15.1～15.2分式、分式的运算 学案 2023-2024学年人教版八年级数学上册

课 题 第15章分式 15.1-15.2分式、分式的运算 教学目标 1.了解分式的基本性质,体会类比的思想方法； 2.掌握分式的约分，了解最简分式的概念； 3.理解分式的乘除法法则，并利用法则进行运算 教学过程 【复习】 1．在等边三角形ABC中，边长为2，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥BC，则△ADE的周长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【解答】解： ∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°， ∵DE∥BC，∴∠ADE=∠AED=60°，∴△ADE为等边三角形， ∵CD平分∠ACB，∴D为AB中点，∴AD=AB=1，∴△ADE的周长=3AD=3，故选C． 2.下列等式恒成立的是（　　） A．（﹣x）4•（﹣x）3=x7 B．（4x2）2÷（2x）2=4x2 C．3x2+2x3=5x5 D．（xn+1）2=x2n+1 故选B． 3．己知（ax﹣3）（﹣x+b）=mx2+11x﹣12，则a=　　，b=　　，m=　　． 解：∵（ax﹣3）（﹣x+b）=mx2+11x﹣12， ∴﹣ax2+（ab+3）x﹣3b=mx2+11x﹣12， ∴解得， 故答案为：2，4，﹣2． 4.下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（　　） A．x（a﹣b）=ax﹣bx B．x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2 C．y2﹣1=（y+1）（y﹣1） D．ax+by+c=x（a+b）+c 解：选：C． 5.如果x﹣y=﹣2，x+y=3，则x2﹣y2的值是　 　． 解：∵x﹣y=﹣2，x+y=3，∴原式=（x+y）（x﹣y）=﹣2×3=﹣6，故答案为：﹣6 【学生定位】 问题1分式的概念 1.下列关于分式的判断，正确的是（　　） A．当x=2时，的值为零 B．无论x为何值，的值总为正数 C．无论x为何值，不可能得整数值 D．当x≠3时，有意义 【考点】63：分式的值为零的条件；61：分式的定义；62：分式有意义的条件． 【解答】解：A、当x=2时，分母x﹣2=0，分式无意义，故A错误； B、分母中x2+1≥1，因而第二个式子一定成立，故B正确； C、当x+1=1或﹣1时，的值是整数，故C错误； D、当x=0时，分母x=0，分式无意义，故D错误．故选B． 问题2分式的基本性质 1.化简得　　；当m=﹣1时，原式的值为　1　． 【考点】66：约分；64：分式的值． 【解答】解：==， 当m=﹣1时，原式==1，故答案为：，1． 2.下列分式是最简分式的（　　） A． B． C． D． 【考点】68：最简分式；65：分式的基本性质；66：约分． 【解答】解：A、=，故本选项错误；B、=，故本选项错误； C、，不能约分，故本选项正确；D、==，故本选项错误；故选C． 问题3分式的运算 1.下列计算中，正确的是（　　） A．= B．+= C．=a+b D．=0 【考点】6C：分式的混合运算． 【解答】解：A、==﹣，故A选项错误； B、+=+=，故B选项错误； C、==a+b，故C选项正确； D、=1，故D选项错误，故选：C 2.先化简：后，再选择一个你喜欢的x值代入求值． 【考点】6D：分式的化简求值． 【解答】解：原式= = = =； 当x=3时，原式=． 注：本题答案不唯一，只要x的取值不为0、2、4，计算正确均可得分． 【问题考点】 问题1分式的概念 对应知识点：分式的概念 问题2 分式的基本性质 对应知识点：1.分式的基本性质2.最简分式3．约分4．通分 问题3 分式的运算 对应知识点：1．基本运算法则2．零指数3.负整数指数4.分式的混合运算顺序 【精准突破】 【精准突破1】分式的概念 要点一、分式的有关概念及性质 1．分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 【要点解读】 分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义. 【例题精讲】 【例题1-1】分式的值为0，则x的值为（　　） A．x=﹣1 B．x=0 C．x=1 D．x≠0 【考点】63：分式的值为零的条件． 【解答】解：根据题意得：，解得：x=1，故选C． 【例题1-2】当x=﹣2时，分式的值是（　　） A．0 B．无意义 C．1 D． 【考点】64：分式的值． 【解答】解：把x=﹣2代入分式中，得：=．故选A． 【精准突破2】分式的基本性质 1.分式的基本性质 　（M为不等于0的整式） 2.最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 3．约分 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 4．通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　 【例题精讲】 【例题2-1】如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A．扩大3倍 B．扩大9倍 C．缩小3倍 D．不变 【考点】65：分式的基本性质． 【解答】解：==． 故选：D． 【例题2-2】已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】65：分式的基本性质． 