专题1.1 集合的概念【5题型6角度】--【课堂助手】2024-2025学年高一数学讲与练（人教A版2019·必修第一册）

专题1.1 集合的概念（原卷版） 知识点1：集合的概念 2 知识点2：元素与集合的关系 2 题型1：判断元素能否构成集合 3 题型2：元素与集合关系的判断及应用 4 角度1：元素与集合关系的判断 4 角度2：利用元素与集合的关系求参数的值或取值范围 6 题型3：集合相等及其应用 7 角度1：两个集合相等的判断 7 角度2：已知两个集合相等求参数 9 题型4：集合的表示方法及其应用 11 角度1：用列举法和描述法表示集合 11 角度2：确定集合中的元素 13 题型5：与方程相关的集合问题……………………………………………………………………………………15 学习目标导航 关键词 1. 通过实例，了解集合的含义、体会元素与几何的“属于”关系； 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用 （1）集合元素 （2）数集 知识点1：集合的概念 1．元素与集合的概念及表示 （1）元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示 （3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 知识点2：元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 知识点3：集合的表示法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． （1）元素与元素之间必须用“，”隔开；（2）集合中的元素必须是明确的；（3）集合中的元素不能重复；（4）集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 （1）定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为｛x∈A|P（x）}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 题型1：判断元素能否构成集合 【典例1】下列对象中不能构成一个集合的是（    ） A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 方法总结：集合中元素的三个特性的应用 1. 判断指定的一组对象能否构成集合，关键是看这组对象是否满足集合中元素的“确定性”，即能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素. 2. 互异性可确定构成集合元素的个数，并警示我们解题时要注意检验. 3. 无序性提示我们，只要一个集合的元素确定，这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关. 【变式1-1】下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】下列叙述能组成集合的是（　　） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 【变式1-3】下列对象能构成集合的是（    ） A．本班成绩较好的同学全体 B．与10接近的实数全体 C．绝对值小于5的整数全体 D．本班兴趣广泛的学生 题型2：元素与集合关系的判断及应用 角度1：元素与集合关系的判断 【典例2】（多选）已知为非零实数，代数式的值组成的集合A，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 方法总结：判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可，此时应先明确集合是由哪些元素构成的. （2）推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应先明确已知集合中的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件. 【变式2-1】下列所给关系正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】（多选），若，则，那么可以是（　　） A．2 B．4 C．6 D．0 【变式2-3】（多选）下列结论中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 角度2：利用元素与集合的关系求参数的值或取值范围 【典例3】若，则a的值为 . 方法总结：已知元素与集合的关系求参数的思路 当a∈A时，若集合A是用描述法表示的，则a一定满足集合中元素的共同特征，如满足方程(组)、不等式(组)等；若集合A是用列举法表示的，则a一定等于集合A中的某个元素，反之，当a∉A时，结论相反，利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验. 【变式3-1】已知集合，若，则实数 . 【变式3-2】设集合，，已知且，则的取值集合为 【变式3-3】已知是由0，，这三个元素组成的集合，且，则实数为（　　） A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可 题型3：集合相等及其应用 角度1：两个集合相等的判断 【典例4】已知集合，，，，，则（    ） A． B． C． D． 方法总结：判断集合是否相等的两种方法 1.将两个集合中的元素一一列出，进行比较； 2.观察集合中的代表元素是否一致（等价），元素特征是否一致，若一致，则两个集合相等. 【变式4-1】设是有理数，集合，在下列集合中； （1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式4-2】下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【变式4-3】（多选）下列各组中M、P表示不同集合的是（    ） A．， B． C．， D．， 角度2：已知两个集合相等求参数 【典例5】含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 方法总结：已知集合相等求参数的方法 1.