精品解析：甘肃省白银市靖远县2024届高三模拟预测数学试题

高三数学考试 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知椭圆的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 3. 若集合，，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 三人被邀请参加同一个时间段的两个晚会，若两个晚会都必须有人去，去几人自行决定，且每人最多参加一个晚会，则不同的去法有（ ） A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 24种 6. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（ ） A. 为直角三角形 B. 为锐角三角形 C. 为钝角三角形 D. 的形状无法确定 7. 已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数； B. 是周期为的周期函数； C. 在上单调递增； D. 的最小值为. 10. 设，是双曲线的两条渐近线，若直线与直线关于直线对称，则双曲线的离心率的平方可能为（ ） A. B. C. D. 11. 在长方形中，，，点在线段上（不包含端点），沿将折起，使二面角的大小为，，则（ ） A. 存在某个位置，使得 B. 存在某个位置，使得直线平面 C. 四棱锥体积的最大值为 D. 当时，线段长度的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 的展开式中的系数为___________. 13. 已知奇函数的定义域为，，且，则在上的零点个数的最小值为___________. 14. 设，则的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，函数的图象在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2. （1）求的值； （2）求在上的值域. 16. 教练统计了甲12次投篮训练的投篮次数和乙8次投篮训练的投篮次数，得到如下数据： 甲 77 73 77 81 85 81 77 85 93 73 77 81 乙 71 81 73 73 71 73 85 73 已知甲12次投篮次数的方差，乙8次投篮次数的方差. （1）求这20次投篮次数的平均数与方差. （2）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.已知第一次投篮的人是甲，且甲、乙总共投篮了3次，表示甲投篮的次数，求的分布列与期望. 17. 如图，在三棱柱中，，四边形为菱形，，. （1）证明：. （2）已知平面平面，求二面角的正弦值. 18. “完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”需要用到函数，记函数，为的所有正因数之和. （1）判断28是否为完全数，并说明理由. （2）已知，若为质数，证明：为完全数. （3）已知，求，的值. 19. 已知O为坐标原点，经过点的直线l与抛物线C：交于A，B（A，B异于点O）两点，且以AB为直径的圆过点O． （1）求C的方程； （2）已知M，N，P是C上的三点，若△MNP为正三角形，Q为△MNP的中心，求直线OQ斜率的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学考试 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据共轭复数结合复数运算可得，再结合复数的几何意义分析判断. 【详解】设，则. 因为，则， 可得，解得， 即，所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 2. 已知椭圆的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程，结合离心率的定义和求法，列出方程，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，，则， 所以，解得. 故选：B. 3. 若集合，，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再分、两种情况讨论，确定集合，再根据集合的包含关系得到不等式，解得即可. 【详解】由，即，解得， 所以， 当时，，符合， 当时，由，解得， 所以， 因为，所以，解得. 综上可得的取值范围为. 故选：D 4. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用线面平行的判定定理与性质定理，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当时，可能在内或者内，故不能推出且，所以充分性不成立； 当且时，设存直线，，且， 因为，所以，根据直线与平面平行的性质定理，可知， 所以，即必要性成立，故“”是“且”的必要不充分条件. 故选：C. 5. 三人被邀请参加同一个时间段的两个晚会，若两个晚会都必须有人去，去几人自行决定，且每人最多参加一个晚会，则不同的去法有（ ） A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【分析】根据参加晚会的人数分类讨论，利用排列组合数求解即可. 【详解】第一种情况，只有两人参加晚会，有种去法； 第二种情况，三人参加晚会，有种去法，共12种去法. 故选：B 6. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（ ） A. 为直角三角形 B. 为锐角三角形 C. 为钝角三角形 D. 的形状无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理得，利用正余弦的二倍角公式、两角和与差的正弦展开式化简可得，解方程可得答案. 【详解】由，可得， 则， ， ， 即， 由，故只能为锐角，可得， 因为，所以，. 故选：A. 7. 已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论、与三种情况，结合导数与极值点的定义即可得解. 【详解】因为，所以， 令，可得或， 当，即时， 令，得或；令，得； 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，满足题意； 当，即时，恒成立， 则在上单调递增，没有极值点，不满足题意； 当，即时， 令，得或；令，得； 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极小值点，不满足题意； 综上，，即的取值范围为. 故选：A. 8. 假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，由题意可得，，进一步求出，通项公式，即可得出答案. 【详解】设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌， 则，. 又，，所以，， 则，则， 所以是首项为和公差均为的等差数列， 所以， 所以，所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是找到的相关推递式，从而得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数； B. 是周期为的周期函数； C. 在上单调递增； D. 的最小值为. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用偶函数的定义可判定A，利用周期的定义可判定B，利用复合函数的单调性可判定C，根据周期性及单调性可判定D. 【详解】因为，所以是偶函数，故A正确； 易知，故B错误； 当时，， 因为，所以在上单调递减， 又单调递增，所以在上单调递减，故C错误； 易知，所以是周期为的周期函数， 当时，， 显然时，时， 则的最小值为，故D正确. 故选：AD 10. 设，是双曲线的两条渐近线，若直线与直线关于直线对称，则双曲线的离心率的平方可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用直线对称的夹角关系，分类讨论结合双曲线的性质计算即可. 【详解】由题可知经过第二、四象限，经过第一、三象限，设的倾斜角为. 当时，则，即，， 即，所以. 当时，，即，， 即，所以. 综上，双曲线的离心率的平方为. 故选：CD 11. 在长方形中，，，点在线段上（不包含端点），沿将折起，使二面角的大小为，，则（ ） A. 存在某个位置，使得 B. 存某个位置，使得直线平面 C. 四棱锥体积的最大值为 D. 当时，线段长度的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用特殊位置可判定A，根据线面平行的性质可判定B，利用棱锥的体积公式及导数研究函数的最值可判定C，利用空间向量数量积研究模长可判定D. 【详解】设点A在平面上的投影为，即， 而当时，平面， 所以平面，平面，所以， 这种情况显然存在，故A正确； 若平面，平面，平面平面， 所以，显然矛盾，故B错误； 设，，则点A到的距离为，，， 要使得四棱锥的体积最大，则， 此时四棱锥的体积， ，在上单调递减， 且当时，. 令，，则，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故， 即四棱锥体积的最大值为，C正确. 过A，作的垂线，垂足分别为，，从而得到，， 又， 所以 . 因为二面角的大小为，所以与的夹角为120°. 设，，则， ，，，， 所以， 所以 . 故当时，有最小值28，故线段长度的最小值为，D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：对于C项，设，利用表示线段长，利用棱锥体积公式得，通过导数研究其单调性计算最值即可；对于D项，根据空间向量数量积公式计算模长即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 的展开式中的系数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】化简，结合二项展开式性质，即可求解. 【详解】由， 所以的展开式中含的项为， 所以的展开式中的系数为. 故答案为：. 13. 已知奇函数的定义域为，，且，则在上的零点个数的最小值为___________. 【答案】9 【解析】 【分析】由结合是奇函数可求出的周期为3，即可求出，再由的对称性和周期性可得. 【详解】由，可得的图象关于点对称， 又是奇函数，所以， 则的周期为3，所以， ， 而，则. 故在上的零点个数的最小值为9. 故答案为：9. 14. 设，则的最大值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】设，利用基本不等式得到，再将右式配凑成的倍数，从而得解. 【详解】设，则，， 当且仅当，时，等号成立， 故. 令，解得，， 所以，当，时，等号成立. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用基本不等式，配凑出一个定值出来，从而得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，函数的图象在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2. （1）求的值； （2）求在上的值域. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距，利用三角形面积公式可得结果； （2）由（1）可得在上单调递增，在上单调递减，求出，，的值可得结果. 【小问1详解】 因为，所以，则. 因为，所以切点坐标为， 所以的图象在点处的切线方程为. 令，得，又，所以，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，令，解得，所以在上单调递增. 令，解得，所以 在上单调递减， 又，，， 所以在上的值域为. 16. 教练统计了甲12次投篮训练的投篮次数和乙8次投篮训练的投篮次数，得到如下数据： 甲 77 73 77 81 85 81 77 85 93 73 77 81 乙 71 81 73 73 71 73 85 73 已知甲12次投篮次数的方差，乙8次投篮次数的方差. （1）求这20次投篮次数的平均数与方差. （2）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.已知第一次投篮的人是甲，且甲、乙总共投篮了3次，表示甲投篮的次数，求的分布列与期望. 【答案】（1）平均数78，方差33； （2）的分布列为 1 2 3 期望为【解析】 【分析】（1）利用平均数的计算公式及分层抽样的方差公式计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可. 【小问1详解】 甲12次投篮次数的平均数，乙8次投篮次数的平均数. 这20次投篮次数的平均数， 方差 . 【小问2详解】 的可能取值为1，2，3， 则， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 . 17. 如图，在三棱柱中，，四边形为菱形，，. （1）证明：. （2）已知平面平面，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明如下： 设为的中点，连接，，，， 因为，所以， 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，则， 又平面，平面，，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，平面， ，所以平面， 因为平面，所以，所以四边形为菱形，即. （2）. 【解析】 【分析】（1）通过线面、面面的位置关系证平行四边形为菱形即可； （2）先证平面，根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，且平面平面，，平面， 所以平面； 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设. 则，，，，， 可得，，. 设平面的法向量为，则 令，则，，可得. 设平面的法向量为，则 令，则，，可得. ，故二面角的正弦值为. 18. “完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”需要用到函数，记函数，为的所有正因数之和. （1）判断28是否为完全数，并说明理由. （2）已知，若为质数，证明：为完全数. （3）已知，求，的值. 【答案】（1）28是完全数，理由： 28的所有正因数为1，2，4，7，14，28， 因为，所以28是完全数. （2） 的正因数为，，，，，，，，，， ， 所以为完全数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据完全数的概念求解即可； （2）根据完全数的概念结合等比数列求和公式计算证明即可； （3）根据完全数的概念结合等比数列求和公式计算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的正因数为，，，，，，，，，，，，，，，， 所以. 因为， 所以 . 19. 已知O为坐标原点，经过点的直线l与抛物线C：交于A，B（A，B异于点O）两点，且以AB为直径的圆过点O． （1）求C的方程； （2）已知M，N，P是C上的三点，若△MNP为正三角形，Q为△MNP的中心，求直线OQ斜率的最大值． 【答案】（1）的方程为. （2）斜率的最大值为. 【解析】 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，由，转化，即代入计算，即可得到抛物线方程； （2）分有一边斜率不存在与三边的斜率都存在讨论，分别表示出，结合，代入计算，结合基本不等式即可得到直线斜率的最大值. 【小问1详解】 设，，（显然斜率不能为0） 设，联立方程 消元整理得：， 则，. 因为以为直径的圆过点，所以，， 则，即，解得， 所以，解得，所以的方程为. 【小问2详解】 设，，.不妨设，，按逆时针顺序排列. 画出题目草图，如下. ①当有一边斜率不存在时，另一顶点为，不妨设， 则，. 与抛物线的方程联立得，，中心. ②当三边的斜率都存在时，，. 又，所以， 化简可得， 同理可得，， 三式相加得. 因为，，是上的三点，所以， 又， 所以. 设，则，，代入上式得. 又①也满足，所以的轨迹方程为. 当，直线的斜率为，当且仅当，即时，直线的斜率取得最大值.当时，直线的斜率. 综上，直线斜率的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $