2.8 零点定理（讲义）-2025年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

2.8 零点定理 考点一 零点 【例1-1】（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数的零点是（    ） A．2 B． C．-2 D．2或-1 【例1-2】（2023·广东茂名·一模）e是自然对数的底数，的零点为 . 【一隅三反】 1．（2023·陕西西安·模拟预测）函数的零点为（    ） A． B．2 C． D． 2．（2023·吉林·模拟预测）已知是函数的一个零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西西安·一模）函数的零点为（    ） A．4 B．4或5 C．5 D．或5 考点二 零点区间 【例2】（2023·河北·模拟预测）已知函数有一个零点，则属于下列哪个区间（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024·海南）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 2．（2024山东济南·期中）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江西）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 考点三 根据零点区间求参 【例3】（2023·山西阳泉·三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024·宁夏银川·三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024陕西汉中·期末）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024浙江杭州）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点四 零点的个数 【例4-1】（2024·重庆·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例4-2】（2024·山西·模拟预测）方程的实数根的个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【例4-3】（2024·全国·模拟预测）设是定义在上的奇函数，且当时，，则的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例4-4】（2024·福建漳州·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 【一隅三反】 1．（2024海南海口·阶段练习）已知函数，若b是a与c的等比中项，则的零点个数为（    ） A．0 B．0或1 C．2 D．0或1或2 2．（2023·河南·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2024·四川雅安·一模）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·山东·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，当时，，则在上的零点个数为（    ） A．10 B．15 C．20 D．21 5．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知方程的解个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点五 根据零点个数求参 【例5-1】（2024·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 【例5-2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数在有且仅有两个零点，且，则图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【例5-3】．（2024·辽宁·一模）已知函数，若关于的方程有五个不等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024·四川成都·二模）已知函数，若存在m使得关于x的方程有两不同的根，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，．若有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·吉林·模拟预测）已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为 ． 5．（2024全国·模拟预测）已知函数，若函数仅有1个零点，则实数的取值范围为 . 6．（2024·陕西西安·一模） ，若有两个零点，则的取值范围是 . 7（2024广东珠海·阶段练习）已知函数求使方程的实数解个数为3时取值范围 ． 考点六 比较零点的大小 【例6】（2024·安徽）已知函数，，的零点分别为a，b，c则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024·海南·模拟预测）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江西·模拟预测）已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 3．（2014·山东·一模）已知函数，，的零点分别为，，，则（    ）． A． B． C． D． 4．