1.1集合的基本概念导学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

必修第一册 夯实基础篇 01集合的概念与表示 第一章集合与常用逻辑用语 夯实基础篇---01集合的概念及表示 一、问题导学： 1. 什么是集合，关于集合你知道什么？ 2. 元素与集合之间的关系是什么？ 3. 如何用数学符合语言描述一个集合？ 4. 特殊的集合有哪些？ 5. 集合与集合的关系有哪些，如何描述？ 6. 集合间的基本运算包括什么？ 二、知识构建 知识点一　元素与集合的概念 (1)元素：一般地，把 统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些 叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是 的，就称这两个集合是相等的． 知识点二　元素的特性 元素的特性 ， ， ． 知识点三 元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作 ． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作 ． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间. 知识点四 常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集（非负整数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 知识点五 集合的表示法 1．列举法 把集合的所有元素 出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为 ，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 三、类型剖析 题型一 集合的基本概念 【例1】下列给出的对象能构成集合的有（    ） 1 某校2024年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪训练1-1】下列对象中不能构成一个集合的是（    ） A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 【跟踪训练1-2】下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．参加杭州亚运会的全体电竞选手 B．小于的正整数 C．2024年高考数学难题 D．所有无理数 题型二 元素与集合的关系 【例2】下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 【跟踪训练2】下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三 集合的表示方法 【例3-1】用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)方程的实数根组成的集合B； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C. 【跟踪训练3-1】用列举法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)大于-1且小于7的所有整数组成的集合. 【例3-2】试用描述法表示下列集合. (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合； (3)二次函数图象上的所有点组成的集合. 【跟踪训练3-2】用描述法表示下列集合； (1)不等式的解集． (2)所有的偶数组成的集合． 题型四 集合中元素特性应用 【例4】已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【跟踪训练4】已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 四、随堂检测 1. 下列对象能构成集合的是（    ） A．本班成绩较好的同学全体 B．与10接近的实数全体 C．绝对值小于5的整数全体 D．本班兴趣广泛的学生 2. ．用符号“”或“”填空： 0 N； N；0.5 Z； Z； Q； R. 3.用“”或“”填空： （1）若，则1 A，-1 A； （2）若，则1 B，1.5 B； （3）若，则0.2 C，3 C． 4. 已知集合，则集合为 . 5.选择适当的方法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)不等式的所有正整数解组成的集合； (3)一次函数的图象与坐标轴的所有交点组成的集合． 6.把下列集合用另一种方法表示出来： （1）； （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； （3）； （4）中国古代四大发明 五、素养提升：求参数范围 【例5】已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1或0 B．0 C．1 D．1或2 【跟踪训练5】若，用列举法表示集合 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$必修第一册 夯实基础篇 01集合的概念与表示 第一章集合与常用逻辑用语 夯实基础篇---01集合的概念及表示 一、问题导学： 1. 什么是集合，关于集合你知道什么？ 2. 元素与集合之间的关系是什么？ 3. 如何用数学符合语言描述一个集合？ 4. 特殊的集合有哪些？ 5. 集合与集合的关系有哪些，如何描述？ 6. 集合间的基本运算包括什么？ 二、知识构建 知识点一　元素与集合的概念 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 知识点二　元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 知识点三 元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 知识点四 常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集（非负整数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 知识点五 集合的表示法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 三、类型剖析 题型一 集合的基本概念 【例1】下列给出的对象能构成集合的有（    ） 1 某校2024年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据集合的定义判断即可. 【详解】对于①：某校2024年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B 【跟踪训练1-1】下列对象中不能构成一个集合的是（    ） A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 【答案】A 【详解】A：比较出名的标准不清，故不能构成集合； B：，方程根确定，可构成集合； C：不小于3的自然数可表示为，可构成集合； D：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合. 故选：A 【跟踪训练1-2】下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．