第三章 §3.1 导数的概念及其意义、导数的运算（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（人教B版）

§3.1　导数的概念及其意义、导数的运算 课标要求　1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数． 知识梳理 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)． f′(x0)＝ . (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f′(x)＝y′＝y′x＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ′＝(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝cf′(x)． 5．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 常用结论 1．在点处的切线与过点的切线的区别 (1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 2.′＝(f(x)≠0)． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　×　) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　×　) (3)f′(x0)＝[f(x0)]′.(　×　) (4)(e－x)′＝－e－x.(　√　) 2．若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则(　　) A．f′(x)＝3xln 3＋2cos 2x B．f′(x)＝3x＋2cos 2x C．f′(x)＝＋cos 2x D．f′(x)＝－2cos 2x 答案　A 3．曲线y＝x2－2在点处的切线的倾斜角是 ． 答案　 解析　点在曲线上，且y′＝x， 所以切线的斜率k＝1，所以倾斜角为. 4．设曲线y＝e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，则a的值为 ． 答案　－ 解析　∵y＝e2ax，∴y′＝e2ax·(2ax)′＝2a·e2ax， ∴在点(0,1)处的切线斜率k＝2ae0＝2a， 又∵切线与直线2x－y＋1＝0垂直， ∴2a×2＝－1，∴a＝－. 题型一　导数的运算 例1 (1)(多选)下列求导正确的是(　　) A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2 B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2 C.′＝ D．(ln 2x)′＝ 答案　AB 解析　对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确； 对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确； 对于C，′＝＝，故C错误； 对于D，(ln 2x)′＝2·＝，故D错误． (2)(2023·河南联考)已知函数f(x)满足f(x)＝2f′(1)ln x＋(f′(x)为f(x)的导函数)，则f(e)等于(　　) A．e－1 B.＋1 C．1 D．－＋1 答案　D 解析　f′(x)＝＋， 当x＝1时，f′(1)＝2f′(1)＋， 解得f′(1)＝－， 故f(x)＝－＋， 所以f(e)＝－＋＝－＋1. 思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 跟踪训练1 (多选)下列命题正确的是(　　) A．若f(x)＝xsin x－cos x，则f′(x)＝sin x－xcos x＋sin x B．设函数f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝e C．已知函数f(x)＝3x2ex，则f′(1)＝12e D．设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝－ 答案　BD 解析　对于选项A，f′(x)＝sin x＋xcos x＋sin x，故选项A不正确； 对于选项B，f′(x)＝ln x＋1，则f′(x0)＝ln x0＋1＝2，解得x0＝e，故选项B正确； 对于选项C，f′(x)＝6xex＋3x2ex，则f′(1)＝6e＋3e＝9e，故选项C不正确； 对于选项D，f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，则f′(2)＝4＋3f′(2)＋，解得f′(2)＝－，故选项D正确． 题型二　导数的几何意义 命题点1　求切线方程 例2 (1)(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ 答案　C 解析　因为y＝， 所以y′＝＝， 所以k＝， 所以曲线y＝在点处的切线方程为y－＝(x－1)，即y＝x＋. (2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 ， . 答案　y＝x　y＝－x 解析　先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)， 则由y′＝，得切线斜率为， 又切线的斜率为，所以＝， 解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e， 所以切线斜率为，切线方程为y＝x. 