精品解析：上海市闵行区六校联合教研2022-2023学年高二下学期期末质量调研数学试题

2022年第二学期“六校联合教研”高二期末质量调研 本试卷共有21道试题，满分150分.考试时间120分钟. 一、填空题（本大题共12题，第1-6题每题４分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 抛物线的焦点坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程直接求出焦点坐标即可. 【详解】因为抛物线标准方程为， 所以焦点坐标为， 故答案为：. 2. 若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的定义和导数的求导法则计算即可． 【详解】∵， ∴，则 ∴， 故答案为：． 3. 若直线的倾斜角为且在轴上的截距为，则直线的一般方程是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】由直线的倾斜角为，可得直线的斜率为， 又由直线在轴上的截距为，所以直线方程为，即. 故答案为：. 4. 某校从高二年级成绩排在前5名的学生中随机选出2人分别参加市级的古诗词和数学奥林匹克竞赛，每种比赛仅派1人去参加，则一共有_________种不同的选法，(用数字回答) 【答案】20 【解析】 【分析】根据题意，可用排列数求解即得. 【详解】依题意，即从5人中选出2人分别参加两项竞赛，故选法数为. 故答案为：20. 5. 若直线与圆相交，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系的判断方法，计算即得. 【详解】依题意，由圆的圆心到直线的距离， 解得，. 故答案为：. 6. 已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意，作出图象，利用正切函数的单调性，结合图象即得. 【详解】 如图，要使过点A的直线与线段BC相交，需使直线的倾斜角介于直线的倾斜角之间， 即需使斜率满足, 因，，故. 故答案为：. 7. 已知双曲线，则双曲线的两条渐近线的夹角是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程，求出对应的渐近线方程，得到斜率，利用两直线的夹角公式，求出渐近线的夹角. 【详解】由题可知，双曲线的渐近线方程为：， 所以两条渐近线的斜率分别为：. 设渐近线的夹角为， 根据两直线夹角公式求得渐近线夹角的正切值为： 所以. 故答案为： 8. 已知圆和圆内切，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】把两圆化为标准方程，得到圆心坐标和半径，由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，列方程解实数的值. 【详解】圆化为标准方程为，圆心，半径， 圆化为标准方程为，圆心，半径， 由两圆外切，有，即，解得. 故答案为： 9. 若椭圆的长轴长、焦距、短轴长成等差数列，则该椭圆的离心率是________. 【答案】##0.8 【解析】 【分析】依题意得到关于的齐次方程，求解即得离心率. 【详解】依题意，成等差数列，则有，， 化简并两边平方可得，， 因，代入整理得，，解得. 故答案为：. 10. 已知点A的坐标为（﹣1，0），点B是圆心为C的圆（x﹣1）2+y2=16上一动点，线段AB的垂直平分线交BC与点M，则动点M的轨迹方程为______． 【答案】=1． 【解析】 【详解】试题分析：利用椭圆的定义判断点M的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，求出a、b的值，即得椭圆的方程． 解：由题意得，圆心C（1，0），半径等于4， 连接MA，则|MA|=|MB|， ∴|MC|+|MA|=|MC|+|MB|=|BC|=4＞|AC|=2， 故点M的轨迹是：以A、C为焦点的椭圆，2a=4，即有a=2，c=1， ∴b=， ∴椭圆的方程为=1． 故答案为=1． 考点：轨迹方程． 11. 如图，是抛物线型拱桥，在平时水面离拱顶3米，水面宽米，由于连续降雨，水位上涨了1米，此时水面宽为_________. 【答案】４米 【解析】 【分析】建立如图的平面直角坐标系，抛物线的方程是标准方程，由已知求得抛物线方程即可求解． 【详解】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为，且， 由题意在抛物线上，则，，即抛物线方程为． 水面上升1米，到位置，即，，， ∴水面宽度为 故答案为：４米． 12. 方程在上至多有两个不同的实根，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】将方程的根的情况转化为两函数图象的交点情况，作出函数的图象，利用数形结合思想即得. 【详解】由可得，设， 依题意函数与在上至多有两个不同的交点. 由可得， 当时，，则在上单调递增； 当或时，，则在和上单调递减. 故时，取得极小值为，时，取得极大值为， 且当时，，当时，，故可作出函数的图象. 由图可得，函数与在上至多有两个不同的交点等价于或. 故实数的取值范围是. 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题４分，第15、16题每题5分，满分18分） 13. 化简：=（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用组合数的性质化简计算得解. 【详解】. 故选：D 14. 