第一章 特殊平行四边形单元检测卷-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（北师大版）

第1章 特殊平行四边形难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）在菱形中，，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南周口·期中）若四边形是菱形，且，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D．不确定 3．（23-24九年级上·福建三明·期中）根据平行四边形如图所标注的角的度数，则一定能判定其为菱形的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（23-24八年级下·宁夏吴忠·期中）已知四边形是平行四边形，下列结论中不一定成立的是 （   ） A． B． C．当时，它是菱形 D．当时，它是矩形 5．（2024·广东深圳·模拟预测）一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·广东韶关·期中）一个木匠要制作矩形踏板，如图，他先在一个对边平行的长木板的一边做一个点标记A，然后在对边任一点再做一个标记B，连接，取中点O，则以下操作与判断正确的是（    ） A．过点O作任意直线交木板两边于、，得到矩形 B．过点O作的垂线l交木板两边于、，得到矩形 C．在木板上任意找两点、，使得，得到矩形 D．分别过点、作垂线，交对边于、，连接、，得到矩形 7．（22-23八年级下·重庆·期中）如图，正方形中，点在对角线上，连接、，延长交于点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·广东深圳·期中）方形纸带中，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中度数是（  ）    A． B． C． D． 9．（2023·浙江绍兴·一模）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状不可能是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．正方形 D．矩形 10．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．下列四种说法：    ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形 ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，且，那么四边形是正方形． 其中，正确的有（    ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题（6小题，每小题2分，共16分） 11．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）菱形的两条对角线的长分别是和，则菱形的面积是 cm2． 12．（23-24八年级下·广西玉林·期中）如图，菱形中，其面积为，，则与间的距离是 ． 13．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ． 14．（23-24九年级下·云南曲靖·期中）如图，在中，，是的中点，若，则的长为 ． 15．（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，在中，对角线相交于点O，若要使成为矩形，需要添加的条件是 ． 16．（2024·陕西西安·一模）如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上的一个动点，与关于对称，连接．当点恰好落在矩形的对称轴上时，的长为 ． 三、解答题（9小题，共64分） 17．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图图案由6个正三角形组成．找出图中所有的菱形． 18．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）今年我县提倡六城建设，某社区有一个正方形空地，准备把此正方形空地分成面积相等的四部分，分别种植四种不同的花草，请你运用所学的知识，设计三种不同的方案．（画出即可）    19．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图所示，在矩形中，，是对角线，过顶点作的平行线与的延长线相交于点，求证：是等腰三角形． 20．（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）如图，为菱形的高，请仅用无刻度的直尺按要求画图．（不写画法，保留画图痕迹）． (1)在图1中，过点画出边上的高； (2)在图2中，过点画出边上的高． 21．（2023·山西运城·二模）如图，在菱形中，对角线和相交于点．    (1)实践与操作：过点作交的延长线于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想． 22．（23-24八年级下·河南许昌·期中）如图，在四边形中，，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：）， (1)t为何值时，四边形为平行四边形，请说明理由． (2)t为何值时，四边形为矩形，请说明理由． 23．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，在中，，是斜边上的中线，点E是的中点，过A作交的延长线于点F，连结． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，四边形的面积是30，求的长． 24．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图所示，点是矩形的边的中点，点是边上一动点，，，垂足分别为点，． (1)当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形为矩形？猜想并说明理由． (2)在（1）中，当点运动到什么位置时，矩形为正方形，为什么？ 25．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，已知正方形ABCD，请仅用无刻度直尺，完成以下作图（保留作图痕迹，不写画法） (1)在图1中，点E、F、G、H、I、J、K、L是正方形各边的三等分点，请利用上述三等分点的其中两个点，画一条直线，使其与直线HL将正方形面积四等分； (2)在图2中，与相交于点O，点P、点Q分别在边上，且，画出四边形（M点在线段上）．