同理可求得当x<0时的切线方程为y＝－x. 综上可知，两条切线方程为y＝x，y＝－x. 命题点2　求参数的值(范围) 例3 (1)(2024·泸州模拟)若直线y＝kx＋1为曲线y＝ln x的一条切线，则实数k的值是(　　) A．e B．e2 C. D. 答案　D 解析　设直线y＝kx＋1在曲线y＝ln x上的切点为P(x0，y0)， 因为y＝ln x，所以y′＝， 所以切线斜率k＝， 所以曲线y＝ln x在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)， 又y0＝ln x0， 所以切线方程为y＝·x－1＋ln x0， 又切线方程为y＝kx＋1， 所以解得 (2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 答案　(－∞，－4)∪(0，＋∞) 解析　因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝，化简，得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 思维升华 (1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”． 跟踪训练2 (1)(2023·深圳质检)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝x3－x，则曲线y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程是(　　) A．2x－y－2＝0 B．4x－y－4＝0 C．2x＋y－2＝0 D．4x＋y－4＝0 答案　C 解析　当x<0时，f(x)＝x3－x， 则f′(x)＝3x2－1，所以f′(－1)＝2， 由f(x)为偶函数，得f′(1)＝－f′(－1)＝－2， 则曲线y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程是y＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0. (2)若函数f(x)＝x－＋aln x存在与x轴平行的切线，则实数a的取值范围是 ． 答案　(－∞，－2] 解析　f′(x)＝1＋＋(x>0)， 依题意得f′(x)＝1＋＋＝0有解， 即－a＝x＋有解， ∵x>0，∴x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号， ∴－a≥2，即a≤－2. 题型三　两曲线的公切线 例4 (1)(2024·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为(　　) A．2 B．5 C．1 D．0 答案　C 解析　根据题意，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a＞0， 由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x， 则切线的斜率k＝f′(a)＝－4a， 由g(x)＝－3ln x－x，可得g′(x)＝－－1， 则切线的斜率k＝g′(a)＝－－1， 因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a＝－－1， 解得a＝1或a＝－(舍去)， 又由g(1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)， 将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m， 可得m＝1. (2)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是(　　) A．(0,2e] B. C. D．[2e，＋∞) 答案　B 解析　设公切线与曲线y＝ln x－1和y＝ax2的切点分别为(x1，ln x1－1)，(x2，ax)，其中x1>0，对于y＝ln x－1有y′＝， 则切线方程为y－(ln x1－1)＝(x－x1)， 即y＝＋ln x1－2， 对于y＝ax2有y′＝2ax， 则切线方程为y－ax＝2ax2(x－x2)， 即y＝2ax2x－ax， 所以则－＝ln x1－2， 即＝2x－xln x1(x1>0)， 令g(x)＝2x2－x2ln x，x>0， 则g′(x)＝3x－2xln x＝x(3－2ln x)， 令g′(x)＝0，得x＝， 当x∈时，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 所以g(x)max＝＝e3， 故0<≤e3，即a≥e－3. 思维升华 公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解． 跟踪训练3 (1)(2023·青岛模拟)若曲线C1：f(x)＝x2＋a和曲线C2：g(x)＝4ln x－2x存在有公共切点的公切线，则a＝ . 答案　－3 解析　f(x)＝x2＋a，g(x)＝4ln x－2x， 则有f′(x)＝2x，g′(x)＝－2. 设公共切点的坐标为(x0，y0)， 则f′(x0)＝2x0，g′(x0)＝－2， f(x0)＝x＋a，g(x0)＝4ln x0－2x0. 根据题意，有解得 (2)已知f(x)＝ex－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 答案　C 解析　根据题意，设直线l与f(x)＝ex－1相切于点(m，em－1)，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)， 对于f(x)＝ex－1，有f′(x)＝ex， 则直线l的斜率k＝em， 则直线l的方程为y＋1－em＝em(x－m)， 即y＝emx＋(1－m)em－1， 对于g(x)＝ln x＋1，有g′(x)＝， 则直线l的斜率k＝， 则直线l的方程为y－(ln n＋1)＝(x－n)， 即y＝x＋ln n，则 可得(1－m)(em－1)＝0，即m＝0或m＝1， 则切线方程为y＝ex－1 或y＝x，故f(x)与g(x)的公切线有2条． 课时精练 一、单项选择题 1．若函数f(x)＝exsin 2x，则f′(0)等于(　　) A．2 B．1 C．0 D．－1 答案　A 解析　因为f(x)＝exsin 2x， 则f′(x)＝ex(sin 2x＋2cos 2x)， 所以f′(0)＝e0(sin 0＋2cos 0)＝2. 2.函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列大小关系正确的是(　　) A．2f′(3)<f(5)－f(3)<2f′(5) B．2f′(3)<2f′(5)<f(5)－f(3) C．f(5)－f(3)<2f′(3)<2f′(5) D．2f′(5)<2f′(3)<f(5)－f(3) 答案　A 解析　由图可知，f′(3)<<f′(5)， 即2f′(3)<f(5)－f(3)<2f′(5)． 3．(2023·榆林模拟)已知函数f(x)＝aln x＋x2的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，则a＋b等于(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 答案　B 解析　因为f(x)＝aln x＋x2，所以f′(x)＝＋2x. 又函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0， 所以f′(1)＝a＋2＝3，解得a＝1， 则f(x)＝ln x＋x2， 所以f(1)＝1，代入切线方程得3－1＋b＝0， 解得b＝－2，故a＋b＝－1. 4．(2023·成都川大附中模拟)若点P是曲线y＝ln x－x2上任意一点，则点P到直线l：x＋y－4＝0距离的最小值为(　　) A. B. C．2 D．4 答案　C 解析　过点P作曲线y＝ln x－x2的切线， 当切线与直线l：x＋y－4＝0平行时， 点P到直线l：x＋y－4＝0的距离最小． 设切点为P(x0，y0)(x0>0)， 又y′＝－2x， 所以切线斜率k＝－2x0， 由题意知－2x0＝－1， 解得x0＝1或x0＝－(舍)，所以P(1，－1)， 此时点P到直线l：x＋y－4＝0的距离d＝＝2. 5．直线l与曲线y＝ex＋1和y＝ex＋1均相切，则l的斜率为(　　) A. B．1 C．2 D．e 答案　B 解析　由y＝ex＋1，可得y′＝ex； 由y＝ex＋1，可得y′＝ex＋1， 设两个切点分别为(x1，＋1)和(x2，)， 直线l的斜率k＝， 故x1＝x2＋1，即x1≠x2， 所以k＝＝＝1， 即直线l的斜率为1. 6．若函数f(x)＝＋ln(x＋1)的图象上不存在互相垂直的切线，则a的取值范围是(　　) A．a≤1 B．a<0 C．a≥1 D．a≤0 答案　A 解析　因为函数f(x)＝＋ln(x＋1)(x>－1)， 所以f′(x)＝x＋－a＝x＋1＋－a－1≥2－a－1＝1－a， 当且仅当x＋1＝，即x＝0时，等号成立， 因为函数f(x)的图象上不存在互相垂直的切线， 所以f′(x)min≥0，即1－a≥0， 解得a≤1. 二、多项选择题 7．对于函数f(x)＝ln x－1，则下列判断正确的是(　　) A．直线y＝是f(x)过原点的一条切线 B．f(x)关于y＝x对称的函数是y＝ex－1 C．若过点(a，b)有2条直线与f(x)相切，则ln a<b＋1 D．f(x)≤x－2 答案　ACD 解析　对于A，设切点为(m，ln m－1)， 则k＝f′(m)＝＝， ∴ln m－1＝·m，∴ln m＝2， ∴m＝e2，k＝. ∴过原点的切线方程为y＝，故A正确； 对于B，由反函数的概念可得y＋1＝ln x⇒ey＋1＝x，故与f(x)关于y＝x对称的函数为y＝ex＋1，故B错误； 对于C，若过点(a，b)有2条直线与f(x)相切，则点(a，b)在f(x)上方，如图所示， 即b>f(a)，即b>ln a－1，故C正确； 对于D，由于∀x>0， 设g(x)＝x－ln x－1⇒g′(x)＝， 令g′(x)>0⇒x>1，令g′(x)<0⇒0<x<1， ∴g(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减， ∴g(x)≥g(1)＝0⇒ln x≤x－1⇒f(x)≤x－2， 故D正确． 8．(2023·唐山质检)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数，以下四个函数在上是凸函数的是(　　) A．f(x)＝sin x－cos x B．f(x)＝ln x－3x C．f(x)＝－x3＋3x－1 D．f(x)＝xe－x 答案　BCD 解析　对于A，f′(x)＝cos x＋sin x， f″(x)＝－sin x＋cos x＝－sin， 当x∈时，sin<0， f″(x)＝－sin>0，故A错误； 对于B，f′(x)＝－3，f″(x)＝－<0在上恒成立，故B正确； 对于C，f′(x)＝－3x2＋3，f″(x)＝－6x<0在上恒成立，故C正确； 对于D，f′(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，f″(x)＝－e－x－(1－x)e－x＝－(2－x)e－x， 因为x∈，所以2－x>0， 所以f″(x)＝－(2－x)e－x<0在上恒成立，故D正确． 三、填空题 9．(2024·呼和浩特模拟)若曲线y＝2sin x－2cos x在点处的切线与直线x－ay＋1＝0垂直，则实数a＝ . 答案　－2 解析　∵y＝2sin x－2cos x， ∴y′＝2cos x＋2sin x， ∴曲线y＝2sin x－2cos x在点处的切线的斜率k＝2cos ＋2sin ＝2， ∵切线与直线x－ay＋1＝0垂直， ∴直线x－ay＋1＝0的斜率为－，即＝－， ∴a＝－2. 10．(2023·本溪模拟)请写出与曲线y＝sin x在原点(0,0)处具有相同切线的另一个函数 ． 答案　y＝x3＋x(答案不唯一) 解析　∵y＝sin x的导函数为y′＝cos x， 又y＝sin x过原点， ∴y＝sin x在原点(0,0)处的切线斜率k＝cos 0＝1， ∴y＝sin x在原点(0,0)处的切线方程为y＝x. 所求曲线只需满足过点(0,0)且在x＝0处的导数值y′＝1即可，如y＝x3＋x， ∵y′＝3x2＋1， ∴y＝x3＋x在原点处的切线斜率为1， 又y＝x3＋x过原点， ∴y＝x3＋x在原点(0,0)处的切线方程为y＝x. 11．(2023·南京模拟)若直线y＝x＋m与曲线y＝ax2和y＝ln x均相切，则a＝ . 答案　 解析　设直线y＝x＋m与y＝ln x相切于点(x0，ln x0)， 因为y＝ln x的导函数为y′＝， 所以＝1，且ln x0＝x0＋m， 解得x0＝1，m＝－1. 因为直线y＝x－1与曲线y＝ax2相切， 联立得ax2－x＋1＝0，a≠0且Δ＝1－4a＝0，即a＝. 12．已知直线y＝k1x与y＝k2x(k1>k2)是曲线y＝ax＋2ln|x|(a∈R)的两条切线，则k1－k2＝ . 答案　 解析　由已知得，曲线的切线过点(0,0)， 当x>0时，曲线为y＝ax＋2ln x， 设x1>0，直线y＝k1x在曲线上的切点为(x1，ax1＋2ln x1)，k1＝a＋， ∴切线方程为y－(ax1＋2ln x1)＝(x－x1)， 又切线过点(0,0)， ∴－ax1－2ln x1＝(－x1)， ∴x1＝e，k1＝a＋； 同理，当x<0时，曲线为y＝ax＋2ln(－x)， 设x2<0，直线y＝k2x在曲线上的切点为(x2，ax2＋2ln(－x2))，k2＝a＋， ∴切线方程为y－[ax2＋2ln(－x2)]＝(x－x2)， 又切线过点(0,0)， ∴－ax2－2ln(－x2)＝(－x2)， ∴x2＝－e，k2＝a－， ∴k1－k2＝. 四、解答题 13．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x. (1)求f′(e)及f(e)的值； (2)求f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程． 解　(1)∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x， ∴f′(x)＝2f′(e)＋，f′(e)＝2f′(e)＋， ∴f′(e)＝－，f(x)＝－＋ln x， ∴f(e)＝－＋ln e＝－1. (2)∵f(x)＝－＋ln x，f′(x)＝－＋， ∴f(e2)＝－＋ln e2＝2－2e，f′(e2)＝－＋， ∴f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程为y－(2－2e)＝(x－e2)， 即(2e－1)x＋e2y－e2＝0. 14．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 解　(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3， 当x＝2时，y＝， 又∵f′(x)＝a＋， ∴解得 ∴f(x)＝x－. (2)设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点， 由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－＝(x－x0)． 令x＝0，得y＝－， ∴切线与直线x＝0的交点坐标为. 令y＝x，得y＝x＝2x0， ∴切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)． ∴曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积S＝·|2x0|＝6. 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6. 15．已知函数f(x)＝ln x＋x的零点为x0，过原点作曲线y＝f(x)的切线l，切点为P(m，n)，则等于(　　) A. B．e C. D．e2 答案　B 解析　f′(x)＝＋1，切点为P(m，ln m＋m)， 则切线方程为y＝(x－m)＋ln m＋m， 因为l过原点，所以0＝(－m)＋ln m＋m， 解得m＝e，则P(e，e＋1)， 由ln x0＋x0＝0，可得x0＝－ln x0， 故＝ex0·＝ex0·＝e. 16．(2021·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝|ex－1|，x1<0，x2>0，函数f(x)的图象在点A(x1，f(x1))和点B(x2，f(x2))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则的取值范围是 ． 答案　(0,1) 解析　由题意得，f(x)＝|ex－1|＝ 则f′(x)＝ 所以点A(x1,1－)和点B(x2，－1)，kAM＝，kBN＝， 所以＝－1，x1＋x2＝0， 所以AM：y－1＋＝ 所以|AM|＝·|x1|， 同理|BN|＝·|x2|， 所以＝∈(0,1)． 谢谢! 学科网（北京）股份有限公司 $