专题14 函数的应用(一)5种常见考法归类（36题）-2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册）

2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题14 函数的应用(一)5种常见考法归类（36题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 一次函数模型的应用 考点二 二次函数模型的应用 考点三 幂函数模型的应用 考点四 分段函数模型的应用 考点五 对勾函数模型 知识点1：常见几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (，为常数，) 二次函数模型 (，，为常数，) 分段函数模型 幂函数模型 (，，为常数，) 知识点2：对勾函数（耐克函数） 1、对够函数（一般模型）：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（，）的函数； ①定义域：； ②是奇函数，图象关于原点对称； ③在，上单调递减；在，上单调递增； ④当时，；当时，； 2、特别的，对勾函数的简易形式：（）其图象如图： ①定义域：； ②（）是奇函数，图象关于原点对称； ③在，上单调递减；在，上单调递增； ④当时，；当时，； 解题策略 1、一次函数模型的特点和求解方法 (1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线． (2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解． 注：(1)一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般情况下可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理． (2)对于一次函数在实际问题中的应用的题目，要认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图象、表格信息确定解析式,同时要特别注意定义域．　 2、利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． (2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符． 3、幂函数模型应用的求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式． (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式．　 4、应用分段函数时的三个注意点 (1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏． (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集． (3)分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论． 5、解决“对勾”函数应用题的关键 解决“对勾”函数f(x)＝ax＋(a>0，b>0)的实际应用问题时，需关注该函数的定义域、单调性(函数f(x)在和上单调递减，在和上单调递增)、值域和图象等．一般通过变形，构造利用基本不等式的条件求最值． 考点一 一次函数模型的应用 1.（2023·高一课时练习）若等腰三角形的周长为20，底边长是关于腰长的函数，则它的解析式为__________________. 2.【多选】（2023·全国·高三专题练习）（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程(km)与时间(min)的关系，下列结论正确的是（    ） A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B．甲从家到公园的时间是30 min C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D．当时，与的关系式为 3.（2024秋·广东广州·高一广州大学附属中学校联考期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元/ 超过但不超过的部分 6元/ 超过的部分 9元/ 若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（    ） A． B． C． D． 4.（2023·广东汕头·高一汕头市第一中学校考期中）在一次数学实践课上，同学们进行节能住房设计，综合分析后，设计出房屋的剖面图（如图所示），屋顶所在直线方程分别是和，为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，那么点的横坐标为 __． 5．（2024秋·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校考开学考试）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉样物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．    (1)求两种玩偶的进货价分别是多少？ (2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 6．（2024秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考开学考试）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的Iphone6手机二月售价比一月每台降价500元，如果卖出相同数量的Iphone6手机，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元. (1)一月Iphone6手机每台售价为多少元? (2)为了提高利润，该店计划三月购进Iphone6s手机销售，已知Iphone6每台进价为3500元，Iphone6s每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案? (3)该店计划4月对Iphone6的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台Iphone6手机再返还顾客现金元，而Iphone6s按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，应取何值? 7．