只要构成两个集合的元素一样，两个集合就相等，与元素的顺序无关.因而解题的关键就是要寻找两个集合中元素之间的关系，通过列方程或方程组求解. 2.当集合中未知元素不止一个时，要进行分类讨论，求出参数值后要注意检验是否满足集合中元素的互异性 3.一般步骤： （1）确定两个集合中相等的元素； （2）将含参数未明确建立联系的两个集合中的元素分情况讨论，列出含参. 数的方程（组）； （3）解方程（组）求出参数； （4）根据元素的互异性进行检验 【变式5-1】含有三个实数的集合既可表示成又可表示成， . 【变式5-2】含有三个实数的集合既可表示为，也可表示为，则的值为 ． 【变式5-3】已知集合M中含有三个元素2，a，b，集合N中含有三个元素2a,2，b2，且两集合相等，求a，b的值． 题型4：集合的表示方法及其应用 角度1：用列举法和描述法表示集合 【典例6】用适当的方法表示下列集合： (1)大于1且不大于17的质数组成的集合； (2)所有奇数组成的集合； (3)平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合； (4)； 方法总结 1. 表示集合的三种常用方法 （1）列举法：适用于元素个数较少的有限集或元素个数较多但有规律的集合.其方法是把集合中的元素一一列举出来，用“，”隔开，并写在花括号内. （2）描述法：适用于元素具有明显共同特征的集合，其方法是先在花括号里写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化范围）再画一条竖线（“|”），在竖线（“|”）后写出这个集合中元素所具有的共同特征. （3）Venn图法（拓展）：用平面上封闭曲线的内部代表集合. 2. 集合表示相互转换的方法 （1）将描述法转换为列举法时，首先确定集合是由哪些元素组成的，然后将所有元素写在花括号内； （2）将列举法转换为描述法时，首先要明确集合中元素的属性，即把握住集合的代表元素是什么，然后明确元素具有怎样的共同特征，并用恰当的符号语言表达出代表元素所具有的这些共同特征. 3. 用描述法表示集合三注意 （1）表示集合之前，应先通过代表元素确定集合是“点集”还是“数集”. （2）竖线（“|”）前面的x∈R可简记为x；竖线（“|”）不可省略. （3）p(x）可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示. 【变式6-1】用列举法表示下列集合： (1) (2)． 【变式6-2】选择适当方法用符号表示下列用自然语言说明的集合． (1)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (2)由方程的所有整数解组构成的集合． 【变式6-3】集合用列举法可表示为（　　） A． B． C． D． 角度2：确定集合中的元素 【典例7】已知集合，，定义集合，则集合M中所有元素之和是 ． 方法总结：确定集合中元素的方法 1.分析元素特征，明确集合元素是点集、数集，还是其他集合. 2.列举出所有元素，检验集合元素是否满足互异性. 3.若集合中的元素含有参数，则关键是抓住集合中元素的互异性，采用分类讨论的方法进行研究. 【变式7-1】已知集合，，其中，我们把集合记作，若集合中的最大元素是，则的取值范围是 . 【变式7-2】已知若且，则 【变式7-3】由实数，，，，组成的集合中最多含有 个元素． 题型5：与方程相关的集合问题 【典例8】已知集合，其中. (1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合. (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围. 方法总结：根据元素个数求参数的方法 1.正确理解题意，结合元素个数，合理分类讨论. 2.判断形如的方程的实数根个数要分两种情况(a=0和a≠0)讨论，当a≠0时，方程为一元二次方程，可依据根的判别式△判断根的个数情况. 3.把参数的范围合并. 【变式8-1】集合 (1)若A是空集，求a的取值范围． (2)若A中至多一个元素，求a的取值范围． 【变式8-2】已知集合． (1)若A中只有一个元素，求实数a的值，并把这个元素写出来； (2)若A中至多只有一个元素，求实数a的取值范围． 【变式8-3】如果集合至多有一个元素，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 集合的概念（解析版） 知识点1：集合的概念 2 知识点2：元素与集合的关系 2 题型1：判断元素能否构成集合 3 题型2：元素与集合关系的判断及应用 4 角度1：元素与集合关系的判断 4 角度2：利用元素与集合的关系求参数的值或取值范围 6 题型3：集合相等及其应用 7 角度1：两个集合相等的判断 7 角度2：已知两个集合相等求参数 9 题型4：集合的表示方法及其应用 11 角度1：用列举法和描述法表示集合 11 角度2：确定集合中的元素 13 题型5：与方程相关的集合问题……………………………………………………………………………………15 学习目标导航 关键词 1. 通过实例，了解集合的含义、体会元素与几何的“属于”关系； 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用 （1）集合元素 （2）数集 知识点1：集合的概念 1．元素与集合的概念及表示 （1）元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示 （3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 知识点2：元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 知识点3：集合的表示法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． （1）元素与元素之间必须用“，”隔开；（2）集合中的元素必须是明确的；（3）集合中的元素不能重复；（4）集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 （1）定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为｛x∈A|P（x）}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 题型1：判断元素能否构成集合 【典例1】下列对象中不能构成一个集合的是（    ） A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 【答案】A 【分析】根据集合的性质判断各项描述是否能构成集合即可. 