3.1 导数的运算及几何意义（讲义）-2025年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

3.1 导数的运算及几何意义 考点一 导数的运算 【例1-1】（20224北京）求下列函数的导数： (1) ；(2)；(3)；(4) ； (5)；(6) ；(7) ；(8)． 【例1-2】（2024甘肃酒泉）求下列函数的导数： (1)；(2)；(3)；(4) 【一隅三反】 1． （2024天津）求下列函数的导数 (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 2．（2024山东菏泽·阶段练习）求下列函数的导数： (1)；(2)；(3)；(4)． (5)(6)(7)(8) 考点二 求导数值 【例2】（2024广东中山）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023·江西·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海黄浦）已知函数，则 ． 3．（2023春·江苏）如图，函数的图象在点处的切线是，则（    ） A． B． C．2 D．1 考点三 导数的几何意义 【例3-1】（2024广东江门）已知直线l：，且与曲线切于点，则的值为（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【例3-2】（2023·河北唐山·模拟预测）已知曲线在处的切线为，则的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【例3-3】（2024·山东潍坊·三模）若为函数图象上的一个动点，以为切点作曲线的切线，则切线倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024·福建厦门·一模）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·新疆阿克苏）若直线与曲线相切，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·福建福州）已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024春·河南）点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 5．（2024福建莆田）设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·河北）已知函数的导函数为，且满足关系式.则的图像上任意一点处的切线的斜率的取值范围为 . 考点四 在型切线方程 【例4-1】（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024·河南开封·二模）已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南·二模）（多选）下列函数的图象与直线相切的有（    ） A． B． C． D． 考点五 过型切线方程 【例5】（2024·贵州·模拟预测）过点作曲线的切线，请写出切线的方程 . 【一隅三反】 1．（2024·云南·模拟预测）曲线过坐标原点的切线方程为 . 2．（2024·江苏南通·二模）过点作曲线的切线，则切线的方程为 . 3．（2023吉林）已知函数，则曲线过点的切线方程为______． 考点六 公切线 【例6】（2024·全国·模拟预测）曲线与的公切线方程为 . 【一隅三反】 1.（2023安徽）已知直线l与曲线、都相切，则直线l的方程为______． 2．（2024·四川·模拟预测）写出与函数在处有公共切线的一个函数 ． 3．（2024·全国·模拟预测）试写出曲线与曲线的一条公切线方程 . 考点七 已知切线求参 【例7-1】（2024山东泰安）若函数的图像在点处的切线恰为直线，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【例7-2】（2024·全国·模拟预测）若直线与函数的图象相切，则的最小值为（    ） A．e B． C． D． 【例7-3】（2023春·河南周口 ）已知曲线在处的切线过点，则实数（    ） A． B． C．1 D．3 【例7-4】（2024·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【一隅三反】 1．（2024·陕西西安·二模）已知直线与曲线相切于点，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024河南郑州·期中）若曲线在处的切线与直线垂直，则实数（    ） A．1 B． C． D．2 3.（2023广东湛江）过点可以作曲线的两条切线，切点的横坐标分别为m，n，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．3 4．（2024·四川绵阳）若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线，则实数（    ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西宝鸡）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 . 考点八 切线的条数 【例8-1】（2024安徽合肥）已知函数，过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例8-2】（2024·云南）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例8-3】（2023·全国·模拟预测）若过点可作函数图象的两条切线，则必有（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1（2023福建）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数最多为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024湖北·一模）已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·湖南·二模）若经过点可以且仅可以作曲线的一条切线，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．