（2024秋·上海崇明·高一统考期末）某公司拟投资开发一种新能源产品，估计公司能获取不低于100万元且不高于1600万元的投资收益．该公司对科研课题组的奖励方案有如下3条要求： ①奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加； ②奖金不低于10万元且不超过200万元； ③奖金不超过投资收益的20%． (1)设奖励方案函数模型为，我们可以用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型，比如方案要求③“奖金不超过投资收益的20%”可以表述为：“恒成立”．请你用用数学语言表述另外两条奖励方案； (2)判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由； (3)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求．在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取多少奖金？ 8．（2024秋·安徽合肥·高一校考期中）车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有辆次，其中电动车保管费是每辆一次元，自行车保管费是每辆一次元． (1)若设停放的自行车的辆次为，总的保管费收入为元，试写出关于的函数关系式 (2)若估计前来停放的辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于，但不大于，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围． 9．（2024·全国·高一假期作业）某商场准备购进A，两种型号电脑，每台A型号电脑进价比每台型号电脑多500元，用40000元购进A型号电脑的数量与用30000元购进型号电脑的数量相同，请解答下列问题： (1)A，型号电脑每台进价各是多少元？ (2)若每台A型号电脑售价为2500元，每台型号电脑售价为1800元，商场决定用不超过35000元同时购进A，两种型号电脑20台，且全部售出，请写出所获的利润（单位：元）与A型号电脑（单位：台）的函数关系式并求此时的最大利润． 考点二 二次函数模型的应用 10.（2023·全国·高三专题练习）劳动实践是大学生学习知识､锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会､回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为件时，售价为元/件，且满足，每天的成本合计为元，请你帮他计算日产量为___________件时，获得的日利润最大，最大利润为___________万元. 11．（2024秋·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）小明今年年初用16万元购进一辆汽车，每天下午跑滴滴出租车，经估算，每年可有16万元的总收入，已知使用x年（）所需的各种费用（维修、保险、耗油等）总计为万元（今年为第一年）. (1)该出租车第几年开始盈利（总收入超过总支出）？ (2)该车若干年后有两种处理方案： ①当盈利总额达到最大值时，以1万元价格卖出； ②当年平均盈利达到最大值时，以10万元卖出. 试问哪一种方案较为合算？请说明理由. 参考数据：，，. 12.（2024秋·广东·高三统考学业考试）某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量（件）与销售单价（元/件）可近似看作一次函数的关系．设商店获得的利润（利润销售总收入总成本）为元． （1）试用销售单价表示利润； （2）试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？ 13．（2024秋·海南省直辖县级单位·高一嘉积中学校考阶段练习）推行垃圾分类以来，某环保公司新上一种把㕑余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.设该公司每日处理厨余垃圾的成本为（元），日处理量为（吨），经测算，当时，；当时，，且每处理一吨厨余垃圾，可得到价值100元的化工产品的收益. (1)当日处理量为10吨时，该公司每日的纯收益为多少？（纯收益=总收益-成本） (2)该公司每日处理的厨余垃圾为多少吨时，获得的日纯收益最大？ 14．（2024秋·江苏镇江·高一统考阶段练习）某企业生产甲、乙两种产品所得利润分别是（单位：万元）和（单位：万元），它们与投入资金（单位：万元）的关系有经验公式.今将4万元资金投入生产甲、乙两种产品，其中对甲种产品投资（单位：万元）. (1)试建立总利润（单位：万元）关于的函数关系式； (2)如何安排投入资金使得该企业所获利润最大？并求出获利润的最大值. 15．（2024·全国·高一随堂练习）某商店进了一匹服装，每件进价为60元．每件售价为90元，每天售出30件．在一定的范围内这批服装的售价每降低1元，每天就多售出1件．请写出每天的利润（单位：元）与售价（单位：元）之间的函数关系式，并求当售价是多少元时，每天的利润最大． 16．（2024秋·安徽阜阳·高二校考期中）某化学试剂厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是万元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求的取值范围； (2)要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润. 17．（2024·全国·高一专题练习）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨. (1)求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本 (2)若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润最大利润是多少 18.（2023秋·辽宁丹东·高一丹东市第四中学校考期末）食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入、种黄瓜的年收入与投(单位：万元)满足，．