精品解析：辽宁省部分学校2023-2024学年高一下学期联考数学试题

高一考试数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第三册至必修第四册11.1. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，求解即可. 【详解】因为，所以，则，解得. 故选：B. 2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算结合复数的几何意义求解. 【详解】因为，所以， 所以， 则在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 3. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图象的变换可得变换后的解析式. 【详解】根据题意可得，则. 故选：C. 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若是空间中的两条直线，且，则 B. 若直线在平面外，则 C. 若平面与平面满足，则 D. 正方形的直观图还是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，利用空间两直线的位置关系进行判定；对于B，利直线与平面的位置关系进行判定；对于C，利用平面与平面的位置关系进行判定；对于D，根据平面图形的斜二测画法进行判断. 【详解】对于A，若是空间中的两条直线，且，则或是异面直线，故A错误； 对于B，若直线在平面外，则或直线与平面相交，故B错误； 对于C，若平面与平面满足，则，故C正确； 对于D，正方形的直观图是平行四边形，故D错误. 故选：C. 5. 有一艘船以每小时25海里的速度向正东方向行驶，在处测得灯塔在该船的东北方向，该船行驶2小时后到达处，测得灯塔在该船的东偏北方向上，则（ ） A 海里 B. 海里 C. 50海里 D. 海里 【答案】A 【解析】 【分析】由题意画图，再利用正弦定理求解. 详解】由题可知, 海里，在中，由正弦定理可得， 则海里. 故选：A 6. 已知向量的夹角为，且，则的最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合数量积的运算律可得，进而可得最小值. 【详解】因为向量的夹角为，且，则， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. 7. 等腰梯形如图所示，，圆为梯形的内切圆，并与分别切于点，与分别切于点，则图中阴影部分以所在直线为轴旋转一周所形成的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知阴影部分旋转形成的几何体是以分别为上下底面直径的圆台再挖去圆台的内切球剩余的部分，分别计算出圆台和球的体积即可得出结果. 【详解】梯形以所在直线为轴旋转一周形成以分别为上下底面直径的圆台， 该圆台的上底面半径为1，下底面半径为4， 由圆与梯形相切可得，圆台的高， 则圆台的体积. 圆以所在直线为轴旋转一周形成球，得球的半径， 则球的体积为. 故图中阴影部分以所在直线为轴旋转一周所形成的几何体的体积为. 故选：C 8. 人们发现，可以通过公式来求方程（均为正实数）的正实数根.例如，方程的正实数根为，我们知道是的唯一正实数根，所以，这里规定.根据以上材料可得（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】在公式中令求解即可. 【详解】设， 令 解得则即方程的正实数根. 由， 可得. 因为方程的实数根为负数， 所以，即， 故. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知某圆锥的高为2，轴截面面积为4，则（ ） A. 该圆锥的母线长为 B. 该圆锥的体积为 C. 该圆锥的侧面积为 D. 与该圆锥同底等高的圆柱的体积为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，由轴截面的面积可得底面圆的半径，以及母线，然后结合圆锥的表面积公式以及体积公式代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】设该圆锥的底面半径为，则，解得， 则该圆锥的母线长为，A正确. 该圆锥的体积为，B错误. 该圆锥侧面积为，C错误. 与该圆锥同底等高的圆柱的体积为，D正确. 故选：AD 10. 已知是所在平面内一点，，则下列命题是真命题的是（ ） A. 外接圆半径为 B. 内切圆的半径为 C. 若为的垂心，则在上的投影向量为 D. 若为的外心，则在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，再利用正弦定理求解判断A；利用三角形面积公式计算判断B；利用投影向量的意义求解判断CD. 【详解】对于A，由余弦定理得， 则外接圆的半径，A正确； 对于B，的面积为，设内切圆的半径为， 则，解得，B错误； 对于C，，若为的垂心， 则在上的投影向量为，C正确； 对于D，若为的外心，则在上的投影向量为，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数在上有且仅有4个零点，则的值可能为（ ） A. 7 B. C. D. 6 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，令，得，由的取值范围，求出的范围，再结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为 . 令，得， 由且，得， 因为在上有且仅有4个零点，所以，解得， 故符合题意的有A、C. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知（为实数）为纯虚数，则的虚部为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，列出方程组，求得的值，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数为纯虚数，可得，解得， 所以，则复数的虚部为. 故答案为： 13. 已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，则______，在上的值域为______. 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得函数最小正周期，从而可得，然后结合正弦型函数的值域，代入计算，即可求解. 【详解】根据题意可得的最小正周期为，则，解得， 故.由，得. 当时，取得最小值，最小值为； 当时，取得最大值，最大值为. 故在上的值域为. 故答案为：4； 14. 在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则周长的平方的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】将侧面绕着旋转至与平面在同一平面上，当三点在一条直线即可求出答案. 【详解】如图①，设侧面的中心为，根据正方体的结构特征可得： ，则周长的最小值即的最小值. 将侧面绕着旋转至与平面在同一平面上， 将平面绕着旋转至与平面在同一平面上，如图②，则 ， 故周长的平方的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步䯅. 15. 在中，角的对边分别为.