已知直线与抛物线交于A、B两点，则弦AB的中点到准线的距离为(（ ）. A 4 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由直线方程与抛物线方程联立消去后利用韦达定理得，从而可得中点横坐标，也即可求得中点到准线的距离． 【详解】由题意抛物线标准方程为，，， ∴焦点为，准线方程为， 直线方程为，代入抛物线方程整理得， 设，则， 设中点为，则， ∴到准线距离为． 故选：A． 15. 已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数在区间(-3，3)内有三个零点 B. 函数是函数的一个极值点 C. 曲线在点(-2，f(-2))处的切线斜率小于零 D. 函数在区间(-1，1)上是严格减函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的图象,可判断原函数的单调性,进而可逐一求解. 【详解】在单调递增，在单调递减，故在区间内至多有两个零点，A错误； 在的左右两侧，故不是极值点，故B错误; 根据图像可知，故在点处的切线斜率等于零，C错误； 在恒成立，故在区间上是严格减函数，故D正确. 故选：D 16. 设函数的图象由方程确定，对于函数给出下列命题: ①对于任意的，恒有成立； ②函数的图象上存在一点，使得 P到原点的距离小于； ③对于任意的，恒成立;以上命题中，真命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论去掉绝对值，作出函数的图象，根据图象以及椭圆，双曲线的性质即可一一判断. 【详解】当时，即，，表示椭圆的第一象限部分图象； 当时，即，，表示双曲线的第四象限部分图象； 当时，即，，表示双曲线在第二象限部分图象； 当时，即，，不表示任何图象. 在同一个坐标系中作出以上图象. 由图可得，函数的图象在R上单调递减，故①错误； 根据椭圆性质可知，椭圆短轴端点到原点的距离最小为， 根据双曲线的性质可知，双曲线的顶点到原点的距离最小为2， 故函数的图象上不存在一点，使得到原点的距离小于，故②错误； 从图象可知，直线的斜率大于双曲线的渐近线的斜率， 所以直线与曲线，有交点，故③错误. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于，按要求去掉绝对值，分段作出函数的图象，结合图象和圆锥曲线的性质进行判断. 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知两条直线:和 （1）若，求实数a的值; （2）若，求与之间的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直的充要条件列出方程解之即得； （2）根据两直线平行的充要条件列出不等式组解之即得 【小问1详解】 由可得，，解得. 此时，，有，故； 【小问2详解】 由可得，解得，. 此时即，，有， 与之间的距离. 18. 有4本不同的科技类书和3本不同的文艺类书，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上 （1）若从这7本书中随机取2本书，则至少取到1本文艺类书的取法有多少种? （2）同一种类的书都互不相邻的概率是多少?(计算结果要化为最简分数) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合间接法，结合组合数的计算公式，即可求解； （2）求得同一种类的书互不相邻的种数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：从这7本书中随机取出2本书，共有种取法， 从4本科技类书中任取2本书，共有种取法， 所以至少取到1本文艺类书的取法，共有种不同的取法. 【小问2详解】 解：把7本书进行全排列，共有种排法， 其中同一种类的书互不相邻，共有种排法， 所以同一种类的书都互不相邻的概率是. 19. 已知椭圆C:的左右两焦点分别为和，右顶点是A，且，. （1）求椭圆C标准方程; （2）若斜率为1的直线交椭圆C于M、N两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得的值，即可求得椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，得到，结合弦长公式，列出方程，求得，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意知，点为椭圆的右顶点，且，， 可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 解：设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 则，且， 可得 ，解得，可得， 所以直线的方程为，即或. 20. 已知函数 （1）若b=0，求函数在x=1处的切线方程； （2）若b=2，求函数的极值; （3）讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出，由可得结果； （2）求得，由可得，判断左右两边导函数的符号，从而可得结果. （3）求得在定义域内，讨论，两种情况，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间. 【小问1详解】 因为，所以 所以， ， ∴函数在处的切线方程为：即. 【小问2详解】 若,则, ， 令， 所以， 当时，在单调递增； 当时，，在单调递减，     当时，有极小值，无极大值. 