设甲大棚的投入为(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为(单位：万元)． （1）求的值； （2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入最大？ 考点三 幂函数模型的应用 19．（2024·全国·高一专题练习）党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.    (1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 20．（2024·全国·高一专题练习）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系为，其图像如图所示. （1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系式； （2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大? （3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产，两种芯片.设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，当为多少时，可以获得最大利润?并求最大利润.(利润芯片毛收入芯片毛收入-发耗费资金) 21．（2024·全国·高一专题练习）果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示. 1 4 9 16 1 (1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型； (2)已知该果园的年利润（万元）与的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？ 22．（2024·全国·高一专题练习）某企业计划投资生产甲、乙两种产品，根据长期收益率市场预测，投资生产甲产品的利润与投资额成正比，投资生产乙产品的利润与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时，甲、乙两类产品的利润分别为0.125万元和0.5万元. （1）分别写出两类产品的利润与投资额的函数关系式； （2）该企业有100万元资金，全部用于生产甲、乙产品，问怎样分配资金能使得利润之和最大，最大利润为多少万元？ 考点四 分段函数模型的应用 23.（2023·全国·高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量(单位：千克)与施用肥料(单位：千克)满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为(单位：元) (1)写单株利润(元)关于施用肥料(千克)的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 24．（2024秋·山东菏泽·高三山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品，已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 25．（2024秋·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）为助力乡村振兴，某村决定建一果袋厂.经过市场调查，生产需投入年固定成本为2万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时，（万元）.在年产量不小于8万件时，（万元）.每件产品售价为6元.通过市场分析，该厂生产的果袋能当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？ 26．（2024秋·河北承德·高三承德市双滦区实验中学校考阶段练习）年，月日，华为在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机.其实在年月日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁.为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产千部手机，需另投入成本万元，且由市场调研知此款手机售价万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完. (1)求出年的利润万元关于年产量千部的表达式 (2)年年产量为多少千部时，企业所获利润最大最大利润是多少 27．（2024秋·山东·高一校联考阶段练习）今年中秋国庆双节假期“合体”，人们的出游意愿进一步增强，国内长线游预订人次占比为.数据显示，中秋国庆假期，长线游预订占比近六成预订出游平均时长在5天以上.某旅游平台上，跨省游订单占比达，较2023年同期提升10个百分点.秋高气爽最适合登高爬山，某户外登山运动装备生产企业，2023年的固定成本为1000万元，每生产x千件装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产10千件装备时需另投入资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2023年最多能售出150千件. (1)写出2023年利润W（万元）关于产量x（千件）的函数；（利润＝销售总额－总成本） (2)当2023年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 28．（2024秋·重庆九龙坡·高一重庆实验外国语学校校考阶段练习）第 19 届亚运会 2023 年 9 月在杭州市举办，本届亚运会以 “绿色、智能、节俭、文明” 为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速 发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知 该种设备年固定研发成本为 50 万元，每生产一万台需另投入 80 万元，设该公司一年内生产该设备 万台且全部售完. 