【详解】A：比较出名的标准不清，故不能构成集合； B：，方程根确定，可构成集合； C：不小于3的自然数可表示为，可构成集合； D：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合. 故选：A 方法总结：集合中元素的三个特性的应用 1. 判断指定的一组对象能否构成集合，关键是看这组对象是否满足集合中元素的“确定性”，即能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素. 2. 互异性可确定构成集合元素的个数，并警示我们解题时要注意检验. 3. 无序性提示我们，只要一个集合的元素确定，这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关. 【变式1-1】下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据集合的定义判断即可. 【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B 【变式1-2】下列叙述能组成集合的是（　　） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 【答案】C 【分析】根据集合的确定性逐项分析判断. 【详解】对于选项ABD：缺乏统一的判断标准，均不满足确定性，故ABD错误； 对于选项C：中国古代四大发明是确定的，符合确定性，所以能构成集合，故C正确. 故选：C. 【变式1-3】下列对象能构成集合的是（    ） A．本班成绩较好的同学全体 B．与10接近的实数全体 C．绝对值小于5的整数全体 D．本班兴趣广泛的学生 【答案】C 【分析】根据集合的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，成绩较好不是一个确定的概念，不能构成集合，故A不符合； 对于B，与10接近的不是一个确定的概念，不能构成集合，故B不符合； 对于C，绝对值小于5的整数全体是个明确的概念，并且给定一个元素能确定是否属于这个整体，故能构成集合，故C符合； 对于D，兴趣广泛的不是一个确定的概念，不能构成集合，故D不符合. 故选：C. 题型2：元素与集合关系的判断及应用 角度1：元素与集合关系的判断 【典例2】（多选）已知为非零实数，代数式的值组成的集合A，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】对非零实数的符号分情况进行讨论即可求得所有可能的取值为，即可得出结论. 【详解】依题意，当都为正数，代数值等于4； 当中只有一个负数两个正数，代数值为0； 当中只有一个正数两个负数，代数值为0； 当都为负数，代数值为. 故选：CD 方法总结：判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可，此时应先明确集合是由哪些元素构成的. （2）推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应先明确已知集合中的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件. 【变式2-1】下列所给关系正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据常见数集的定义判断即可. 【详解】①是实数，所以①正确； ②是无理数，所以②正确； ③0不是正整数，所以③错误； ④为正整数，所以④错误． 故选：B. 【变式2-2】（多选），若，则，那么可以是（　　） A．2 B．4 C．6 D．0 【答案】AB 【分析】根据题意，利用元素与集合的关系，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】若，则，符合要求； 若，则，符合要求； 若，则，不符合要求； 若，则，不符合要求. 故选：AB. 【变式2-3】（多选）下列结论中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】根据元素与集合的关系一一判定即可. 【详解】在A中，当时，显然不成立． 对于B，当，其平方数仍为整数, 显然不成立； 对于C,当，其绝对值仍为有理数, 正确； 对于D项,当，其立方仍为实数，正确. 故选：AB. 角度2：利用元素与集合的关系求参数的值或取值范围 【典例3】若，则a的值为 . 【答案】 【分析】集合中的元素依次取，求出a值，利用集合元素的性质验证作答. 【详解】因为，则当，即，此时，矛盾， 若，解得，此时，，符合题意，即， 而，即， 所以a的值为. 故答案为： 已知元素与集合的关系求参数的思路 当a∈A时，若集合A是用描述法表示的，则a一定满足集合中元素的共同特征，如满足方程(组)、不等式(组)等；若集合A是用列举法表示的，则a一定等于集合A中的某个元素，反之，当a∉A时，结论相反，利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验. 【变式3-1】已知集合，若，则实数 . 【答案】1 【分析】根据元素与集合的关系，将代入方程中，即可求得答案. 【详解】由，可得， 故答案为：1 【变式3-2】设集合，，已知且，则的取值集合为 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果. 【详解】因为，即， 所以或， 若，则或； 若，即，则或. 由与互异，得， 故或， 又，即，所以，解得且， 综上所述，的取值集合为. 故答案为： 【变式3-3】已知是由0，，这三个元素组成的集合，且，则实数为（　　） A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可 【答案】B 【分析】由题意可知或，求出再检验即可． 【详解】因为，所以或． 