【解答】解；由得：3a=2b，让等式两边都加上3b，可得：3（a+b）=5b， 因此=，故选C． 【精准突破3】分式运算 1．基本运算法则 　 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 ，其中是整式，. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 ，其中是整式，. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 2．零指数 　　. 3.负整数指数 　　 4.分式的混合运算顺序 　先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 【例题精讲】 【例题3-1】已知，其中A，B为常数，则4A﹣B的值为（　　） A．7 B．9 C．13 D．5 【考点】6B：分式的加减法；98：解二元一次方程组． 【解答】解：由=， 可得，解之得，则4A﹣B=4×﹣==13．故选C． 【例题3-2】若x2﹣x﹣2=0，则的值等于（　　） A． B． C． D．或 【考点】6D：分式的化简求值． 【解答】解：∵x2﹣x﹣2=0，∴x2﹣x=2， ∴==．选A． 【例题3-3】化简求值：（a﹣2）•=　a+2　，当a=﹣2时，该代数式的值为　0　． 【考点】6A：分式的乘除法；33：代数式求值；54：因式分解﹣运用公式法；66：约分． 【解答】解：原式=（a﹣2）•=a+2， 当a=﹣2时，原式=﹣2+2=0，故答案为：a+2，0． 【巩固练习】 【巩固一】分式的概念 1.在，，，，中，分式的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点】61：分式的定义． 【解答】解：，的分母中含有未知数，是分式； ，，的分母中不含有未知数，是整式．故选A． 2.若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1 D．x≠0 【考点】62：分式有意义的条件． 【解答】解：根据题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1．故选C． 3.已知分式的值是零，那么x的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 【考点】63：分式的值为零的条件． 【解答】解：若=0，则x﹣1=0且x+1≠0，故x=1，故选C． 【巩固二】分式的基本性质 1.下列各式的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】65：分式的基本性质． 【解答】解：A、分子没乘以a，分母乘以a，故A错误； B、分子分母加1，故B错误； C、分子分母都乘以﹣1，故C正确； D、分子乘以10，分母乘以2，故D错误；故选：C． 2.计算，结果是（　　） A．x﹣2 B．x+2 C． D． 【考点】66：约分；53：因式分解﹣提公因式法． 【解答】解：==x+2， 故选：B． 3.分式，，的最简公分母为（　　） A．6xy2 B．6x2y C．36x2y2 D．6x2y2 【考点】69：最简公分母． 【解答】解：，，分母分别是2xy、3x2、6xy2，故最简公分母是6x2y2；故选：D． 　【巩固三】分式运算 1．下列变形中，正确的是（　　） A．﹣= B．+= C．= D．= 【考点】6B：分式的加减法；65：分式的基本性质． 【解答】解：A、﹣=，符合题意；B、原式=，不符合题意； C、原式不能约分，不符合题意；D、原式=，不能约分，不符合题意，故选A 2.下列运算正确的是（　　） A． B．（﹣6x6）÷（﹣2x2）=3x3 C．x3•x4=x7 D．（x﹣2）2=x2﹣4 【考点】6F：负整数指数幂；46：同底数幂的乘法． 【解答】解：A、错误，应等于； B、错误，应等于3x4；C、正确；D、错误，应等于x2﹣4x+4．故选C． 3.已知，则的值为　1　． 【考点】6D：分式的化简求值． 【解答】解：∵﹣=3，∴=3，即x﹣y=﹣3xy， ∴原式====1．故答案为：1． 【查缺补漏】 1.当a=﹣1时，分式（　　） A．等于0 B．等于1 C．等于﹣1 D．无意义 【考点】64：分式的值． 【解答】解：根据题意得：a2﹣1≠0，即a≠1且a≠﹣1，则a=﹣1时，分式无意义． 故选D 2.分式：①，②，③，④中，最简分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】68：最简分式． 【解答】解：①④中分子分母没有公因式，是最简分式； ②中有公因式（a﹣b）；③中有公约数4；故①和④是最简分式．故选B． 3.化简：•﹣=　　． 【考点】6C：分式的混合运算． 【解答】解：•﹣ = = = 故答案为：． 4.计算|﹣1|+（）0的结果是（　　） A．1 B． C．2﹣ D．2﹣1 【考点】6E：零指数幂． 【解答】解：|﹣1|+（）0=﹣1+1=．故选B． 5.计算： （1） （2）． 【考点】6C：分式的混合运算． 【解答】解：（1）原式=﹣===﹣； （2） 原式=+•=+==． 【举一反三】 1．已知=3，则的值为（　　） A． B． C． D．﹣ 【考点】65：分式的基本性质． 【解答】解：根据分式的基本性质，分子分母都除以xy得， ==．故选B． 2.已知是恒等式，则实数P、Q的值分别为（　　） A．P=2，Q=﹣2 B．P=﹣2，Q=2 C．P=Q=2 D．P=Q=﹣2 【考点】6B：分式的加减法． 【解答】解：∵===， ∴（P+Q）x+（Q﹣P）=4， ∴，解得：．故选B． 3.已知a≠0，b≠0，且=4，那么=　　． 【考点】6D：分式的化简求值． 【解答】解：∵=4，∴a+b=4ab， ∴===．故答案为﹣． 【效果检验】 1．若分式的值为整数，则整数x的值为（　　） A．﹣1 B．±1 C．﹣3 D．﹣1或﹣3 【考点】64：分式的值． 【解答】解：的值为整数，x+2=1或x+2=﹣1，x=﹣1或x=﹣3，故选：D． 2．①约分：；②通分：与的最简公分母是　18a2b2c　． 【考点】67：通分；66：约分． 【解答】解：①原式==﹣；②与的最简公分母为：18a2b2c． 故答案为：18a2b2c． 3.下列四个有关分式的运算中，其中结果正确的有（　　） ①；②=a3；③；④=． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【考点】6C：分式的混合运算． 【解答】解：①+=；故①错误；②=a3；故②正确； ③==a﹣b；故③错误；④==．故④错误． 所以正确的为②共1个．故选：B． 4.化简：=　　． 【考点】6C：分式的混合运算． 【解答】解：=1﹣=1﹣==． 【课后作业】 1.分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x=2 D．x=﹣2 【考点】62：分式有意义的条件． 【解答】解：根据题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2．故选A． 2.当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【考点】62：分式有意义的条件． 【解答】解：A、当x=时，x2﹣2=0，分式无意义，故A错误； B、无论x为何值，x2+1≠0，故B正确； C、当x=0时，|x|=0，分式无意义，故C错误； D、当x=﹣2时x+2=0，分式无意义，故D错误．故选B． 3.当 　x＜6　时，分式的值为正． 【考点】64：分式的值． 【解答】解：∵若使分式的值为正，应满足6﹣x＞0，即x＜6．故应填：x＜6．　 4.下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【考点】68：最简分式． 【解答】解：A、该分式的分子、分母中含有公因式a，则它不是最简分式．故本选项错误； B、该分式的分子、分母中含有公因数3，则它不是最简分式．故本选项错误； C、分子为（x+1）（x﹣），所以该分式的分子、分母中含有公因式（x+1），则它不是最简分式．故本选项错误； D、该分式符合最简分式的定义．故本选项正确．故选：D． 5.化简的结果为（　　） A． B． C． D．﹣b 【考点】66：约分．【解答】解：=．故选：B． 6.计算的结果是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．x 【考点】6B：分式的加减法．【解答】解：原式==﹣=﹣1．故选C 7.化简：，并从﹣1，0，1，2中选择一个合适的数求代数式的值． 【考点】6D：分式的化简求值． 【解答】解：原式=•=•=，当x=2时，原式=． 8.先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=． 【考点】6D：分式的化简求值． 【解答】解：原式=÷=•（x+1）（x﹣1）=x2+1， 当x=时，原式=（）2+1=3． 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课 题 第15章分式 15.1-15.2分式、分式的运算 教学目标 1.了解分式的基本性质,体会类比的思想方法； 2.掌握分式的约分，了解最简分式的概念； 3.理解分式的乘除法法则，并利用法则进行运算 教学过程 【复习】 1．在等边三角形ABC中，边长为2，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥BC，则△ADE的周长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．4 2．下列等式恒成立的是（　　） A．（﹣x）4•（﹣x）3=x7 B．（4x2）2÷（2x）2=4x2 C．3x2+2x3=5x5 D．（xn+1）2=x2n+1 3．己知（ax﹣3）（﹣x+b）=mx2+11x﹣12，则a=　　，b=　　，m=　　． 4.下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（　　） A．x（a﹣b）=ax﹣bx B．x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2 C．y2﹣1=（y+1）（y﹣1） D．ax+by+c=x（a+b）+c 5.如果x﹣y=﹣2，x+y=3，则x2﹣y2的值是　 　． 【学生定位】 问题1分式的概念 1.下列关于分式的判断，正确的是（　　） A．当x=2时，的值为零 B．无论x为何值，的值总为正数 C．无论x为何值，不可能得整数值 D．当x≠3时，有意义 问题2分式的基本性质 1.化简得　　；当m=﹣1时，原式的值为　 　． 2.下列分式是最简分式的（　　） A． B． C． D． 问题3分式的运算 1.下列计算中，正确的是（　　） A．= B．+= C．=a+b D．=0 2.先化简：后，再选择一个你喜欢的x值代入求值． 【精准突破】 【精准突破1】分式的概念 要点一、分式的有关概念及性质 1．分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 【要点解读】 分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义. 【例题精讲】 【例题1-1】分式的值为0，则x的值为（　　） A．x=﹣1 B．x=0 C．x=1 D．x≠0 【例题1-2】当x=﹣2时，分式的值是（　　） A．0 B．无意义 C．1 D． 【精准突破2】分式的基本性质 1.分式的基本性质 　（M为不等于0的整式） 2.最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 3．约分 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 4．通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　 【例题精讲】 【例题2-1】如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A．扩大3倍 B．扩大9倍 C．缩小3倍 D．不变 【例题2-2】已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【精准突破3】分式运算 1．基本运算法则 　 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 ，其中是整式，. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 ，其中是整式，. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 2．零指数 　　. 3.负整数指数 　　 4.分式的混合运算顺序 　先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 【例题精讲】 【例题3-1】已知，其中A，B为常数，则4A﹣B的值为（　　） A．7 B．9 C．13 D．5 【例题3-2】若x2﹣x﹣2=0，则的值等于（　　） A． B． C． D．或 【例题3-3】化简求值：（a﹣2）•=　 　，当a=﹣2时，该代数式的值为　　． 【巩固练习】 【巩固一】分式的概念 1.在，，，，中，分式的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2.若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1 D．x≠0 3.已知分式的值是零，那么x的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 【巩固二】分式的基本性质 1.下列各式的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 2.计算，结果是（　　） A．x﹣2 B．x+2 C． D． 3.分式，，的最简公分母为（　　） A．6xy2 B．6x2y C．36x2y2 D．6x2y2 【巩固三】分式运算 1．下列变形中，正确的是（　　） A．﹣= B．+= C．= D．= 2.下列运算正确的是（　　） A． B．（﹣6x6）÷（﹣2x2）=3x3 C．x3•x4=x7 D．（x﹣2）2=x2﹣4 3.已知，则的值为　 　． 【查缺补漏】 1.当a=﹣1时，分式（　　） A．等于0 B．等于1 C．等于﹣1 D．无意义 2.分式：①，②，③，④中，最简分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.化简：•﹣=　 　． 4.计算|﹣1|+（）0的结果是（　　） A．1 B． C．2﹣ D．2﹣1 5.计算： （1） （2）． 【举一反三】 1．已知=3，则的值为（　　） A． B． C． D．﹣ 2.已知是恒等式，则实数P、Q的值分别为（　　） A．P=2，Q=﹣2 B．P=﹣2，Q=2 C．P=Q=2 D．P=Q=﹣2 3.已知a≠0，b≠0，且=4，那么=　 ． 【效果检验】 1．若分式的值为整数，则整数x的值为（　　） A．﹣1 B．±1 C．﹣3 D．﹣1或﹣3 2．①约分：； ②通分：与的最简公分母是　 　． 3.下列四个有关分式的运算中，其中结果正确的有（　　） ①；②=a3；③；④=． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4.化简：=　　． 【课后作业】 1.分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x=2 D．x=﹣2 2.当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 3.当 　 　时，分式的值为正． 4.下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 5.化简的结果为（　　） A． B． C． D．﹣b 6.计算的结果是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．x 7.化简：，并从﹣1，0，1，2中选择一个合适的数求代数式的值． 8.先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=． 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$