当 时，每万台的年销售收入  （万元） 与年产量 （万台）满足关系式: ; 当 时，每万台的年销售收入  （万元）与年产量 （万台）满足关系式: (1)写出年利润 （万元）关于年产量 （万台）的函数解析式（利润=销售收入一成本）; (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大? 并求最大利润. 考点五 对勾函数模型 29.（2023春·江苏镇江·高二统考期中）喝酒不开车，开车不喝酒.若某人饮酒后，欲从相距的某地聘请代驾司机帮助其返程.假设当地道路限速.油价为每升8元，当汽车以的速度行驶时，油耗率为.已知代驾司机按每小时56元收取代驾费，试确定最经济的车速，使得本次行程的总费用最少，并求最小费用. 30．（2024秋·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考阶段练习）某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校校史馆利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用.甲乙两支队伍参与竞标，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计12600元，设荣举室的左右两面墙的长度均为米，乙工程队给出的整体报价为元，综合考虑各种条件，学校决定选择报价较低的队伍施工，如果报价相同，则选择乙队伍. (1)若，问学校该怎样选择； (2)在竞争压力下，甲工程队主动降价5400元，若乙工程队想要确保自己被选中，求实数的最大值. 31．（2024秋·江苏南京·高一校联考阶段练习）在国庆假期期间，某火车站为舒缓候车室人流的压力，决定在候车大楼外搭建临时候车区，其中某次列车的候车区是一个总面积为的矩形区域（如图所示），矩形场地的一面利用候车厅大楼外墙（长度为18m），其余三面用铁栏杆围挡，并留一个宽度为2m的入口.现已知铁栏杆的租赁费用为元/m.设该矩形区域的长为（单位：m），租赁铁栏杆的总费用为（单位：元）. (1)将表示为的函数，并求租赁搭建此区域的铁栏杆所需费用的最小值及相应的值. (2)若所需总费用不超过元，求的取值范围？ 32．（2024秋·湖北·高一蕲春县第一高级中学校联考阶段练习）某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用．已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为4；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为 (1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； (2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值． 33．（2024秋·山东青岛·高一青岛二中校考阶段练习）为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和． (1)求m的值及用x表示S； (2)当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值． 34．（2024·全国·高二随堂练习）为了安全起见，高速公路同一车道上行驶的前后两辆汽车之间的距离不得小于（单位：m），其中x（单位：km/h）是车速，k为比例系数．经测定，当车速为60km/h时，安全车距为40m．假设每辆车的平均车长为5m． (1)写出在安全许可的情况下，某路口同一车道的车流量y（单位：辆/min）关于车速x的函数； (2)如果只考虑车流量，规定怎样的车速可以使得高速公路上的车流量最大？这种规定可行吗？ 35.（2023·福建福州·高一校联考期中）定义：设函数的定义域为，若存在实数，，对任意的实数，有， 则称函数为有上界函数，是的一个上界；若，则称函数为有下界函数，是的一个下界． (1)写出一个定义在R上且，的函数解析式； (2)若函数在(0，1)上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围； (3)某同学在研究函数单调性时发现该函数在与具有单调性， ①请直接写出函数在与的单调性； ②若函数定义域为，是函数的下界，请利用①的结论，求的最大值. 36.（2023秋·上海徐汇·高一上海中学校考期末）设，是的两个非空子集，如果函数满足：①；②对任意，，当时，恒有，那么称函数为集合到集合的“保序同构函数”. (1)写出集合到集合 且的一个保序同构函数（不需要证明）； (2)求证：不存在从整数集的到有理数集的保序同构函数； (3)已知存在正实数和使得函数是集合到集合的保序同构函数，求实数的取值范围和的最大值（用表示）. $$2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题14 函数的应用(一)5种常见考法归类（36题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 一次函数模型的应用 考点二 二次函数模型的应用 考点三 幂函数模型的应用 考点四 分段函数模型的应用 考点五 对勾函数模型 知识点1：常见几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (，为常数，) 二次函数模型 (，，为常数，) 分段函数模型 幂函数模型 (，，为常数，) 知识点2：对勾函数（耐克函数） 1、对够函数（一般模型）：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（，）的函数； ①定义域：； ②是奇函数，图象关于原点对称； ③在，上单调递减；在，上单调递增； ④当时，；当时，； 2、特别的，对勾函数的简易形式：（）其图象如图： ①定义域：； ②（）是奇函数，图象关于原点对称； ③在，上单调递减；在，上单调递增； ④当时，；当时，； 解题策略 1、一次函数模型的特点和求解方法 (1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线． (2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解． 注：(1)一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般情况下可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理． (2)对于一次函数在实际问题中的应用的题目，要认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图象、表格信息确定解析式,同时要特别注意定义域．　 