（2024·湖南）若，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 考点七 零点之和 【例7-1】（2024山东枣庄·期末）已知，则的零点之和为（    ） A． B． C． D． 【例7-2】（2023·江苏苏州·模拟预测）已知函数，则直线与的图象的所有交点的横坐标之和为（    ） A． B． C． D． 【例7-3】（2024·黑龙江佳木斯）已知函数，则函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【一隅三反】 1．（2024·江西萍乡 ）已知函数，则的所有零点之和为（ ） A． B． C． D． 2．（2023·江西·模拟预测）函数在区间上的零点设为…，，则（    ） 3．（2024·四川自贡·一模）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上所有零点的和为（    ） A．16 B．32 C．36 D．48 考点八 零点的取值范围 【例8-1】（2024河北衡水）设方程有两个不等的实根和，则（　   　） A． B． C． D． 【例8-2】（2023·上海嘉定·三模）已知函数，若满足（、、互不相等），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例8-3】（2024·陕西西安·一模）已知函数，若存在实数满足，则错误的是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（23-24高三下·湖南·阶段练习）设方程的两根为，，则（    ） A．， B． C． D． 2．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数，函数有三个不同的零点，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川南充·模拟预测）函数的零点为，函数的零点为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川成都·二模）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·福建漳州）已知函数，若函数恰有5个零点，且，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点九 二分法 【例9-1】（2024山西）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表： 那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（    ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【例9-2】（2024安徽黄山）求下列函数的零点，可以采用二分法的是（  ） A． B． C． D． 【例9-3】（2024·黑龙江）用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到）为（参考数据： ） A．2.4 B．2.5 C．2.6 D．2.56 【一隅三反】 1．（2024山西·阶段练习）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表： 那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（    ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 2．（2024安徽黄山）求下列函数的零点，可以采用二分法的是（  ） A． B． C． D． 3．（2024·黑龙江哈尔滨）用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到）为（参考数据： ） A．2.4 B．2.5 C．2.6 D．2.56 1． 单选题 1．（2024黑龙江）用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到）为（参考数据： ） A．2.4 B．2.5 C．2.6 D．2.56 2．（2024·广东·模拟预测）函数在开区间的零点个数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024湖南长沙 ）函数在区间上所有零点的和等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）设，函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河北·模拟预测）函数在区间内所有零点的和为（    ） A．0 B． C． D． 6．（2024湖南邵阳）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则这6个零点之和为（    ） A．7 B．6 C． D． 7．（2023·陕西安康·模拟预测）已知，若函数有两个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）设函数若关于的方程有四个实根，则的最小值为（    ） A． B．23 C． D．24 2． 多选题 9．（2024云南玉溪）已知函数的所有零点从小到大依次记为，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·福建三明）已知函数在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a的取值可以为（    ） A．－1 B．2 C．3 D．4 11．（2023·河北·模拟预测）（多选）已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 3． 填空题 12．