或 考点九 切线的应用 【例9-1】（2024·江苏泰州·模拟预测）曲线上的点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例9-2】（2024·全国·模拟预测）若直线与曲线（且）无公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024江西吉安·期末）若动点在曲线上，则动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西汉中·二模）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）动直线分别与直线，曲线相交于两点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 1． 单选题 1.（2024·内蒙古）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南·模拟预测）函数与直线相切于点，则点的横坐标为（    ） A． B．1 C．2 D． 3．（2024陕西咸阳·阶段练习）已知函数，过原点作曲线的切线，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4.（2023·湖北·统考模拟预测）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 5.（2024·福建福州）已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·河南信阳·模拟预测）若直线与曲线相切，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2024北京）若过点与曲线相切的直线只有2条，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024浙江湖州·期末）已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2． 多选题 9．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．若，则有2个零点 B．若，则有3个零点 C．存在负数，使得只有1个零点 D．存在负数，使得有3个零点 10．（2024安徽合肥）已知函数（e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（    ） A．曲线的切线斜率可以是 B．曲线的切线斜率可以是3 C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条 D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条 11．（2024·广东）已知函数，则过点恰能作曲线的两条切线的充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 3． 填空题 12．（2024·四川遂宁·二模）已知，则曲线在点处的切线方程为 ． 13．（2023·河南·模拟预测）已知直线是曲线与的公切线，则 . 14．（2024·四川宜宾·二模）已知为抛物线的焦点，过直线上的动点作抛物线的切线，切点分别是，则直线过定点 . 4． 解答题 15．（2024江苏常州）已知函数. (1)求曲线过点处的切线； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 16．（2024四川成都）已知函数．若曲线在点处的切线为 (1)分别求的导数，并求切线为的方程； (2)若点在曲线上，在点处的切线与直线平行，求切线的方程． 17．（2024湖南长沙）已知函数在区间上的最小值为－2． (1)求a； (2)（ⅰ）若过点存在2条直线与曲线相切，求m的值； （ⅱ）问过点，，分别存在几条直线与曲线相切?（只需写出结论） 18．（2024云南·阶段练习）牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.比如，我们可以先猜想某个方程的其中一个根r在的附近，如图6所示，然后在点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到；一直继续下去，得到，，，…，.从图形上我们可以看到较接近r，较接近r，等等.显然，它们会越来越逼近r.于是，求r近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为r的近似解. 已知函数，. (1)试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解（取，且结果保留小数点后第二位）； (2)若对任意都成立，求整数a的最大值.（计算参考数值：，，，，） 19．（2024山东）过曲线：上的点作曲线的切线与曲线交于，过点作曲线的切线与曲线交于点，依此类推，可得到点列：，已知． (1)求点，的坐标； (2)求数列的通项公式； (3)记点到直线（即直线）的距离为，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1 导数的运算及几何意义 考点一 导数的运算 【例1-1】（20224北京）求下列函数的导数： (1) ；(2)；(3)；(4) ； (5)；(6) ；(7) ；(8)． 【答案】(1)(2)(3)(4) (5)(6)(7)(8) 【解析】（1）． （2） ． （3） ． （4）． （5） ． （6）． （7）． （8）方法一： ； 方法二：， ． 【例1-2】（2024甘肃酒泉）求下列函数的导数： (1)；(2)；(3)；(4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】（1）. （2）. （3）. （4）. 【一隅三反】 1． （2024天津）求下列函数的导数 (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) 【解析】（1）. （2）. （3）； （4）； （5）令，令，则； （6）. 2．（2024山东菏泽·阶段练习）求下列函数的导数： (1)；(2)；(3)；(4)． (5)(6)(7)(8) 【答案】(1)(2)；(3)；(4)． (5)；(6)；(7)；(8). 【解析】（1）． （2）． （3）． （4） （5）. （6），则. （7），则. （8）. 