参加杭州亚运会的全体电竞选手 B．小于的正整数 C．2024年高考数学难题 D．所有无理数 【答案】C 【分析】根据集合的意义，逐项判断即可. 【详解】对于A，参加杭州亚运会的全体电竞选手是确定的，可以构成集合； 对于B，小于的正整数是确定的，可以构成集合； 对于C，2024年高考数学难题，难题的标准是不确定的，不能构成集合； 对于D，所有无理数都是确定的，能构成集合， 故选：C 【方法点拨】给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素． 题型二 元素与集合的关系 【例2】下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】 根据元素与集合的关系逐个判断即可. 【详解】 由元素与集合的关系，得：在①中，，故①正确； 在②中，，故②正确；在③中，不正确，故③错误；在④中，，故④错误； 在⑤中，，故⑤错误；在⑥中，，故⑥正确.所以正确的个数为3. 故选：D. 【跟踪训练2】下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系依次判断选项即得. 【详解】对于选项A，因不是正整数，故A项错误； 对于选项B，是无理数，故必是实数，故B项正确； 对于选项C，是分数，故不是整数，故C项错误； 对于选项D，是自然数，故D项错误. 故选：B. 题型三 集合的表示方法 【例3-1】用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)方程的实数根组成的集合B； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以. （2）因为方程的实数根为，所以. （3）联立，解得， 所以一次函数与的交点为，所以. 【跟踪训练3-1】用列举法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)大于-1且小于7的所有整数组成的集合. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解方程，解得，所以解集可以用列举法表示为. （2）大于-1且小于7的所有整数为，所以用列举法表示为. 【例3-2】试用描述法表示下列集合. (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合； (3)二次函数图象上的所有点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设方程的实数根为，并且满足条件， 用描述法表示为. （2）设大于10且小于20的整数为x，它满足条件，且， 故用描述法表示为. （3）二次函数图象上的所有的点用描述法表示为. 【跟踪训练3-2】用描述法表示下列集合； (1)不等式的解集． (2)所有的偶数组成的集合． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解不等式得， 所以，原不等式的解集用描述法表示为. （2）所有的偶数组成的集合为. 题型四 集合中元素特性应用 【例4】已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【答案】D 【分析】由集合与元素的关系分类讨论即可求解. 【详解】由题意若，解得或，若，解得， 当时，满足题意， 当时，违背了集合中元素间的互异性， 当时，满足题意， 综上所述，a的值可能为，8. 故选：D. 【跟踪训练4】已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求出值，然后代入检验即得. 【详解】因，，故有：或， 由解得：或，由解得：， 又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而时，符合题意. 故选：D. 四、随堂检测 1. 下列对象能构成集合的是（    ） A．本班成绩较好的同学全体 B．与10接近的实数全体 C．绝对值小于5的整数全体 D．本班兴趣广泛的学生 【答案】C 【详解】对于A，成绩较好不是一个确定的概念，不能构成集合，故A不符合； 对于B，与10接近的不是一个确定的概念，不能构成集合，故B不符合； 对于C，绝对值小于5的整数全体是个明确的概念，并且给定一个元素能确定是否属于这个整体，故能构成集合，故C符合； 对于D，兴趣广泛的不是一个确定的概念，不能构成集合，故D不符合. 故选：C. 2. ．用符号“”或“”填空： 0 N； N；0.5 Z； Z； Q； R. 【答案】 【解析】根据自然数，整数，有理数，实数的定义即可判断. 【详解】是自然数，则；不是自然数，则；不是整数，则； 是有理数，则；是无理数，则 故答案为：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6) 【点睛】本题主要考查了元素与集合间的关系，属于基础题. 3.用“”或“”填空： （1）若，则1 A，-1 A； （2）若，则1 B，1.5 B； （3）若，则0.2 C，3 C． 【答案】 【详解】因为，所以； 因为，所以； 因为，所以； 故答案为：，，，，，. 4. 已知集合，则集合为 . 【答案】 【详解】，且， 为15的因数， 或3或5或15，解得或12或10或0， 集合为. 故答案为：. 5.选择适当的方法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)不等式的所有正整数解组成的集合； (3)一次函数的图象与坐标轴的所有交点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次方程的根，由列举法即可求解， （2）根据一元一次不等式的解，即可由列举法求解， （3）求解函数与坐标轴的交点坐标，即可由列举法求解. 【详解】（1）由可得或， 所以方程的所有实数根组成的集合为 （2）由可得，由于为正整数，所以， 故不等式的所有正整数解组成的集合为， （3）令则，故的图象与轴的交点为， 令则，故的图象与轴的交点为， 因此一次函数的图象与坐标轴的所有交点组成的集合为 6.把下列集合用另一种方法表示出来： （1）； （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； （3）； （4）中国古代四大发明 【答案】（1）{且} （2） （3） （4）{造纸术，印刷术，指南针，火药} 【解析】（1）用描述法写出集合得到答案. （2）用列举法写出集合得到答案. （3）用列举法写出集合得到答案. （4）用列举法写出集合得到答案. 【详解】（1）{且}. （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数： . （3）. （4）中国古代四大发明：{造纸术，印刷术，指南针，火药} 【点睛】本题考查了集合的表示方法，意在考查学生对于集合表示方法的理解和掌握. 五、素养提升：求参数范围 【例5】已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1或0 B．0 C．1 D．1或2 【答案】A 【分析】讨论，当时，方程是一次方程，当时，二次方程只有一个解，，即可求. 【详解】若集合只有一个元素，则方程只有一个解， 当时，方程可化为，满足题意， 当时，方程只有一个解，则，解得， 所以或. 故选：. 【跟踪训练5】若，用列举法表示集合 . 【答案】 【详解】由题意可知，是方程的一个根，则， 代入方程，即，解得或， 所以， 故答案为： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$