（2024·江苏镇江·模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，则 ． 13．（2024·陕西西安）函数的所有零点之和为 . 14．（2024湖南长沙·阶段练习）已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是 ． 4． 解答题 15．（2024·陕西）已知函数． (1)求及函数的定义域； (2)求函数的零点． 16（2024安徽）已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围. 17．（2024·湖南·二模）已函数，其图象的对称中心为. (1)求的值； (2)判断函数的零点个数. 18．（2024·安徽）已知函数（其中）为偶函数. (1)求实数的值； (2)讨论函数的零点情况. 19．（2024·河南）已知函数为上的偶函数，为上的奇函数，且，记. (1)求的最小值； (2)解关于的不等式； (3)设，若的图象与的图象有2个交点，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.8 零点定理 考点一 零点 【例1-1】（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数的零点是（    ） A．2 B． C．-2 D．2或-1 【答案】A 【解析】由题意令，因为，所以，即. 故选：A. 【例1-2】（2023·广东茂名·一模）e是自然对数的底数，的零点为 . 【答案】/ 【解析】由得， 因为，所以， 当且仅当，即，取等号， 令，， 令解得；令解得， 所以在单调递增，在单调递减，所以， 所以要使，只能，，所以零点为，故答案为:. 【一隅三反】 1．（2023·陕西西安·模拟预测）函数的零点为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】令，得，则．故选：A 2．（2023·吉林·模拟预测）已知是函数的一个零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是函数的一个零点，所以，即，故， 则．故选：D． 3．（2024·陕西西安·一模）函数的零点为（    ） A．4 B．4或5 C．5 D．或5 【答案】C 【解析】由题意可得：，解得，故的定义域为， 令，得，则，解得或， 又∵，所以．故选：C. 考点二 零点区间 【例2】（2023·河北·模拟预测）已知函数有一个零点，则属于下列哪个区间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知在上单调递增， ∵，，， 又，∴，即在上存在使得. 故选：B. 【一隅三反】 1．（2024·海南）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知函数在上单调递增， 又，， 由函数的零点存在定理可知，函数的零点所在的一个区间是． 故选：C 2．（2024山东济南·期中）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于均为增函数，所以为定义域上的增函数， ,根据零点存在定理, 零点在区间内.故选：C 3．（2024·江西）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数， 对A，，，故A错误； 对B，，由选项A知，所以，故B正确； 对C，，由选项B知，，故C错误； 对D，，由选项C知，，故D错误. 故选：B. 考点三 根据零点区间求参 【例3】（2023·山西阳泉·三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增， 因为函数在区间存在零点， 所以，即，解得， 所以实数m的取值范围是. 故选：B. 【一隅三反】 1．（2024·宁夏银川·三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若函数在区间上存在零点， 由函数在的图象连续不断，且为增函数， 则根据零点存在定理可知，只需满足， 即， 解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 2．（2024陕西汉中·期末）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题得在区间上恒成立， 所以函数在区间上为增函数， 所以，， 可得. 故选：C. 3．（2024浙江杭州）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知：函数单调递增，若 一个零点在区间内，则需：， 即，解得， 故选：C. 考点四 零点的个数 【例4-1】（2024·重庆·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【解析】由题意可知：要研究函数的零点个数，只需研究函数，的图像交点个数即可.画出函数，的图像， 因为时，，时，，时，， 可知当和时，图像各有一个交点，时，必有一个交点， 且交点为，及第二象限的点C.     故选：D 【例4-2】（2024·山西·模拟预测）方程的实数根的个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解析】设，．在同一直角坐标系内画出与的大致图象， 当时，；当时，． 根据图象可得两个函数共有11个交点． 故选：C． 【例4-3】（2024·全国·模拟预测）设是定义在上的奇函数，且当时，，则的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】依题意，作出函数与的图象，如图， 可知两个函数的图象有两个不同交点，即此时有两个零点； 又函数是定义域为的奇函数，故当时，也有两个零点， 函数是定义域为的奇函数，所以，即也是函数的1个零点， 综上所述，共有5个零点． 故选：D． 