1.2集合间的基本关系学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

必修第一册 夯实基础篇 02集合间的基本关系 第一章集合与常用逻辑用语 夯实基础篇---02集合间的基本关系 一、问题导学： 1. 元素与集合之间的关系是什么？特殊的集合有哪些？ 2. 集合中元素有哪些特性？ 3. 类比实数之间有大小、相等关系，集合与集合的关系有哪些，如何描述？ 二、知识构建 知识点一　子集与真子集 1.子集的概念：一般地，对于两个集合、，如果集合A中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集．记作 (或 )，读作“包含于”(或“包含”) 图示： 2.集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作 .也就是说， 若 且 ，则. 3.真子集的概念 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集，记作 (或 ) 图示： 知识点二　空集的概念 定义：我们把不含任何元素的集合,叫做空集，记法： 规定：空集是任何集合的子集,即 结论： 1.任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作 ； 2.传递性：对于集合，如果，，则 ． 3.有限集的子集个数确定：如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有 个． （2）A的非空子集的个数有 个． （3）A的真子集的个数有 个． （4）A的非空真子集的个数有 个． 三、类型剖析 题型一 子集、真子集的确定 【例1】写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 【跟踪训练1-1】写出集合的所有子集. 【跟踪训练1-2】集合的非空真子集有（   ）. A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 【跟踪训练1-3】已知集合，则集合A的所有非空子集的元素之和为 ． 题型二 集合关系的判断 【例2】判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由. （1），是8的约数}； （2）是长方形），是两条对角线相等的平行四边形}. 【跟踪训练2-1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2-2】用适当的符号填空： （1） ；          （2） ； （3）R ；         （4） ． 【跟踪训练2-3】判断下列两个集合之间的关系：（1），； （2），； （3）是4与10的公倍数}，. 【跟踪训练2-4】在平面直角坐标系中，集合表示直线，从这个角度看，集合表示什么？集合C，D之间有什么关系？ 题型三：根据集合相等求参数 【例3】若m，，且满足集合，则 ． 【跟踪训练3】集合，，且，则实数 ． 题型四：空集的概念及性质应用 【例4】下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练4】下列式子表示正确的是（  ） A． B． C． D． 题型五 利用集合的包含关系求参数 【例5】请解决下列问题： （1）设，若，求的值； （2）已知集合，若，求实数a的取值范围. 【跟踪训练5-1】已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练5-2】已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 四、随堂检测： 1.若集合，则集合的子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2.下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 3.集合的子集的个数是（    ） A．16 B．8 C．7 D．4 4. 已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C． D．2 5.已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（    ） A． B． C． D． 6. 设集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7.若某集合有32个子集，则该集合有 个元素． 8.已知集合，且，则 ． 9. 已知集合，，若，则 . 10. 设集合，求集合A的所有子集以及子集的的个数. 五、素养提升： 1.设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 2.若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（    ） A． B． C．或 D． 3.已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 4.已知集合. (1)当时，求集合； (2)若集合只有2个子集，求实数的值. 5.已知集合，，若BA，求实数m的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$必修第一册 夯实基础篇 02集合间的基本关系 第一章集合与常用逻辑用语 夯实基础篇---02集合间的基本关系 一、问题导学： 1. 元素与集合之间的关系是什么？特殊的集合有哪些？ 2. 集合中元素有哪些特性？ 3. 类比实数之间有大小、相等关系，集合与集合的关系有哪些，如何描述？ 二、知识构建 知识点一　子集与真子集 1.子集的概念：一般地，对于两个集合、，如果集合A中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集．记作⊆(或⊇)，读作“包含于”(或“包含”) 图示： 2.集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作.也就是说，若且，则. 3.真子集的概念 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集，记作(或) 图示： 知识点二　空集的概念 定义：我们把不含任何元素的集合,叫做空集，记法： 规定：空集是任何集合的子集,即 结论： 1.任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作； 2.传递性：对于集合，如果，，则． 3.有限集的子集个数确定：如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 三、类型剖析 题型一 子集、真子集的确定 【例1】写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 【答案】子集为，，，.真子集为，，. 【解析】根据子集与真子集的定义枚举判断即可. 【详解】集合的所有子集为,,,.真子集为,,. 【点睛】本题主要考查了子集与真子集的辨析,属于基础题型. 【跟踪训练1-1】写出集合的所有子集. 【答案】，，，，，，，. 【解析】根据子集的定义枚举列出即可. 【详解】集合的所有子集有： ,,,,,,,. 【点睛】本题主要考查了子集的定义与辨析,属于基础题型. 【跟踪训练1-2】集合的非空真子集有（   ）. A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 【答案】B 【解析】集合的非空真子集有，，，，，，，，，，，，，，共14个.故选：B 【跟踪训练1-3】已知集合，则集合A的所有非空子集的元素之和为 ． 【答案】36 【解析】集合A的非空子集分别是：，，，，，，．故所求和为为． 