【小问3详解】 因为, 定义域. 所以，因为， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令， 所以， 当时，在单调递增；当时，，在单调递减. 21. 已知双曲线C的标准方程为.若虚轴长为，且双曲线上的任意一点P到左右两个焦点距离之差的绝对值为2. （1）求双曲线C的标准方程; （2）若点(0，1)，求的取值范围; （3）若斜率为的直线过右焦点，且与C的右支相交于A、B两点，问:在x轴上是否存在定点M，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立?如果存在，求出定点M的坐标;如果不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由已知可得，计算即可求得双曲线C的方程； （2）利用两点间距离公式，结合二次函数性质即可求得结果； （3）由题意，分直线斜率存在与不存在两种情况，设直线方程，联立方程，写韦达定理，根据向量数量积的坐标公式，整理方程，可得答案. 小问1详解】 由题意得，解得，则双曲线． 小问2详解】 设，，则. 所以的取值范围为; 【小问3详解】 存在． 双曲线的右焦点， 当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消y得， 所以，得，且． 设， 假设存在实数m，使得，则对任意恒成立． 所以，解得． 当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立． 综上，存在，使． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022年第二学期“六校联合教研”高二期末质量调研 本试卷共有21道试题，满分150分.考试时间120分钟. 一、填空题（本大题共12题，第1-6题每题４分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 抛物线的焦点坐标是______. 2 若，则_________. 3. 若直线的倾斜角为且在轴上的截距为，则直线的一般方程是_________. 4. 某校从高二年级成绩排在前5名的学生中随机选出2人分别参加市级的古诗词和数学奥林匹克竞赛，每种比赛仅派1人去参加，则一共有_________种不同的选法，(用数字回答) 5. 若直线与圆相交，则实数的取值范围是_________. 6. 已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是______. 7. 已知双曲线，则双曲线的两条渐近线的夹角是_________. 8. 已知圆和圆内切，则实数取值范围是_______. 9. 若椭圆的长轴长、焦距、短轴长成等差数列，则该椭圆的离心率是________. 10. 已知点A的坐标为（﹣1，0），点B是圆心为C的圆（x﹣1）2+y2=16上一动点，线段AB的垂直平分线交BC与点M，则动点M的轨迹方程为______． 11. 如图，抛物线型拱桥，在平时水面离拱顶3米，水面宽米，由于连续降雨，水位上涨了1米，此时水面宽为_________. 12. 方程在上至多有两个不同的实根，则实数的取值范围是_________. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题４分，第15、16题每题5分，满分18分） 13 化简：=（ ）. A. B. C. D. 14. 已知直线与抛物线交于A、B两点，则弦AB的中点到准线的距离为(（ ）. A. 4 B. C. 8 D. 15. 已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数在区间(-3，3)内有三个零点 B. 函数是函数的一个极值点 C. 曲线在点(-2，f(-2))处的切线斜率小于零 D. 函数在区间(-1，1)上是严格减函数 16. 设函数的图象由方程确定，对于函数给出下列命题: ①对于任意的，恒有成立； ②函数的图象上存在一点，使得 P到原点的距离小于； ③对于任意，恒成立;以上命题中，真命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知两条直线:和 （1）若，求实数a的值; （2）若，求与之间的距离. 18. 有4本不同的科技类书和3本不同的文艺类书，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上 （1）若从这7本书中随机取2本书，则至少取到1本文艺类书的取法有多少种? （2）同一种类的书都互不相邻的概率是多少?(计算结果要化为最简分数) 19. 已知椭圆C:的左右两焦点分别为和，右顶点是A，且，. （1）求椭圆C的标准方程; （2）若斜率为1的直线交椭圆C于M、N两点，且，求直线的方程. 20. 已知函数 （1）若b=0，求函数在x=1处的切线方程； （2）若b=2，求函数的极值; （3）讨论函数的单调性. 21. 已知双曲线C的标准方程为.若虚轴长为，且双曲线上的任意一点P到左右两个焦点距离之差的绝对值为2. （1）求双曲线C的标准方程; （2）若点(0，1)，求的取值范围; （3）若斜率为的直线过右焦点，且与C的右支相交于A、B两点，问:在x轴上是否存在定点M，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立?如果存在，求出定点M的坐标;如果不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$