【例4-4】（2024·福建漳州·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【解析】依题意，函数零点的个数，即为方程解的个数， 令，则，当时，，令，， 函数在上单调递增，于是函数在上单调递增， 又，，则存在，使得； 当时，，解得或， 作函数的大致图象，如图：      又，则， 当时，，由的图象知，方程有两个解； 当时，，由的图象知，方程有两个解； 当，时，，由的图象知，方程有一个解， 综上所述，函数的零点个数为5. 故选：B 【一隅三反】 1．（2024海南海口·阶段练习）已知函数，若b是a与c的等比中项，则的零点个数为（    ） A．0 B．0或1 C．2 D．0或1或2 【答案】A 【解析】由b是a与c的等比中项，得，， 方程的判别式，因此方程无实根， 所以的零点个数为0.故选：A 2．（2023·河南·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】由，得，因此函数的零点即为函数与的图象交点横坐标，在同一坐标系内作出函数与的图象，如图，      观察图象知，函数与的图象有唯一公共点， 所以函数的零点个数为1.故选：B 3．（2024·四川雅安·一模）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】   设，设，则. 又，所以1是函数的一个零点； 因为，，所以，. 又，，所以，. 根据零点的存在定理，可知，，使得，即是函数的一个零点； 因为，，所以，. 又，，所以，. 根据零点的存在定理，可知，，使得，即是函数的一个零点. 结合函数图象以及的增长速度可知，当或时，函数没有零点. 综上所述，函数的零点为1，，，共3个零点.故选：C. 4．（2024·山东·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，当时，，则在上的零点个数为（    ） A．10 B．15 C．20 D．21 【答案】D 【解析】因为，令，得到， 所以，从而有，又函数是定义在上的奇函数， 所以，即，所以函数的周期为， 令，则，又当时，， 所以，得到， 故，又，所以在上的图像如图， 又当时，由，得到，当，由，得到，即， 又，所以， ，， 又由，得到，即， 所以， 再结合图像知，在上的零点个数为21个， 故选：D. 5．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知方程的解个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】易知不是方程的解，所以方程等价于， 构造函数， ，所以在上单调递增， 又，所以方程在区间上有且仅有一个解， ，所以方程在区间上有且仅有一个解， 所以方程的解的个数为，即方程的解个数为. 故选：C. 考点五 根据零点个数求参 【例5-1】（2024·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 【答案】D 【解析】由函数， 若，可得，令，即，解得，符合题意； 若，令，即，可得， 当时，即，解得，此时，解得，符合题意； 当时，即且，则满足， 解得且， 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 综上可得，实数的取值范围为或. 故选：D. 【例5-2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数在有且仅有两个零点，且，则图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数在有且仅有两个零点， 得，解得，则， 又，而，当时，，， 由，得，当时，， 即函数在有3个零点，不符合题意， 因此是函数图象的一条对称轴，即，解得， 当时，，当时，，均不符合题意； 当时，，得，则图象的对称轴为. 故选：C 【例5-3】．（2024·辽宁·一模）已知函数，若关于的方程有五个不等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 当时，函数在上单调递减，且，，当时， 当时，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 可得的大致图象如下所示： 令，则化为， 当时无解，则无解； 当时，解得，由图可知有两解，即有两解； 当时有一解且，又有一个解，即有一解； 当时有两个解，即、， 又有一个解，有两个解，所以共有三个解； 当时有三个解，即，，， 无解，有三个解，有两个解， 所以共有五个解； 当时有两个解，即，， 有三个解，有两个解， 所以共有五个解； 综上可得的取值范围是. 故选：C 【一隅三反】 1．（2024·四川成都·二模）已知函数，若存在m使得关于x的方程有两不同的根，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数，可得函数在，上为增函数， 当时，，当时，， 若存在m使得关于x的方程有两不同的根，只需， 解得或，所以t的取值范围为. 故选：B． 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，．若有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知当时，， 令可得：；令可得：；， 故在上单调递减，在上单调递增， ，且当时，， 当趋近于负无穷时，趋近于0； 当时，图象的对称轴为直线，． 故作出的大致图象如图所示． 令，数形结合可知要使有5个零点， 需使方程有2个不同的实数根，且，或． ①若，，则，不成立，舍去． ②若，，则，解得． 当时，方程为，解得或，不符合方程2个根的取值范围，舍去． 故实数的取值范围为． 故选：A． 3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，当时，， 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且，当时，． 当时，当时，， 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且． 作出函数的大致图象，如图所示， 由图象可知，是函数的零点，要使函数有两个不同的零点，则方程有两个不相等的实数根，等价于有1个非零实数根. 由图可知或或，即. 故选：C． 4．（2024·吉林·模拟预测）已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题意知函数在区间上有且仅有一个零点， 故函数的最小正周期, 又，则，而， 当时，即时，需有，即，此时； 当时，即时，，此时函数在上无零点，不合题意； 当时，即时，需有，即，此时； 当时，即时，，此时函数在上有一零点，符合题意； 当时，即时，需有，即，此时； 综合上述，得的取值范围为， 故答案为： 5．（2024全国·模拟预测）已知函数，若函数仅有1个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】令，则，作出函数的大致图象如图所示， 当时，， 观察可知，当或时，函数的图象与直线仅有一个交点， ∴实数的取值范围为. 故答案为： 6．（2024·陕西西安·一模） ，若有两个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】易知函数在R上增函数，函数在上减函数， 所以，当时，，当时，， 于是函数的值域为， 又函数的在上单调递增，在上单调递减， 函数图象如图所示： 设，由可知，，则. 因为有两个零点，所以，即， 于是，则方程，即有两个零点， 所以，由的图象可知，使方程有两个零点， 则满足，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 7（2024广东珠海·阶段练习）已知函数求使方程的实数解个数为3时取值范围 ． 【答案】 【解析】当时，函数在是递减，函数值集合为， 在上递增，函数值集合为，当时，是增函数，函数值集合为R， 方程的实数解个数，即为函数与直线的交点个数， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象，当时，直线与函数的图象有3个交点， 所以方程的实数解个数为3时取值范围是. 故答案为： 考点六 比较零点的大小 【例6】（2024·安徽）已知函数，，的零点分别为a，b，c则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，， 由得，由得. 在同一平面直角坐标系中画出、、的图象， 由图象知，，. 故选：D 【一隅三反】 1．（2024·海南·模拟预测）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，即， 由题意可知：为与的交点横坐标； 为与的交点横坐标； 为与的交点横坐标； 在同一平面直角坐标系中作出的图象，    由图可得：. 故选：D. 2．（2024·江西·模拟预测）已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知条件得 的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标， 在同一坐标系分别画出，，，的函数图象，如下图所示, 可知， 故选：. 3．（2014·山东·一模）已知函数，，的零点分别为，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，，的零点，即为与，，的交点， 作出与，，的图象，    如图所示，可知 故选：C 4．（2024·湖南）若，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】做出函数的图象， 根据图象可得，. 故选：B. 考点七 零点之和 【例7-1】（2024山东枣庄·期末）已知，则的零点之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 则，所以， 即， 所以或， 解得：或， 因为，所以，或， 所以的零点之和为， 故选：C. 【例7-2】（2023·江苏苏州·模拟预测）已知函数，则直线与的图象的所有交点的横坐标之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 令，， 则函数的定义域为，其最小正周期为， ， 所以，函数的图象关于点对称， 函数的定义域为， 对任意的，， 所以，函数的图象也关于点对称， 因为函数、在上均为增函数， 则函数在上也为增函数，如下图所示： 由图可知，函数、的图象共有六个交点，其中这六个点满足三对点关于点对称， 因此，直线与的图象的所有交点的横坐标之和为. 故选：C. 【例7-3】（2024·黑龙江佳木斯）已知函数，则函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】， 令，则， 令， 因为，， 所以函数得图象关于对称， 因为，所以函数在上递增， 令，则， 所以函数在上递增， 所以函数在上增长得速度越来越快， ，， 如图，作出函数的图象， 由图可知，函数的图象有三个交点，设这三个交点依次为， 则， 所以函数有三个交点，且， 即函数的所有零点之和为3. 故选：D. 【一隅三反】 1．（2024·江西萍乡 ）已知函数，则的所有零点之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】时，由得，时，由得或， 所以四个零点和为．故选：D． 2．（2023·江西·模拟预测）函数在区间上的零点设为…，，则（    ） A．6 B．18 C．12 D．16 【答案】B 【解析】由 得，即， ∵与均关于点对称， 由图可知，两函数有个交点，不妨设为， 根据对称性得， 故函数在上所有零点之和为． 故选B． 3．