当时，，不合题意，舍去； 当时，或，但不合题意，舍去． 综上可知，． 故选：B． 题型3：集合相等及其应用 角度1：两个集合相等的判断 【典例4】已知集合，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的表示，确定集合中的元素，能化简的集合要化简后对比 【详解】解：∵是单元素集，集合中的元素是， ， ， ，集合中的元素是点， . ∴. 故选：D. 方法总结：判断集合是否相等的两种方法 1.将两个集合中的元素一一列出，进行比较； 2.观察集合中的代表元素是否一致（等价），元素特征是否一致，若一致，则两个集合相等. 【变式4-1】设是有理数，集合，在下列集合中； （1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解析】将分别代入（1）、（2）、（3）中，化简并判断与是否一一对应，再举反例判断（4）. 【详解】对于（1），由，得，一一对应，则 对于（2），由，得，一一对应，则 对于（3），由，得，一一对应，则 对于（4），，但方程无解，则与不相同 故选：B 【变式4-2】下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】A 【分析】根据集合的定义和性质逐项判断可得答案 【详解】集合中的元素具有无序性，故A正确； 是不含任何元素的集合，是含有一个元素0的集合，故B错误； 集合，集合，故C错误； 集合中有两个元素，集合中只有一个元素，为方程，故D错误. 故选：A. 【变式4-3】（多选）下列各组中M、P表示不同集合的是（    ） A．， B． C．， D．， 【答案】BD 【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案. 【详解】选项A中，根据集合的无序性可知； 选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P； 选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=，=，故M=P； 选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合，故． 故选：BD． 角度2：已知两个集合相等求参数 【典例5】含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【答案】0 【分析】结合已知条件，利用集合元素的互异性，即可求得本题答案. 【详解】因为，且，所以， 则有， 所以，且，得， 所以， 故答案为：0 方法总结：已知集合相等求参数的方法 1.只要构成两个集合的元素一样，两个集合就相等，与元素的顺序无关.因而解题的关键就是要寻找两个集合中元素之间的关系，通过列方程或方程组求解. 2.当集合中未知元素不止一个时，要进行分类讨论，求出参数值后要注意检验是否满足集合中元素的互异性 3.一般步骤： （1）确定两个集合中相等的元素； （2）将含参数未明确建立联系的两个集合中的元素分情况讨论，列出含参. 数的方程（组）； （3）解方程（组）求出参数； （4）根据元素的互异性进行检验 【变式5-1】含有三个实数的集合既可表示成又可表示成， . 【答案】1 【分析】根据两个集合的相等关系，可求得的值，即可得解. 【详解】由题意可知，两个集合相等，， 由所以只能是，即，所以， 由集合互异性可知，则，解得，符合题意， 所以， 故答案为：1. 【点睛】本题考查了集合相等的应用，由集合互异性和相等求参数，属于基础题. 【变式5-2】含有三个实数的集合既可表示为，也可表示为，则的值为 ． 【答案】0 【分析】根据集合相等和元素的互异性，即可求解得值，得到答案. 【详解】由题意，可得， 根据集合相等和元素的互异性，可得且，解得， 此时集合 所以. 故答案为. 【点睛】本题主要考查了集合相等和运算的互异性的应用，其中解答中熟记集合相等的条件，合理应用元素的互异性求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 【变式5-3】已知集合M中含有三个元素2，a，b，集合N中含有三个元素2a,2，b2，且两集合相等，求a，b的值． 【答案】a＝0，b＝1或a＝ ，b＝ 【详解】试题分析：根据集合相等的条件:元素完全相同，建立方程即可得到a，b的值,要注意检验是否符合集合元素的互异性. 试题解析： 由题意，得或 解得或或 经检验，a＝0，b＝0不合题意；a＝0，b＝1或a＝，b＝合题意． 所以，a＝0，b＝1或a＝，b＝. 题型4：集合的表示方法及其应用 角度1：用列举法和描述法表示集合 【典例6】用适当的方法表示下列集合： (1)大于1且不大于17的质数组成的集合； (2)所有奇数组成的集合； (3)平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）结合质数的概念以及列举法即可求解. （2）由奇数的概念以及描述法即可求解. （3）由描述法即可求解. （4）用列举法即可求解. 【详解】（1）大于1且不大于17的质数组成的集合. （2）所有奇数组成的集合. （3）平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合. （4）. 方法总结 1. 表示集合的三种常用方法 （1）列举法：适用于元素个数较少的有限集或元素个数较多但有规律的集合.其方法是把集合中的元素一一列举出来，用“，”隔开，并写在花括号内. （2）描述法：适用于元素具有明显共同特征的集合，其方法是先在花括号里写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化范围）再画一条竖线（“|”），在竖线（“|”）后写出这个集合中元素所具有的共同特征. （3）Venn图法（拓展）：用平面上封闭曲线的内部代表集合. 2. 集合表示相互转换的方法 （1）将描述法转换为列举法时，首先确定集合是由哪些元素组成的，然后将所有元素写在花括号内； （2）将列举法转换为描述法时，首先要明确集合中元素的属性，即把握住集合的代表元素是什么，然后明确元素具有怎样的共同特征，并用恰当的符号语言表达出代表元素所具有的这些共同特征. 3. 