函数的单调性，即可得出函数的最值，进而判断D项. 【详解】对于A项，因为，所以周期，故A正确； 对于B项，，故B不正确； 对于C项，将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故C正确； 对于D项，因为，所以. 因为在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得最大值，最大值为2； 又时，，时，， 所以当时，取得最小值，最小值为，故D不正确． 故选：AC． 10. 已知数列中，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】判断出数列的周期性，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题意，， ∴数列是以为周期的周期数列． 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，由递推关系式知， ∴ ，D正确． 故选：BD 11. 如图，正方体中，E，F分别是棱，的中点，若正方体的棱长为2，则下列说法正确的有（    ） A. 点D到平面的距离为 B. 直线与平面垂直 C. 直线与平面所成的角的正弦值为 D. 平面与平面的夹角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据点到平面距离的向量公式判断A；判断与平面的法向量是否平行，可判断B；根据向量的夹角公式可判断CD. 【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ∴， ， 设平面的法向量为， 则，令，则，， ∴点到平面的距离，故A正确； 假设存在，使得，则， 则，此方程组无解，∴不存在，使得， 故向量与不平行，即直线与平面不垂直，故B错误； 设直线与平面所成的角为，则，故C正确； 平面的一个法向量为，平面与平面的夹角， 则，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中项的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】写出通项公式即可解出答案. 【详解】的第项为，令，得系数为. 故答案为： 13. 已知数列满足：（m为正整数），，若，则m的所有可能取值之和为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由结合递推关系式，分情况讨论，分别求出的值即可． 【详解】当时，则，可知或， 若，则； 若，则； 综上所述，或，即m的所有可能取值之和． 故答案为： 14. 已知函数()存在两个极值点，，且，则的取值范围为______；的取值范围为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出函数的导函数，和在上有2个不同的交点，即可求出的取值范围；再由正弦函数的对称性得到，，即可得到，看作关于的函数，可令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的值域，从而得解. 【详解】∵，，∴， ∵存在两个极值点，，且， ∴在上有2个不相等的实数根， ∴和在上有2个不同的交点，所以，即； 当时，函数的图象关于直线对称， ∴，，，， ∴ ， 令，， 则，∴在上单调递减， 所以，∴的取值范围为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的难点在于第二个空，关键是根据正弦函数的对称性，把化作关于一个未知数的函数，再借助导数求解单调性，得到原函数的值域. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 根据《国家学生体质健康指标》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：） 立定跳远单项等级 高三男生 高三女生 优秀 260及以上 194及以上 良好 及格 不及格 204及以下 149及以下 从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）： 男生： 女生： 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立. （1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率； （2）从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设为这3人中立定跳远单项等级为优秀的人数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为，计算频率得到优秀率的估计值； （2）由题设，的所有可能取值为，算出对应概率的值，列出分布列，计算出的数学期望的估计值. 小问1详解】 某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学， 样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为， 所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为；估计高三女生立定跳远单项的优秀率为． 【小问2详解】 由题设，的所有可能取值为， 则； ； ； ． 则的分布列为： 0 1 2 3 则的数学期望. 16. 已知正项数列前n项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与之间的关系分析可知数列是等差数列，结合等差数列通项公式运算求解； （2）由（1）可得，利用分组求和以及裂项相消法运算求解. 【小问1详解】 因为，则， 两式相减得：， 整理得， 且为正项数列，可知， 可得，即， 可知数列是以首项，公差的等差数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 当为奇数，则， 可得 ， 所以. 17. 如图，在正四棱柱中，分别为的中点，点M在线段上，，且A，E，M，F四点共面． （1）求t的值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，将的坐标用两种方式写出来，列出方程组求解； （2）向量法求直线与平面所成角. 小问1详解】 平面平面， ，又， ∴以D为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 则， ． ． 因为A，E，M，F四点共面，则存在使， 故，解得． 【小问2详解】 设平面的一个法向量为， 则，取，得，故． 设直线与平面所成角为， 则， ∴直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知圆，定点是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点E． （1）求点E的轨迹方程； （2）过点，且与x轴不重合的直线l与E的轨迹交于A，B两点，求的内切圆面积的最大值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由垂直平分线得到，结合椭圆定义求出轨迹方程； （2）设出直线l的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，从而得到内切圆半径和面积最大值. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径为4． 因为D是圆上的一个动点，线段的垂直平分线交半径于E点， 则，于是得， 因此E点的轨迹是以为焦点的椭圆， 其中， 所以E点的轨迹方程为． 【小问2详解】 依题意可设直线l的方程为， 联立消去x并整理得， ， ． 又， 当且仅当时等号成立，． 设的内切圆半径为r，则， 则， 的内切圆面积的最大值为． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设，对任意，且，使恒成立，求正实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导函数的符号判断函数的单调性，注意分类讨论. （2）把转化为，设，只需根据在上单调递增，求出正实数的取值范围即可. 【小问1详解】 由题意：， 且. 由 若即，则，所以在上单调递减，在上单调递增； 若即，则或，所以在，上单调递增，在上单调递减； 若即，则在上恒成立，所以函数在上单调递增； 若即，则或，所以在，上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时，函数无单调递减区间，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，. 【小问2详解】 由得，（，且） 设， 由题意，在单调递增. 因为， 由时，恒成立，得. 又为正实数，所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把转化为，设，然后问题转化成在上单调递增. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁高二6月联考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､雅考证号､考场号，座位写填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则z的共轭复数在复平面中对应的点所在的象限为（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 直线被圆所截得的最短弦长等于（ ） A. B. C. 2 D. 1 4. 甲､乙等6位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排2位同学，每位同学只去一个社区，则甲､乙到不同社区的不同安排方案共有（ ） A. 6种 B. 18种 C. 36种 D. 72种 5. 在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和．现测得，，米，在点测得塔顶的仰角为60°，则塔高为（ ）米． A. B. C. D. 7. 若关于的方程存在三个不等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知A，B是椭圆与双曲线公共顶点，P是双曲线在第一象限上的一点，直线，交椭圆于点M，N．若直线过椭圆的右焦点F，则的面积为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 是的最大值 C. 把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象 D. 时，的最小值为，的最大值为1 10. 已知数列中，，则（　　） A. B. C. D 11. 如图，正方体中，E，F分别是棱，的中点，若正方体的棱长为2，则下列说法正确的有（    ） A. 点D到平面的距离为 B. 直线与平面垂直 C. 直线与平面所成的角的正弦值为 D. 平面与平面的夹角的余弦值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中项的系数为__________. 13. 已知数列满足：（m为正整数），，若，则m的所有可能取值之和为__________. 14. 已知函数()存在两个极值点，，且，则的取值范围为______；的取值范围为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15 根据《国家学生体质健康指标》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：） 立定跳远单项等级 高三男生 高三女生 优秀 260及以上 194及以上 良好 及格 不及格 204及以下 149及以下 从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）： 男生： 女生： 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立. （1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率； （2）从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设为这3人中立定跳远单项等级为优秀的人数，求的分布列和数学期望. 16. 已知正项数列前n项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 17. 如图，在正四棱柱中，分别为的中点，点M在线段上，，且A，E，M，F四点共面． （1）求t的值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知圆，定点是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点E． （1）求点E的轨迹方程； （2）过点，且与x轴不重合的直线l与E的轨迹交于A，B两点，求的内切圆面积的最大值． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设，对任意，且，使恒成立，求正实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$