（2024·四川自贡·一模）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上所有零点的和为（    ） A．16 B．32 C．36 D．48 【答案】A 【解析】依题意，是定义在上的奇函数，图象关于原点对称， 由于，所以的图象关于对称， ， 所以是周期为的周期函数. 令，得， 函数的图象关于对称，的图象也关于点对称， 画出函数和的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有个交点，且交点关于对称， 所以所有零点和为. 故选：A 考点八 零点的取值范围 【例8-1】（2024河北衡水）设方程有两个不等的实根和，则（　   　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据对数函数的定义域可知：，不妨设由得，则①，②，②-①得 ，故选D. 【例8-2】（2023·上海嘉定·三模）已知函数，若满足（、、互不相等），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出函数的图象，如图所示：    不妨设， 因为， 由函数的性质得，，即， 所以， 故选：D 【例8-3】（2024·陕西西安·一模）已知函数，若存在实数满足，则错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 故的图象如图所示， 考虑直线与图象的交点， 则，且，，故BD正确. 由可得即， 整理得到，故C正确. 又， 由可得，但，故， 故，故A错误. 故选：A. 【一隅三反】 1．（23-24高三下·湖南·阶段练习）设方程的两根为，，则（    ） A．， B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，，由得， 如图画出函数和的图象，两个函数有2个交点， 令，则，，， 由，得，，故A错； 由，得， 由，，得， 即，所以，故C对，B错， 由，，所以，D错误. 故选：C 2．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数，函数有三个不同的零点，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出函数的图象如图， 不妨设，则有三个不同的根，则， 当时，，得，则， 当时，，，则， 设（），则， 所以在上单调递增， 所以，即的取值范围是. 故选：C． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 方程的根是直线与函数图象交点的横坐标， 方程有四个根，即直线与函数图象有4个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 观察图象知，，，AD正确； 显然，而，则，即，， ，B正确； 显然，，C错误. 故选：C 4．（2024·四川南充·模拟预测）函数的零点为，函数的零点为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，，， 令，则， 又因为与互为反函数， 所以、分别与的的交点关于对称， 所以，即：， 又因为，， 所以由零点存在性定理可知，， 又因为，即， 所以， 对于A项，因为，， 所以，故A项错误； 对于B项，因为，所以， 又因为，， 所以，故B项正确； 对于C项，因为，，所以，故C项错误； 对于D项，因为， ，， 所以，故D项错误. 故选：B. 5．（2024·四川成都·二模）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，，，， 又函数对称轴为， 在同一平面直角坐标系中画出与的图象， 因为方程有四个不同的解，，，，且， 即与有四个交点，所以， 由图可知， 又，关于对称，即， 又，且， 即，则， 所以，则； 所以， 令，， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 又，， 所以， 即． 故选：D． 6．（2024·福建漳州）已知函数，若函数恰有5个零点，且，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，此时，， 令，解得：，令，解得：， 可得在上单调递减且恒负，在上单调递增且恒负，且， 当时，，作出的大致图象如图所示， 函数恰有5个零点， 等价于方程有5个不同的实数根， 解得：或，，该方程有5个根， 且，则，， 当时，， ，故， 所以 ； 当时，， ，故， 所以 ， 综上：的取值范围是：. 故选：B. 考点九 二分法 【例9-1】（2024山西）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表： 那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（    ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】C 【解析】根据二分法，结合表中数据， 由于 所以方程的一个近似根所在区间为 所以符合条件的解为1.4 故选:C. 【例9-2】（2024安徽黄山）求下列函数的零点，可以采用二分法的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不是单调函数，，不能用二分法求零点； 是单调函数，，能用二分法求零点； 不是单调函数，，不能用二分法求零点； 不是单调函数，，不能用二分法求零点. 故选：B 【例9-3】（2024·黑龙江）用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到）为（参考数据： ） A．2.4 B．2.5 C．2.6 D．2.56 【答案】C 【解析】由题意可知：f（2.5）=lg2.5+2.5-3=0.398-0.5<0， f（2.5625）=lg2.5625+2.5625-3=0.409-0.4375<0， f（2.75）=lg2.75+2.75-3=0.439-0.25>0 又因为函数在（0，+∞）上连续，所以函数在区间（2.5625，2.75）上有零点． 