用描述法表示集合三注意 （1）表示集合之前，应先通过代表元素确定集合是“点集”还是“数集”. （2）竖线（“|”）前面的x∈R可简记为x；竖线（“|”）不可省略. （3）p(x）可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示. 【变式6-1】用列举法表示下列集合： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意，分别用列举法表述即可． 【详解】（1），∴或，； （2），，． 【变式6-2】选择适当方法用符号表示下列用自然语言说明的集合． (1)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (2)由方程的所有整数解组构成的集合． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）（2）由集合的表示法即可求解/ 【详解】（1）用描述法：； （2）用列举法： ， 用描述法： 【变式6-3】集合用列举法可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据描述法与列举法的转换即可判定. 【详解】由题意可得， ∴，即用列举法为. 故选：B 角度2：确定集合中的元素 【典例7】已知集合，，定义集合，则集合M中所有元素之和是 ． 【答案】6 【分析】根据集合M的定义列举出M的元素，再求它们的和即可. 【详解】由题设，时，； 时，； 时，； 时，； ∴，故集合M中所有元素之和是6. 故答案为：6 方法总结：确定集合中元素的方法 1.分析元素特征，明确集合元素是点集、数集，还是其他集合. 2.列举出所有元素，检验集合元素是否满足互异性. 3.若集合中的元素含有参数，则关键是抓住集合中元素的互异性，采用分类讨论的方法进行研究. 【变式7-1】已知集合，，其中，我们把集合记作，若集合中的最大元素是，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】解：∵，， ∴集合中的元素分别是， ∵最大元素是， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查集合中元素的特征与解不等式，注意对新定义的理解，属于基础题． 【变式7-2】已知若且，则 【答案】 【分析】由且得到，再结合集合元素的互异性求得可解. 【详解】因为若且，所以， 当时，，此时不符合集合元素的互异性， 当时，或，此时也不符合集合元素的互异性， 当时，， 由 得 ， ，此时 符合集合元素的互异性. （为奇数）， （为偶数） 故答案为 【点睛】本题考查集合元素的互异性质，属于基础题. 【变式7-3】由实数，，，，组成的集合中最多含有 个元素． 【答案】4 【分析】把，，，，分别可化为，，，，，根据集合中元素的互异性，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，可得，此时，，，，分别可化为，，，，，所以由实数，，，，组成的集合中最多含有4个元素． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合中元素的特征的应用，其中解答中熟记集合的表示方法，以及集合中运算的互异性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 题型5：与方程相关的集合问题 【典例8】已知集合，其中. (1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合. (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分类讨论当、时方程根的个数，即可求解； （2）由（1）可得或，再讨论当时的情况即可. 【详解】（1）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根； 若，则当且仅当方程的判别式，即时， 方程有两个相等的实根，此时集合A中有且仅有一个元素， ∴所求集合； （2）集合A中至多有一个元素包括有两种情况， ①A中有且仅有一个元素，由（1）可知此时或， ②A中一个元素也没有，即，此时，且，解得， 综合①②知的取值范围为或. 方法总结：根据元素个数求参数的方法 1.正确理解题意，结合元素个数，合理分类讨论. 2.判断形如的方程的实数根个数要分两种情况(a=0和a≠0)讨论，当a≠0时，方程为一元二次方程，可依据根的判别式△判断根的个数情况. 3.把参数的范围合并. 【变式8-1】集合 (1)若A是空集，求a的取值范围． (2)若A中至多一个元素，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意可知方程无解，可知且，即可解得； （2）由题可得方程至多一个实数根，易知符合题意，当时需满足，即可求得a的取值范围． 【详解】（1）由A是空集可知方程无解， 若，则方程必有解，不合题意； 若，由方程无解可得， 解得； 即a的取值范围为. （2）由A中至多一个元素可知方程至多一个实数根， 若，则方程有一解，符合题意； 若，则方程至多一个实数根， 即可得，解得； 综上可得，a的取值范围为或 【变式8-2】已知集合． (1)若A中只有一个元素，求实数a的值，并把这个元素写出来； (2)若A中至多只有一个元素，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)或 【分析】（1）分和两种情况讨论即可； （2）分集合中没有元素和只有一个元素两种情况讨论即可. 【详解】（1）当时，，解得，此时中仅有一个元素，符合题意， 当时，，解得，此时方程为， 即，此时集合中仅有一个元素． 综上可知，时，集合中只有一个元素， 时，集合A中只有一个元素． （2）若集合中没有元素，即，则，解得， 结合（1）知，当或时， 集合中至多只有一个元素． 因此实数的取值范围是或. 【变式8-3】如果集合至多有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】讨论、，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求参数范围. 【详解】若，此时，符合题意； 若，要使集合至多有一个元素，则，故， 综上，. 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$