2、利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． (2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符． 3、幂函数模型应用的求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式． (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式．　 4、应用分段函数时的三个注意点 (1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏． (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集． (3)分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论． 5、解决“对勾”函数应用题的关键 解决“对勾”函数f(x)＝ax＋(a>0，b>0)的实际应用问题时，需关注该函数的定义域、单调性(函数f(x)在和上单调递减，在和上单调递增)、值域和图象等．一般通过变形，构造利用基本不等式的条件求最值． 考点一 一次函数模型的应用 1.（2023·高一课时练习）若等腰三角形的周长为20，底边长是关于腰长的函数，则它的解析式为__________________. 【答案】 【详解】由题意，得2x＋y＝20，∴y＝20－2x. ∵y>0，∴20－2x>0，∴x<10. 又∵三角形两边之和大于第三边， ∴，即，解得x>5， ∴5<x<10， 故所求函数的解析式为. 故答案为： 2.【多选】（2023·全国·高三专题练习）（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程(km)与时间(min)的关系，下列结论正确的是（    ） A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B．甲从家到公园的时间是30 min C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D．当时，与的关系式为 【答案】BD 【详解】在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误； 由题中图象知，B正确； 甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误； 当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得，D正确. 故选：BD 3.（2024秋·广东广州·高一广州大学附属中学校联考期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元/ 超过但不超过的部分 6元/ 超过的部分 9元/ 若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设此户居民本月用水量为,缴纳的水费为元, 则当时,元,不符合题意; 当时,,令,解得,符合题意； 当时,,不符合题意. 综上所述: 此户居民本月用水量为15. 故选：C. 4.（2023·广东汕头·高一汕头市第一中学校考期中）在一次数学实践课上，同学们进行节能住房设计，综合分析后，设计出房屋的剖面图（如图所示），屋顶所在直线方程分别是和，为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，那么点的横坐标为 __． 【答案】6 【详解】设A的横坐标为m，则A的坐标为（m，0），∵屋顶所在直线方程分别是yx+3和yx， 为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，∴，解得m＝6，故点A的横坐标为6． 故答案为：6． 5．（2024秋·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校考开学考试）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉样物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．    (1)求两种玩偶的进货价分别是多少？ (2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1)冰墩墩的进货价为72元，雪容融的进货价为64元 (2)冰墩墩进货24个，雪容融进货16个；最大利润是992元 【分析】（1）先设冰墩墩的进货价为x元，雪容融的进货价为y元．再根据题意列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）先设冰墩墩进货a个，则雪容融进货个，利润为w元，再根据题意可以写出w和a的函数关系式，再根据题意求得a的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得利润的最大值． 【详解】（1）设冰墩墩的进货价为x元，雪容融的进货价为y元． 得，解得， 所以冰墩墩的进货价为72元，雪容融的进货价为64元． （2）设冰墩墩进货a个，则雪容融进货个，利润为w元， 则， 因为，所以w随a增大而增大， 又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍， 即，解得， 所有当时，w最大，此时，， 答：冰墩墩进货24个，雪容融进货16个时，获得最大利润，最大利润为992元． 6．（2024秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考开学考试）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的Iphone6手机二月售价比一月每台降价500元，如果卖出相同数量的Iphone6手机，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元. (1)一月Iphone6手机每台售价为多少元? (2)为了提高利润，该店计划三月购进Iphone6s手机销售，已知Iphone6每台进价为3500元，Iphone6s每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案? (3)该店计划4月对Iphone6的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台Iphone6手机再返还顾客现金元，而Iphone6s按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，应取何值? 