故选：C． 【一隅三反】 1．（2024山西·阶段练习）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表： 那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（    ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】C 【解析】根据二分法，结合表中数据， 由于 所以方程的一个近似根所在区间为 所以符合条件的解为1.4 故选:C. 2．（2024安徽黄山）求下列函数的零点，可以采用二分法的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不是单调函数，，不能用二分法求零点； 是单调函数，，能用二分法求零点； 不是单调函数，，不能用二分法求零点； 不是单调函数，，不能用二分法求零点. 故选：B 3．（2024·黑龙江哈尔滨）用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到）为（参考数据： ） A．2.4 B．2.5 C．2.6 D．2.56 【答案】C 【解析】由题意可知：f（2.5）=lg2.5+2.5-3=0.398-0.5<0， f（2.5625）=lg2.5625+2.5625-3=0.409-0.4375<0， f（2.75）=lg2.75+2.75-3=0.439-0.25>0 又因为函数在（0，+∞）上连续，所以函数在区间（2.5625，2.75）上有零点． 故选：C． 1． 单选题 1．（2024黑龙江）用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到）为（参考数据： ） A．2.4 B．2.5 C．2.6 D．2.56 【答案】C 【解析】由题意可知：f（2.5）=lg2.5+2.5-3=0.398-0.5<0， f（2.5625）=lg2.5625+2.5625-3=0.409-0.4375<0， f（2.75）=lg2.75+2.75-3=0.439-0.25>0 又因为函数在（0，+∞）上连续，所以函数在区间（2.5625，2.75）上有零点． 故选：C． 2．（2024·广东·模拟预测）函数在开区间的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】法一： ， ， 令，则或， 即：或或， 如图所示： 由图像可知， 函数共8个零点. 法二：因为， 由，得，或， 所以，或，即，或，， 因为， 所以，或共个零点. 故选：D 3．（2024湖南长沙 ）函数在区间上所有零点的和等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】因为， 令，则， 则函数的零点就是函数的图象和函数的图象在交点的横坐标， 可得和的函数图象都关于直线对称， 则交点也关于直线对称，画出两个函数的图象，如图所示. 观察图象可知，函数的图象和函数的图象在上有8个交点， 即有8个零点，且关于直线对称， 故所有零点的和为. 故选：D 4．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）设，函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分别令， 则， 则分别为函数与函数图象交点的横坐标， 分别作出函数的图象，如图所示，    由图可知，. 故选：A. 5．（2024·河北·模拟预测）函数在区间内所有零点的和为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意， ， 由，得或或（不符合题意，舍去）， 函数是偶函数，在上的所有零点关于数0对称，它们的和为0， 正弦函数的周期为，方程在的两根和为， 在上的两根和为，因此在上 的两根和构成首项为，末项为的等差数列，共有项，所有根的和为. 故选：B 6．（2024湖南邵阳）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则这6个零点之和为（    ） A．7 B．6 C． D． 【答案】B 【解析】由函数的图象，经过翻折变换，可得函数的图象， 再经过向右平移1个单位，可得的图象， 最终经过翻折变换，可得的图象，如下图： 则函数的图象关于直线对称， 求函数的零点，等价于解， 由题意可得，方程存在两个不等的实数根，则或，， 根据函数的对称性，可得六个零点，分为三组关于直线对称， 所以这6个零点之和为， 故选：B. 7．（2023·陕西安康·模拟预测）已知，若函数有两个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，令，得， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 故当时，有最大值， 而， 由此可知当时，，当时，， 若函数有两个不同的零点， 结合零点存在定理可知的最大值， 又，所以，所以， 解得，所以，即的取值范围是. 故选：B. 8．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）设函数若关于的方程有四个实根，则的最小值为（    ） A． B．23 C． D．24 【答案】B 【解析】做出函数的图象如图所示，    由图可知，当时，的对称轴为， 所以， 若关于的方程有四个实根， 则， 由，可得或， 所以，又因为， 所以，故，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 2． 多选题 9．