已知，且. （1）求； （2）若为边的中点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得，再由余弦定理可得； （2）根据，再由平面向量数量积定义可求得. 【小问1详解】 由正弦定理得，可设， 由余弦定理可得，即， 解得或（舍去）， 可得. 【小问2详解】 易知. 又因为， 所以， 可得. 16. 已知复数，且， （1）求的实部与虚部； （2）若是关于的方程，且的一个复数根，求的值. 【答案】（1）实部为3，虚部为4 （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的运算，求解出复数，求出复数的实部和虚部. （2）将复数代入到方程中，求解出从而求出结果. 【小问1详解】 依题意得， 则解得 故的实部为3，虚部为4. 【小问2详解】 由（1）知，由是关于的方程的一个复数根， 得， 整理得. 因为，所以 解得所以. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）求的单调递增区间； （3）若锐角满足，求的大小. 【答案】（1） （2）单调递增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的特点，结合正弦型函数中各参数的意义进行求解即可. （2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可. （3）由已知可得，利用两角和的余弦公式求解可得结论. 【小问1详解】 由图可得. 由，得，解得. 将点的坐标代入中，得， 结合图象，点为正弦函数图象的第三个关键点变换的对应点， 则，. 因为，所以，故. 【小问2详解】 令， 得，故的单调递增区间为. 小问3详解】 因为，所以. 因为均为锐角，所以. ， 因为，所以. 18. 如图，这是某种型号的奖杯，它是用一个正四棱台、一个正四棱柱和一个球焊接而成的球的半径为.正四棱柱的底面边长为，高为.正四棱台的上、下底面边长分别为和，斜高（即侧面梯形的高）为. （1）求这种型号的奖杯的表面积（用表示，焊接处对面积的影响忽略不计）； （2）已知，若为奖杯表面镀金所用的材料每可以涂，且该种型号的奖杯底面（图中正四棱台的下底面作为该种型号的奖杯的底面，一般底面采用其他村质）不需要镀金，则为100个这种型号的奖杯镀金约需要多少材料？（取3.14，精确到） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求得棱台、棱柱、球的表面积后相加即可得出该奖杯的表面积； （2）求出奖杯需要镀金的表面积，再根据镀金材料的每平方米的重量可求得为100个这种型号的奖杯镀金所需要的材料. 【小问1详解】 球的表面积为. 正四棱柱的表面积为. 正四棱台的表面积为. 故这种型号的奖杯的表面积为. 【小问2详解】 因为1个这种型号的奖杯需要镀金的面积为 ， 所以100个这种型号的奖杯需要镀金的面积为. 因为为奖杯表面镀金所用的材料每可以涂， 所以为100个这种型号的奖杯镀金约需要材料. 19. 如图，在直角中，分别为边上的一点，，设. （1）当时，求的长； （2）当时，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理和余弦定理得到，得到，故，由余弦定理求出； （2）设，故，由正弦定理得，，表达出的面积为，根据，求出的面积取值范围. 【小问1详解】 根据题意可得， 由勾股定理得， 由，得. . 在中，由余弦定理得， 则， 所以，则. 因为为的中点，所以. 在中，由余弦定理得. 【小问2详解】 由（1）得，当时，. 易得当时，，设，则当时，. 在中，根据正弦定理，得. 在中，，则， 根据正弦定理，得. 的面积为 . 因为，所以， 所以，所以， 所以， 故面积的取值范围为. 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一考试数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第三册至必修第四册11.1. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 已知复数，则在复平面内对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题是真命题是（ ） A. 若是空间中的两条直线，且，则 B. 若直线在平面外，则 C. 若平面与平面满足，则 D. 正方形直观图还是正方形 5. 有一艘船以每小时25海里的速度向正东方向行驶，在处测得灯塔在该船的东北方向，该船行驶2小时后到达处，测得灯塔在该船的东偏北方向上，则（ ） A. 海里 B. 海里 C. 50海里 D. 海里 6. 已知向量的夹角为，且，则的最小值是（ ） A B. 3 C. D. 7. 等腰梯形如图所示，，圆为梯形的内切圆，并与分别切于点，与分别切于点，则图中阴影部分以所在直线为轴旋转一周所形成的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 人们发现，可以通过公式来求方程（均为正实数）的正实数根.例如，方程的正实数根为，我们知道是的唯一正实数根，所以，这里规定.根据以上材料可得（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知某圆锥的高为2，轴截面面积为4，则（ ） A. 该圆锥的母线长为 B. 该圆锥的体积为 C. 该圆锥的侧面积为 D. 与该圆锥同底等高的圆柱的体积为 10. 已知是所在平面内一点，，则下列命题是真命题的是（ ） A. 外接圆的半径为 B. 内切圆的半径为 C. 若为的垂心，则在上的投影向量为 D. 若为的外心，则在上的投影向量为 11. 已知函数在上有且仅有4个零点，则的值可能为（ ） A. 7 B. C. D. 6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知（为实数）为纯虚数，则的虚部为______. 13. 已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，则______，在上的值域为______. 14. 在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则周长的平方的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步䯅. 15. 在中，角的对边分别为.已知，且. （1）求； （2）若为边的中点，求的长. 16. 已知复数，且， （1）求的实部与虚部； （2）若是关于的方程，且的一个复数根，求的值. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）求的单调递增区间； （3）若锐角满足，求的大小. 18. 如图，这是某种型号的奖杯，它是用一个正四棱台、一个正四棱柱和一个球焊接而成的球的半径为.正四棱柱的底面边长为，高为.正四棱台的上、下底面边长分别为和，斜高（即侧面梯形的高）为. （1）求这种型号的奖杯的表面积（用表示，焊接处对面积的影响忽略不计）； （2）已知，若为奖杯表面镀金所用的材料每可以涂，且该种型号的奖杯底面（图中正四棱台的下底面作为该种型号的奖杯的底面，一般底面采用其他村质）不需要镀金，则为100个这种型号的奖杯镀金约需要多少材料？（取3.14，精确到） 19. 如图，在直角中，分别为边上的一点，，设. （1）当时，求的长； （2）当时，求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$