使得四边形的面积等于正方形面积的． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 特殊平行四边形难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）在菱形中，，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是菱形的性质，熟记菱形的每一条对角线平分一组对角是解本题的关键． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形，， ∴； 故选：B． 2．（23-24九年级上·河南周口·期中）若四边形是菱形，且，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，菱形是四边相等，据此作答即可． 【详解】解：因为四边形是菱形， 则， 所以四边形的周长是， 故选：C 3．（23-24九年级上·福建三明·期中）根据平行四边形如图所标注的角的度数，则一定能判定其为菱形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】此题主要考查了菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定方法． 【详解】解：A、只有一个角为的平行四边形无法判断为菱形，故不合题意； B、由已知角可得一组邻边相等，这样的平行四边形为菱形，故符合题意； C、由已知角无法得出边的相应关系，故不能判定菱形，不合题意； D、由已知角无法得出边的相应关系，故不能判定菱形，不合题意； 故选：B． 4．（23-24八年级下·宁夏吴忠·期中）已知四边形是平行四边形，下列结论中不一定成立的是 （   ） A． B． C．当时，它是菱形 D．当时，它是矩形 【答案】B 【分析】本题考查了菱形与矩形的判定，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键．由四边形是平行四边形，根据菱形与矩形的判定定理，平行四边形的性质，即可求得答案． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， ∴正确，故A不符合题意． B、∵四边形是平行四边形， ∴不一定相等，故B符合题意． C、∵四边形是平行四边形， ∴当时，它是菱形，故C不符合题意． D、∵四边形是平行四边形， ∴当时，它是矩形，故D不符合题意． 故选：B． 5．（2024·广东深圳·模拟预测）一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出的长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：∵点对应的刻度为， ∴， ∵，点为边的中点， ∴， 故选：B． 6．（23-24八年级下·广东韶关·期中）一个木匠要制作矩形踏板，如图，他先在一个对边平行的长木板的一边做一个点标记A，然后在对边任一点再做一个标记B，连接，取中点O，则以下操作与判断正确的是（    ） A．过点O作任意直线交木板两边于、，得到矩形 B．过点O作的垂线l交木板两边于、，得到矩形 C．在木板上任意找两点、，使得，得到矩形 D．分别过点、作垂线，交对边于、，连接、，得到矩形 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握四边形的判定方法是解题的关键．根据题意画出图形，依次逐一判断是否正确即可． 【详解】解：A、如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故选项A错误，不符合题意； B、如图， 同选项A可得四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故选项B错误，不符合题意； C、如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项C错误，不符合题意； D、如图， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， 故选项D正确，符合题意； 故选：D． 7．（22-23八年级下·重庆·期中）如图，正方形中，点在对角线上，连接、，延长交于点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据正方形的性质可证得和全等，即可求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 8．（23-24七年级下·广东深圳·期中）方形纸带中，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中度数是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、图形的折叠，理解掌握翻折的特征是解题的关键． 由长方形得，，即，可得，由于折叠，图2中的，由于折叠，图3中的． 【详解】解：如图1，由长方形得，，即， ， 由于折叠，图2中的， 由于折叠，图3中的， 故选：B． 9．（2023·浙江绍兴·一模）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状不可能是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．正方形 D．矩形 【答案】C 【分析】根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况，由此可得结论． 【详解】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形， ∴ AO＝CO，CDAB， ∴∠OAE＝∠OCF， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， 当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形， 当点E和点B重合时，四边形AECF是矩形， 可知四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形，不可能是正方形， 故选：C． 【点睛】考查了全等三角形的判定和性质、矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，根据EF与AC的关系即可求解． 10．