（2024云南玉溪）已知函数的所有零点从小到大依次记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】令， 在同一直角坐标系，画出两个函数图象如下图所示： 由图可知共有20个交点，故，则A正确，B错误； 又函数的图象都关于对称，则， 故，则C正确，错误， 故选：AC 10．（2024·福建三明）已知函数在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a的取值可以为（    ） A．－1 B．2 C．3 D．4 【答案】ABC 【解析】，设 则在上， 与有相同的零点. 故函数在区间内没有零点,即在区间内没有零点 当时，在区间上恒成立,则在区间上单调递增. 所以，显然在区间内没有零点. 当时, 令，得，令，得 所以在区间上单调递减增.在区间上单调递增. 所以 设，则 所以在上单调递减,且 所以存在，使得 要使得在区间内没有零点，则 所以 综上所述，满足条件的的范围是 由选项可知：选项ABC可使得在区间内没有零点，即满足题意. 故选：ABC 11．（2023·河北·模拟预测）（多选）已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】BC 【解析】由题意可知： 当时，在上单调递减，则； 当时，在上单调递增，则； 若函数恰好有4个不同的零点， 令，则有两个零点，可得： 当时，则，解得； 当时，则，可得； 可得和均有两个不同的实根， 即与、均有两个交点， 不论与的大小关系，则，且，解得， 综上所述：实数的取值范围为. 且，故A、D错误，B、C正确. 故选：BC.    3． 填空题 12．（2024·江苏镇江·模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，则 ． 【答案】2 【解析】由，得， 函数与互为反函数， 在同一坐标系中分别作出函数，，的图象， 如图所示，则，，由反函数性质知A，B关于对称， 则，. 故答案为：. 13．（2024·陕西西安）函数的所有零点之和为 . 【答案】 【解析】由，可得，令， 可得函数与的图象都关于直线的对称， 在同一坐标系内作出函数与的图象，如图所示， 由图象可得，函数与的图象有6个公共点， 其横坐标依次为， 这6个点两两关于直线的对称，所以， 所以， 即函数的所有零点之和为. 故答案为：. 14．（2024湖南长沙·阶段练习）已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】画出函数的图象，如图所示： 方程有四个不同的解，，，，且， 由时，，则与的中点横坐标为，即：， 当时，由于在上是减函数，在上是增函数， 又因为，，则，有， ，又，， 在上递增，故取值范围是． 故答案为：. 4． 解答题 15．（2024·陕西）已知函数． (1)求及函数的定义域； (2)求函数的零点． 【答案】(1)，定义域为(2) 【解析】（1）依题意， 所以，由得， 解得，所以的定义域为. （2）， 则，所以的定义域为， 令得， 所以，，则. 16（2024安徽）已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减. (2) 【解析】（1）当时，由单调递增，知在上单调递增； 当时，有，所以在上单调递增； 当时，是二次函数，最小值点是，故在上单调递减，在上单调递增. 综上，在和上单调递增，在上单调递减. （2）在同一平面直角坐标系中画出函数的图象与直线的图象，如图所示， 由图可知若关于的方程有三个不同的实根， 当且仅当的取值范围是. 17．（2024·湖南·二模）已函数，其图象的对称中心为. (1)求的值； (2)判断函数的零点个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】（1）因为函数的图象关于点中心对称，故为奇函数， 从而有，即， ， ， 所以，解得， 所以； （2）由（1）可知，，，， ①当时，，，所以在上单调递增， ，， 函数有且仅有一个零点； ②当时，，， 有两个正根，不妨设，则， 函数在单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ，， 函数有且仅有一个零点； ③当时，， 令，解得或， 有两个零点； ④当时，，， 有一个正根和一个负根，不妨设， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ，， 函数有且仅有三个零点； 综上，当时，函数有三个零点； 当时，函数有两个零点； 当时，函数有一个零点. 18．（2024·安徽）已知函数（其中）为偶函数. (1)求实数的值； (2)讨论函数的零点情况. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】（1）函数是偶函数且定义域为， 所以有 ， 因为，所以； （2）函数的零点情况等价于 方程的解的情况， 即 令，则 ①当时，，此时方程无解； ②当时，函数开口向上，且恒过定点， 则只有一解，此时方程只有一解； ③当时，函数开口向下，且恒过定点， 函数的对称轴，此时方程无解. 综上，当时函数无零点，当时函数有一个零点. 19．（2024·河南）已知函数为上的偶函数，为上的奇函数，且，记. (1)求的最小值； (2)解关于的不等式； (3)设，若的图象与的图象有2个交点，求的取值范围. 【答案】(1)1 (2) (3) 【解析】（1）由题意知，， 由，得，即， 两式相加，得，所以. 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以. （2）因为，所以为偶函数， 因为， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减. 由，得， 两边平方并整理得，解得， 故不等式的解集为. （3）由题意知，方程有2个不同的实数解， 即方程有2个不同的实数解. 设，则，即有2个不同的正根. ，解得，故的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$