考点二 求导数值 【例2】（2024广东中山）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于函数，则其导函数为：， 代入，可得：，解得：，故选：A. 【一隅三反】 1．（2023·江西·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得, 将代入可得，， 故，因此. 故选：C. 2．（2024·上海黄浦）已知函数，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 则，解得：， 所以，则. 故答案为：. 3．（2023春·江苏）如图，函数的图象在点处的切线是，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【解析】由题可得函数的图象在点处的切线与轴交于点，与轴交于点， 则切线，，，.故选：D． 考点三 导数的几何意义 【例3-1】（2024广东江门）已知直线l：，且与曲线切于点，则的值为（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】C 【解析】由直线与曲线切于点，知.由导数的定义知，. 故选：C 【例3-2】（2023·河北唐山·模拟预测）已知曲线在处的切线为，则的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】对求导得，，由题意曲线在处的切线的斜率为. 故选：A. 【例3-3】（2024·山东潍坊·三模）若为函数图象上的一个动点，以为切点作曲线的切线，则切线倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点坐标为，由，，得， 则以为切点的切线斜率为，令切线倾斜角为，，则， 则.故选：D. 【一隅三反】 1．（2024·福建厦门·一模）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，则，即直线的斜率为，根据倾斜角与斜率关系及其范围知：的倾斜角为. 故选：C 2．（2024·新疆阿克苏）若直线与曲线相切，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，由导数的几何意义可知，.故选：A 3．（2024·福建福州）已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以所以，解得， 所以由题意可知，， 所以. 故选：B. 4．（2024春·河南）点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 【答案】[0， 【解析】因为，所以，因为，所以，又，所以，故选：D. 5．（2024福建莆田）设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 又曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为， 所以其斜率， 所以，解得， 所以点P横坐标的取值范围为， 故选：D. 6．（2024·河北）已知函数的导函数为，且满足关系式.则的图像上任意一点处的切线的斜率的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为， 所以的图像上任意一点处的切线的斜率的取值范围为. 故答案为：. 考点四 在型切线方程 【例4-1】（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设曲线在点处的切线方程为， 因为，所以，所以所以 所以曲线在点处的切线方程为.故选：C 【例4-2】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为.故选：A 【一隅三反】 1．（2024·河南开封·二模）已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. 故选：D 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，， ∴曲线在处的切线的斜率为， ∴曲线在处的切线方程为，且. 故选：C． 3．（2024·湖南·二模）（多选）下列函数的图象与直线相切的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】选项A中，若与相切，设切点为， 易知，则，解得，即切点为，切线为，A正确； 选项B中，若与相切，设切点为， 易知，则，解得，切点为，切线方程为，即B错误； 选项C中，若与相切，设切点为， 易知，则，解得， 当时，切点为，切线方程为，C正确； 选项D中，易知与有三个交点，， 又，显然在三个交点处的斜率均不是1，所以不是切线，D错误. 故选：AC 考点五 过型切线方程 【例5】（2024·贵州·模拟预测）过点作曲线的切线，请写出切线的方程 . 【答案】或 【解析】设切点为，而， 所以切线的斜率，故切线方程为， 因为切线过点，， 化简可得或，则切点为或， 则代入得切线方程为：或， 故答案为：或. 【一隅三反】 1．（2024·云南·模拟预测）曲线过坐标原点的切线方程为 . 【答案】 【解析】设切点为，则， ，切线的斜率为， 所以切线方程为， 又切线过原点，所以，即， 解得，所以切线方程为. 故答案为： 2．（2024·江苏南通·二模）过点作曲线的切线，则切线的方程为 . 【答案】或 【解析】，则． 设切点坐标为，则切线斜率为， 切线方程为， 代入点，得，即，解得或． 当时，切线方程为；当时，切线方程为． 故答案为：或 3．（2023吉林）已知函数，则曲线过点的切线方程为______． 【答案】或 【解析】设切点为，，则切线斜率为， 故曲线在处的切线方程为， 将点的坐标代入切线方程可得，解或， 故所求切线方程为或，即或. 故答案为：或. 考点六 公切线 【例6】（2024·全国·模拟预测）曲线与的公切线方程为 . 【答案】 【解析】设曲线上的切点为，曲线上的切点为. 因为， 则公切线的斜率，所以. 因为公切线的方程为，即， 将代入公切线方程得， 由，得. 令，则， 当时，；当时，0， 故函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以， 故公切线方程为，即. 故答案为：. 【一隅三反】 1.（2023安徽）已知直线l与曲线、都相切，则直线l的方程为______． 【答案】或 【解析】由得，设切点为，所以切线的斜率为， 则直线l的方程为：； 由得，设切点为，所以切线的斜率为， 则直线l的方程为：． 所以，， 消去得， 故或，所以直线l的方程为：或．故答案为：或 2．