题型二 集合关系的判断 【例2】判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由. （1），是8的约数}； （2）是长方形），是两条对角线相等的平行四边形}. 【答案】（1）不是，理由见解析；（2）是，理由见解析. 【解析】(1)根据8的约数判断即可. (2)根据平行四边形的特殊性质判断即可. 【详解】（1）因为3不是8的约数,所以集合A不是集合B的子集. （2）因为若x是长方形,则x一定是两条对角线相等的平行四边形,所以集合A是集合B的子集. 【点睛】本题主要考查了子集的辨析与约数和特殊平行四边形的性质,属于基础题型. 【跟踪训练2-1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，故，故选：B 【跟踪训练2-2】用适当的符号填空： （1） ；          （2） ； （3）R ；         （4） ． 【答案】 = 【分析】根据集合子集的定义及集合相等的概念求解. 【详解】由集合的子集、集合的相等可知（1），（2）=，（3），（4） 故答案为：，=，， 【跟踪训练2-3】判断下列两个集合之间的关系：（1），； （2），； （3）是4与10的公倍数}，. 【答案】（1） ；（2）；（3）. 【解析】(1)根据数轴上的范围判断即可. (2)根据集合表示的数分析即可. (3)根据集合表示的数分析即可. 【详解】(1)根据数轴可知, 表示左边的数的集合, 表示左边的数的集合,故 . (2) 表示3的整数倍 , 表示6的整数倍.故. (3) 是4与10的公倍数}即 20的正整数倍, 也表示20的正整数倍.故 【点睛】本题主要考查了对集合的范围的理解,属于基础题型. 【跟踪训练2-4】在平面直角坐标系中，集合表示直线，从这个角度看，集合表示什么？集合C，D之间有什么关系？ 【答案】D C 【解析】集合表示两条直线的交点，解得交点得到集合关系. 【详解】集合表示直线与直线交点的集合， 即. D C 【点睛】本题考查了集合表示的意义，集合的包含关系，意在考查学生对于集合的理解和掌握. 题型三：根据集合相等求参数 【例3】若m，，且满足集合，则 ． 【答案】 【解析】， 故①或②， 由①解得，不满足，舍去， 由②解得，故. 【跟踪训练3】集合，，且，则实数 ． 【答案】 【解析】由题意得， 则，解得. 题型四：空集的概念及性质应用 【例4】下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A,集合中有一个元素，故不是空集， 对于B,方程无实数解，∴集合为空集， 对于C，是无限集，所以不是空集， 对于D, ，不是空集.故选：B． 【跟踪训练4】下列式子表示正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于选项A，由空集的定义可得：空集是任意非空集合的真子集，即，正确； 对于选项B，根据集合的关系知，错误； 对于选项C，根据集合的关系知，错误； 对于选项D，根据元素与集合的关系知，错误.故选：A. 题型五 利用集合的包含关系求参数 【例5】请解决下列问题： （1）设，若，求的值； （2）已知集合，若，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）直接根据集合相等得到答案. （2）根据集合的包含关系得到得到答案. 【详解】（1）由于，所以，且，. （2），且， 如图所示.    【点睛】本题考查了根据集合相等和集合的包含关系求参数，意在考查学生的理解能力. 【跟踪训练5-1】已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合，，又，则， 所以实数a的取值范围是.故选：B 【跟踪训练5-2】已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 所以中没有元素，即， 所以的取值范围为. （2）因为，， 由（1）知，当时，，此时满足； 当时，则； 所以的取值范围为. 四、随堂检测： 1.若集合，则集合的子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据子集的定义逐一列举求解. 【详解】因为集合，所以集合的子集有：，，，. 所以集合的子集共有4个. 故选：C. 2.下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】应用集合与集合的包含关系，元素与集合的属于关系，集合的确定性，无序性，空集的含义及空集与集合的关系即可判断. 【详解】易知，故①正确； ，故②错误； 著名的运动健儿，元素不确定，不能构成集合，故③错误； 表示有一个元素的集合，不是空集，④错误； 空集是任意非空集合的真子集，若为空集，⑤错误； ，故，故⑥正确. 故选：B 3.集合的子集的个数是（    ） A．16 B．8 C．7 D．4 【答案】D 【分析】首先判断出集合有2个元素，再求子集个数即可. 【详解】易知集合有2个元素， 所以集合的子集个数是. 故选：D. 4. 已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】D 【详解】由题意，，， 故选：D. 5.已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，即， 所以集合的元素集合也有，即.故选：B 6. 设集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合之间的关系可直接得到答案. 【详解】因为集合，， 若，则， 故选：A. 7.若某集合有32个子集，则该集合有 个元素． 【答案】5 【详解】一个集合有n个元素，则子集个数为， 某集合有32个子集，由，则该集合有5个元素. 故答案为：5 8.已知集合，且，则 ． 【答案】2 【解析】∵，且， ∴集合A里面的元素均可在集合B里面找到，∴a=2． 9. 已知集合，，若，则 . 【答案】 【详解】依题意可知，由于， 所以，此时， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 10. 设集合，求集合A的所有子集以及子集的的个数. 【答案】集合A的所有子集见解析，集合A的所有子集共有16个 【详解】我们根据集合的子集中含有的元素的个数分为以下五种情形： 情形一：不含任何元素的子集有； 情形二：含有一个元素的子集有； 情形三：含有两个元素的子集有； 情形四：含有三个元素的子集有； 情形五：含有四个元素的子集有； 因此集合A的所有子集共有个. 五、素养提升： 1.设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知：， 显然24的倍数均为12的倍数，但12的倍数不一定是24的倍数，例如12， 所以是的真子集，对比选项可知B正确，ACD错误. 故选：B. 2.若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】由题设集合有2个子集，则集合中仅含一个元素， 所以有且仅有一个解， 当，则，满足要求； 当，则，满足要求； 综上，满足条件的实数m组成的集合是. 故选：B 3.已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【答案】 【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 4.已知集合. (1)当时，求集合； (2)若集合只有2个子集，求实数的值. 【答案】(1) (2)0或 【详解】（1）当时，由解得， 所以. （2）因为集合只有个子集，所以集合中只有个元素， 当时，，显然满足； 当时，若中只有个元素，只需满足方程仅有个解， 所以，解得，解方程可得，此时，满足条件； 综上所述，的取值为0或 5.已知集合，，若BA，求实数m的取值范围. 【答案】 【详解】当时，由，得. 当时，如图所示.    则，得，即， 综上可得，实数m的取值范围是. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$