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．下列四种说法：    ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形 ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，且，那么四边形是正方形． 其中，正确的有（    ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形、正方形的判定，先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得出为平行四边形，得出①正确；当，根据推出的平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若平分，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由，，根据等腰三角形的三线合一可得平分，同理可得四边形是菱形，但不一定为直角，④不一定正确． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形，选项①正确； 若， 平行四边形为矩形，选项②正确； 若平分， ， 又， ， ， ， 平行四边形为菱形，选项③正确； 若，， 平分， 同理可得平行四边形为菱形，但不一定为直角，故菱形不一定为正方形；选项④错误， 则其中正确的是①②③． 故选：C． 二、填空题（6小题，每小题2分，共16分） 11．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）菱形的两条对角线的长分别是和，则菱形的面积是 cm2． 【答案】6 【分析】本题主要查了求菱形的面积．根据菱形的面积公式计算，即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线的长分别是和， ∴． 故答案为：6． 12．（23-24八年级下·广西玉林·期中）如图，菱形中，其面积为，，则与间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，设与间的距离为，根据菱形的面积公式，即可求解． 【详解】解：设与间的距离为，依题意得，， ∴， 故答案为：． 13．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ． 【答案】正方形 【分析】由三角形中位线的性质，可判断，，可得四边形是菱形，四边形的对角线，满足，且，四边形是正方形．本题考查了中点四边形的性质，中位线的定理，解题中需要理清思路，属于中档题． 【详解】解：如图所示： 在中，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理，，． ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 设与交于点，与交于点， 在中，，分别是，的中点， ∴，同理， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形 14．（23-24九年级下·云南曲靖·期中）如图，在中，，是的中点，若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ，进而可得答案． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，在中，对角线相交于点O，若要使成为矩形，需要添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行作答即可． 【详解】解：要使成为矩形，，需要添加的条件是，理由如下： ∵四边形是平行四边形，， ∴为矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 16．（2024·陕西西安·一模）如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上的一个动点，与关于对称，连接．当点恰好落在矩形的对称轴上时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，正方形的判定等知识，由轴对称的性质可得，，，则在以为圆心，为半径的圆上运动，通过证明四边形是正方形，可得． 【详解】解：如图，画出矩形的两条对称轴， 点是边的中点， ， 与关于对称， ，， 在以为圆心，为半径的圆上运动， 点恰好落在矩形的对称轴上，且点到的距离为， 点只能在上， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ， 故答案为：． 三、解答题（9小题，共64分） 17．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图图案由6个正三角形组成．找出图中所有的菱形． 【答案】菱形、菱形、菱形、菱形、菱形、菱形 【分析】由和均为等边三角形知，据此得四边形是菱形，同理可得菱形、菱形、菱形、菱形、菱形，共6个菱形． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， 同理可得菱形有：菱形、菱形、菱形、菱形、菱形． 【点睛】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握等边三角形的性质和菱形的定义． 18．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）今年我县提倡六城建设，某社区有一个正方形空地，准备把此正方形空地分成面积相等的四部分，分别种植四种不同的花草，请你运用所学的知识，设计三种不同的方案．（画出即可）    【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形对边平行且相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分．根据正方形的性质，即可解答． 【详解】解：如图①，连接该正方形的两条对角线，则正方形被分为4个全等的等腰直角三角形； 如图②，连接该正方形对边中点，则正方形被分为4个全等小正方形； 如图③，连接该正方形一组对边的4等分点，则正方形被分为4个全等矩形．    19．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图所示，在矩形中，，是对角线，过顶点作的平行线与的延长线相交于点，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题综合考查了平行四边形及矩形的性质．