（2024·四川·模拟预测）写出与函数在处有公共切线的一个函数 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】因为，所以， 则，，依题意只需满足，即可， 不妨令，则，则，又，符合题意． 故答案为：（答案不唯一） 3．（2024·全国·模拟预测）试写出曲线与曲线的一条公切线方程 . 【答案】或（写出一个即可） 【解析】设公切线与曲线切于点， 与曲线切于点. 由，得.由，得. 令，即，则， 且， 即， 化为， 所以，解得或. 当时，，， 此时切线的方程为，即. 当时，，， 此时切线的方程为，即. 综上可知，切线的方程为或，写出任意一个即可. 故答案为：或，写出任意一个即可 考点七 已知切线求参 【例7-1】（2024山东泰安）若函数的图像在点处的切线恰为直线，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【解析】函数的导数为， 由题意可得，图像在点处的切线恰为直线， 所以，，解得，， 即．故选：D． 【例7-2】（2024·全国·模拟预测）若直线与函数的图象相切，则的最小值为（    ） A．e B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得，设切点为，则切线方程为，即 依题意，，故． 设， 则，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故的极小值为，也是最小值，即的最小值为． 故选：C. 【例7-3】（2023春·河南周口 ）已知曲线在处的切线过点，则实数（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【解析】因为，所以， 曲线在处的切线的斜率为， 又因为，曲线在处的切线过点， 故，则． 故选：B． 【例7-4】（2024·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】设直线与曲线的切点为且， 与曲线的切点为且， 又，， 则直线与曲线的切线方程为，即， 直线与曲线的切线方程为，即， 则，解得，故， 故选：A. 【一隅三反】 1．（2024·陕西西安·二模）已知直线与曲线相切于点，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】∵点在曲线上，，解得， 由题意得，，∴在点处的切线斜率， 把代入，得，故选：D． 2．（2024河南郑州·期中）若曲线在处的切线与直线垂直，则实数（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】因为，所以，则， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又直线的斜率， 由切线与直线垂直可知，即，解得． 故选：B． 3.（2023广东湛江）过点可以作曲线的两条切线，切点的横坐标分别为m，n，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【解析】，设切点为坐标，则， 即，则，由题意知有两解，分别为m，n， 故，故选：D. 4．（2024·四川绵阳）若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设函数与函数的图象公共点坐标为， 求导得，依题意，，于是， 令函数，显然函数在上单调递增，且， 则当时，，因此在中，，此时，经检验符合题意， 所以. 故选：B 5．（2024·陕西宝鸡）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 . 【答案】/ 【解析】因为的导数为，则， 所以曲线在处的切线方程为，即， 又切线与曲线相切，设切点为， 因为，所以切线斜率为，解得， 所以，则，解得. 故答案为；. 考点八 切线的条数 【例8-1】（2024安徽合肥）已知函数，过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】解法一  由，得．设切点坐标为， 则切线方程为， 把代入可得，即， 因为，所以该方程有2个不同的实数解，故切线有2条． 解法二  由，得，令，得． 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，且，则点在曲线的下方， 数形结合可知，过点可作曲线的2条切线． 故选：B 【例8-2】（2024·云南）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设切点为，由已知得，则切线斜率， 切线方程为． ∵直线过点，∴， 化简得．∵切线有2条， ∴，则的取值范围是， 故选：D 【例8-3】（2023·全国·模拟预测）若过点可作函数图象的两条切线，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设切点为，， 又，所以切线斜率， 所以切线方程为， 又切线过点， 则，， 即， 由过点可作两条切线， 所以有两个正根， 即，整理可得， 故选：C. 【一隅三反】 1（2023福建）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数最多为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为函数，所以， 设过点作曲线的切线，切点为， 则有，也即， 又因为，所以 令，， 当时，，函数单调递减， 当或时，，函数单调递增， 综上：函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 又因为，， 所以函数有三个零点，分别在区间上， 也即方程有三个不同的根， 所以过点作曲线的切线，有三个不同的切点， 也即过点可作曲线的切线的条数最多为，故选：. 2．（2024湖北·一模）已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设切点为，，， 则切线方程为：， 切线过点代入得：，即， 即方程有两个解，则有，解得或． 故选：A 3．（2023·湖南·二模）若经过点可以且仅可以作曲线的一条切线，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】设切点．因为，所以， 所以点处的切线方程为， 又因为切线经过点，所以，即. 令，则与有且仅有1个交点，， 当时，恒成立，所以单调递增，显然时，，于是符合题意； 当时，当时，，递减，当时，，递增，所以， 则，即． 综上，或． 故选：D 考点九 切线的应用 【例9-1】（2024·江苏泰州·模拟预测）曲线上的点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则， 设该曲线在点处的切线为， 需求曲线到直线的距离最小，必有该切线的斜率为2， 所以，解得，则切点为， 故切线的方程为，即， 所以直线到直线的距离为， 即该曲线上的点到直线的最小距离为. 故选：C 【例9-2】（2024·全国·模拟预测）若直线与曲线（且）无公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，直线与曲线必有一个公共点，不合题意， 当时，若直线与曲线相切，设直线与曲线相切于点，则，得． 由切点在切线上，得， 由切点在曲线上，得， 所以，． 如图所示： 故当直线与曲线（且）无公共点时，． 故选：D 【一隅三反】 1．（2024江西吉安·期末）若动点在曲线上，则动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，由题意知， 则在点处的切线斜率为， 当在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小， 由，得，则， 所以点到直线的距离. 所以动点到直线的距离的最小值为. 故选：A 2．（2024·陕西汉中·二模）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设平行于直线且与曲线相切的切线对应切点为， 由，则， 令， 解得或（舍去）， 故点P的坐标为， 故点P到直线的最小值为：. 故选：A. 3．（2024·全国·模拟预测）动直线分别与直线，曲线相交于两点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点是直线上任意一点﹐点是曲线上任意一点，当点处的切线和直线平行时，这两条平行线间的距离的值最小﹐ 因为直线的斜率等于， 曲线的导数，令， 可得或(舍去)，故此时点的坐标为，， 故选：A. 1． 单选题 1.（2024·内蒙古）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，∴， ∴曲线在点处的切线的斜率， ∵切线与直线垂直，∴直线的斜率为， ∴.故选：C. 2．（2024·河南·模拟预测）函数与直线相切于点，则点的横坐标为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【解析】设函数与直线相切于点，直线的斜率为， ，所以，所以．故选：B． 3．（2024陕西咸阳·阶段练习）已知函数，过原点作曲线的切线，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：，设切点为，则切线方程为， 因为切线过原点，所以， 解得，则.故选：B 4.（2023·湖北·统考模拟预测）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】D 【解析】对求导得， 由得，则，即， 所以， 当且仅当时取等号．故选：D． 5.（2024·福建福州）已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以 所以，解得，所以 由题意可知，， 所以.故选：B. 6．（2024·河南信阳·模拟预测）若直线与曲线相切，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于，有，令切点为，则切线方程为， 即，即有， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 又当趋向于正无穷大时，趋向于负无穷， 故，即. 故选：A. 7．（2024北京）若过点与曲线相切的直线只有2条，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设过点的直线与曲线相切于点， 由，可得，所以切线的斜率， 整理得， 因为切线有2条，所以切点有2个，即方程有2个不等实根， 则，解得或， 所以的取值范围是． 故选：D． 8．（2024浙江湖州·期末）已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知：， 设函数上的切点坐标为，函数上的切点坐标为， 且，，则公切线的斜率，可得， 则公切线方程为， 代入得， 代入可得，整理得， 令，则， 若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根， 设，则， 令，解得；令，解得； 则在内单调递增，在单调递减，可得， 且当x趋近于时，趋近于；当x趋近于时，趋近于， 可得，解得，故实数的取值范围为. 故选：A. 2． 多选题 9．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．若，则有2个零点 B．若，则有3个零点 C．存在负数，使得只有1个零点 D．存在负数，使得有3个零点 【答案】ABC 【解析】由题意知的零点个数即为和的图象的交点个数，在同一平面直角坐标系内画出和的图象.        对A，由图可知，当时，图象有两个不同的交点，故A正确； 对B，设直线与曲线相切于点， 则，故切线斜率， 所以当，直线与有3个不同的交点， 即有3个零点，故B正确； 对C，设直线与曲线相切于点， 则，故切线斜率， 所以当时，恰有1个零点，故C正确； 对D，当时，直线与的图象至多有2个交点，故D错误； 故选：ABC. 10．（2024安徽合肥）已知函数（e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（    ） A．曲线的切线斜率可以是 B．曲线的切线斜率可以是3 C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条 D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条 【答案】BCD 【解析】因为，所以， 对于A：令，方程无解，所以曲线的切线斜率不可以是，故A错误； 对于B：令，解得，所以曲线的切线斜率可以是，故B正确； 对于C：设切点，则切线方程为，因为点在切线上， 所以，即，显然，所以， 故过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故C正确； 对于D：设切点，则切线方程为， 因为点在切线上，，所以， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以存在使得， 所以方程有且仅有两个实数根， 所以过点且与曲线相切的直线有且只有条，故D正确； 故选：BCD 11．（2024·广东）已知函数，则过点恰能作曲线的两条切线的充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】由，得， 设切点为，则切线的斜率为， 所以有， 整理可得：， 由题意可知：此方程有且恰有两个解，令， ， ， 令，则， 所以在上单调递增，因为， 所以当时，；当时，， ①当，即时， 当时，，则函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 所以只要或，即或； ②当，即时， 当时，，则函数单调递增， 当时，函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 当时，， 所以只要或，由可得：， 由得； ③当时，，所以函数在上单调递增， 所以函数至多有一个零点，不合题意； 综上：当时，或； 当时，或， 所以选项A正确，B正确，C错误，D错误， 故选：AB 3． 填空题 12．（2024·四川遂宁·二模）已知，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】，则，又， 故切线方程为，即. 故答案为：. 13．（2023·河南·模拟预测）已知直线是曲线与的公切线，则 . 【答案】/ 【解析】对于函数，则， 设是曲线上的一点，切线斜率， 所以在点处的切线方程为，即， 对于函数，则， 根据斜率关系可得：，解得， 可得，可知切点坐标为， 则切线方程为，即， 可得，整理得，解得或， 当时，切线方程为，此时，不符合题意，舍去； 当时，切线方程为，故，； 综上所述：. 故答案为：. 14．（2024·四川宜宾·二模）已知为抛物线的焦点，过直线上的动点作抛物线的切线，切点分别是，则直线过定点 . 【答案】 【解析】设， 由，得，则， 则抛物线在点处得切线方程为， 即， 又，所以， 又因为点在切线上，所以，① 同理可得，② 由①②可得直线的方程为， 所以直线过定点.    故答案为：. 4． 解答题 15．（2024江苏常州）已知函数. (1)求曲线过点处的切线； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【解析】（1）由导数公式得， 设切点坐标为，设切线方程为： 由题意可得： ，       所以或，      从而切线方程为或. （2）由(1)可得：曲线在点处的切线方程为, 由，可得曲线在处的切线斜率为， 由题意可得，  从而，    此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为， 即，故符合题意，所以. 16．（2024四川成都）已知函数．若曲线在点处的切线为 (1)分别求的导数，并求切线为的方程； (2)若点在曲线上，在点处的切线与直线平行，求切线的方程． 【答案】(1)，， (2) 【解析】（1）由导数公式得， 由复合函数求导法则得； 由可得曲线在点处的切线的斜率， 从而切线方程为，即 （2）由，设， 则在点处的切线斜率为， 由题意可得，从而， 此时切点坐标为， 所以曲线在处的切线方程为， 即切线的方程为，故. 17．（2024湖南长沙）已知函数在区间上的最小值为－2． (1)求a； (2)（ⅰ）若过点存在2条直线与曲线相切，求m的值； （ⅱ）问过点，，分别存在几条直线与曲线相切?（只需写出结论） 【答案】(1) (2)（ⅰ）或（ⅱ）1；1；2 【解析】（1）由题意，，令，解得， 在和上，则单调递增， 在上，则单调递减. 当时，在区间上单调递减，则， 解得，不满足题意； 当时，在区间和上单调递增， 在区间上单调递减， 则，即，或，即； 综上所述，. （2）设过点的直线与曲线相切于点，则 ，且切线斜率为，所以切线方程为， 因此，整理得：， 设，则“过点存在2条直线与曲线相切”等价于“有2个不同零点”， ， 与的情况如下： 0 2 + 0 0 + 递增 递减 递增 所以，是的极大值，是的极小值， 当或即或时，过点存在2条直线与曲线相切，故或. （ⅱ）过点存在1条直线与曲线相切； 过点存在1条直线与曲线相切； 过点存在2条直线与曲线相切. 18．（2024云南·阶段练习）牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.比如，我们可以先猜想某个方程的其中一个根r在的附近，如图6所示，然后在点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到；一直继续下去，得到，，，…，.从图形上我们可以看到较接近r，较接近r，等等.显然，它们会越来越逼近r.于是，求r近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为r的近似解. 已知函数，. (1)试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解（取，且结果保留小数点后第二位）； (2)若对任意都成立，求整数a的最大值.（计算参考数值：，，，，） 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解： 因为，则， ，曲线在处的切线为，且， ，曲线在处的切线为，且， 故用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解为. （2）将整理得到：， 令，， 因为，令，即，得或， 令，即，得， 所以在上为增函数，在上为减函数， 所以的极小值为， 因此有且仅有一个零点，所以有且仅有一个极小值点，即， 所以有， 方法一：由（1）有，则. 方法二：. ， 所以，能取到的最大整数值为. 19．（2024山东）过曲线：上的点作曲线的切线与曲线交于，过点作曲线的切线与曲线交于点，依此类推，可得到点列：，已知． (1)求点，的坐标； (2)求数列的通项公式； (3)记点到直线（即直线）的距离为，求证：． 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析. 【解析】（1）依题意，，由求导得，，则过点的切线为， 由消去得，即，解得或， 于是，，则过的切线为， 由消去得，，解得或，于是， 所以，． （2）由（1）知，曲线上点处的切线的斜率， 则直线的方程为， 由消去得，， 化简得，解得或，点的坐标， 因此，即数列是首项为1公比为的等比数列， 所以． （3）由（2）知：点，， 于是直线的方程为：，化简得：， 则，即， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$