首先根据平行四边形的性质及矩形中对角线相等的性质求证出四边形是矩形，然后求得，所以是等腰三角形． 【详解】证明：∵是矩形， ∴, ∵， 四边形是平行四边形． ． 四边形是矩形， ． ． 是等腰三角形． 20．（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）如图，为菱形的高，请仅用无刻度的直尺按要求画图．（不写画法，保留画图痕迹）． (1)在图1中，过点画出边上的高； (2)在图2中，过点画出边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了应用与设计作图以及菱形的性质的运用，解题时注意：菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （1）连接菱形的对角线，交于，连接并延长交于； （2）连接菱形对角线，交于点，连接并延长，交于，连接即可． 【详解】（1）如图1所示，线段即为所求； （2）如图2所示，线段即为所求． 21．（2023·山西运城·二模）如图，在菱形中，对角线和相交于点．    (1)实践与操作：过点作交的延长线于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）以点为圆心，为半径，画弧交的延长线于点，连接，再根据菱形的性质，平行四边形的判定，即可； （2）根据菱形的性质，得，；根据，，即可． 【详解】（1）如下如：即为所求， 以点为圆心，为半径，画弧交的延长线于点，连接， 证明： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴．    （2）∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是上的中线， ∴． 【点睛】本题考查菱形、平行四边形和直角三角形的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，直角三角形的中线，平行四边形的判定和性质． 22．（23-24八年级下·河南许昌·期中）如图，在四边形中，，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：）， (1)t为何值时，四边形为平行四边形，请说明理由． (2)t为何值时，四边形为矩形，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定： （1）根据题意可得，要证明四边形是平行四边形，则要有，据此求解即可； （2）根据题意可得，，要证明四边形是矩形，则要有，据此求解即可． 【详解】（1）解：当时，四边形为平行四边形，理由如下： 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形为矩形，理由如下： 当时，， ∴， ∴， 同理可证明， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形． 23．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，在中，，是斜边上的中线，点E是的中点，过A作交的延长线于点F，连结． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，四边形的面积是30，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明，得，结合斜边上的中线等于斜边的一半，得出，因为，证明四边形是平行四边形，因为，所以证明四边形是菱形； （2）先证明四边形是平行四边形，得出，由四边形是菱形，得出，把代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：连接，如图所示： 由（1）知 ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∵，菱形的面积是30， ∴ ∴ ∴． 24．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图所示，点是矩形的边的中点，点是边上一动点，，，垂足分别为点，． (1)当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形为矩形？猜想并说明理由． (2)在（1）中，当点运动到什么位置时，矩形为正方形，为什么？ 【答案】(1)矩形的长与宽满足时，四边形为矩形．理由见详解 (2)当点运动到的中点时，矩形变为正方形．理由见详解 【分析】（1）若，加上点为的中点， 则，于是可判断和为全等的等腰直角三角形， 易得，然后利用可判断四边形为矩形； （2） 若点为的中点， 则为等腰三角形的顶角的平分线， 根据角平分线的性质得，然后根据正方形的判定方法可判断矩形变为正方形 ． 本题考查了正方形的判定： 先判定四边形是矩形， 再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形， 再判定这个矩形有一个角为直角 ． 也考查了矩形的判定于性质 ． 【详解】（1）解：矩形的长与宽满足时，四边形为矩形．理由如下： ，点为的中点， ， 和为全等的等腰直角三角形， ，， ， ，， ， 四边形为矩形； （2）解：当点运动到的中点时，矩形变为正方形．理由如下： 点为的中点， 为等腰三角形的顶角的平分线， ， 矩形变为正方形 ． 25．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，已知正方形ABCD，请仅用无刻度直尺，完成以下作图（保留作图痕迹，不写画法） (1)在图1中，点E、F、G、H、I、J、K、L是正方形各边的三等分点，请利用上述三等分点的其中两个点，画一条直线，使其与直线HL将正方形面积四等分； (2)在图2中，与相交于点O，点P、点Q分别在边上，且，画出四边形（M点在线段上）．使得四边形的面积等于正方形面积的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的对称性和面积等关系，熟练正方形的对称性是解题的关键． 由正方形的性质可知，由正方形的中心对称性可知直线和直线将正方形的面积四等分； 根据中心对称性找到点和点关于点的中心对称点，连接，找到与对角线的交点，过该交点作的垂线，则交点即为所求点． 【详解】（1）解：如图1，直线，即为所求；             (图1)                              (图2) 由正方形的性质可知与垂直，利用正方形的中心对称性质得到直线与直线将正方形面积四等分； （2）如图2所示，四边形MOPC，即为所求． 连接交于，延长交于，延长交于，连接交于，然后延长交于，则四边形即为所求． 学科网（北京）股份有限公司 $$