【答案】(1)一月Iphone4每台售价为4500元 (2)有5种进货方案 (3) 【分析】（1）设一月Iphone6手机的每台售价为元，根据题意得到，即可求解； （2）设购进Iphone6手机为台，由题意得到，求得的范围，即可求解； （3）设总获利元，得到，结合，即可求解. 【详解】（1）解：设一月Iphone6手机的每台售价为元，则二月Iphone6手机的售价为元， 根据题意，可得，解得（元）， 即一月Iphone6手机每台售价为元. （2）解：设购进Iphone6手机为台，则购进的Iphone6手机为台， 根据题意，可得，解得， 因为，所以的取值为，共有种进货方案. （3）解：二月Iphone6手机每台售价为（元）， 设总获利元，则， 令，可得， 即当时，（2）中所有的方案获利相同. 7．（2024秋·上海崇明·高一统考期末）某公司拟投资开发一种新能源产品，估计公司能获取不低于100万元且不高于1600万元的投资收益．该公司对科研课题组的奖励方案有如下3条要求： ①奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加； ②奖金不低于10万元且不超过200万元； ③奖金不超过投资收益的20%． (1)设奖励方案函数模型为，我们可以用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型，比如方案要求③“奖金不超过投资收益的20%”可以表述为：“恒成立”．请你用用数学语言表述另外两条奖励方案； (2)判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由； (3)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求．在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取多少奖金？ 【答案】(1)答案见解析； (2)不符合； (3)195万元. 【分析】（1）根据给定条件，利用函数单调性、值域的意义写出方案的前两个要求作答. （2）根据给定函数，逐一判断方案中的3个要求是否都满足作答. （3）根据给定的函数模型，求出a的取值范围，再求出最多可以获取的奖金作答. 【详解】（1）“奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加”可以表述为：当时，是的增函数； “奖金不低于10万元且不超过200万元”表述为：函数值. （2）函数在上是增函数，， 函数的值域， 由得：，解得，因此对，不成立， 即对，不等式不恒成立， 所以函数不符合公司奖励方案函数模型的要求. （3）因为函数符合公司奖励方案函数模型要求，则函数在上是增函数，有， ，，解得， 由，不等式恒成立，得， 显然，，当且仅当，即时取等号， 于是，解得，从而， 因此当，时，，当且仅当且时取等号，且， 所以在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取195万元奖金. 8．（2024秋·安徽合肥·高一校考期中）车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有辆次，其中电动车保管费是每辆一次元，自行车保管费是每辆一次元． (1)若设停放的自行车的辆次为，总的保管费收入为元，试写出关于的函数关系式 (2)若估计前来停放的辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于，但不大于，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围． 【答案】(1) 且 (2) 【分析】（1）由总的保管费收入等于停放的自行车保管费加停放的电动车保管费写出函数解析式和定义域即可. （2）根据题意确定函数的定义域，在此定义域范围内研究函数的值域即可. 【详解】（1）由题意得， 且. （2）若电动车的辆次数不小于，但不大于， 则，即且， ∴且 ∵ ， ∴在上单调递减， 当时，函数取得最大值为1330，当时，函数取得最小值为1225， ∴的值域是，即收入在元至元之间. 9．（2024·全国·高一假期作业）某商场准备购进A，两种型号电脑，每台A型号电脑进价比每台型号电脑多500元，用40000元购进A型号电脑的数量与用30000元购进型号电脑的数量相同，请解答下列问题： (1)A，型号电脑每台进价各是多少元？ (2)若每台A型号电脑售价为2500元，每台型号电脑售价为1800元，商场决定用不超过35000元同时购进A，两种型号电脑20台，且全部售出，请写出所获的利润（单位：元）与A型号电脑（单位：台）的函数关系式并求此时的最大利润． 【答案】(1)每台A型号电脑进价为2000元，每台型号电脑进价为1500元 (2)与的函数解析式为，此时最大利润为8000元 【分析】（1）设每台A型号电脑进价为元，根据题意列出方程并求解，即可得到答案； （2）根据一元一次不等式的性质，得；根据一次函数的递增性，即可得到答案． 【详解】（1）设每台A型号电脑进价为元，则型号电脑进价为元 由题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴型号电脑进价（元）， ∴每台A型号电脑进价为2000元，每台型号电脑进价为1500元； （2）根据题意，得， ∵， 解得：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴时，所获利润最大为元. ∴与的函数解析式为，此时最大利润为8000元． ， ∵， 解得：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴时，所获利润最大为元. ∴与的函数解析式为，此时最大利润为8000元． 考点二 二次函数模型的应用 10.（2023·全国·高三专题练习）劳动实践是大学生学习知识､锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会､回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为件时，售价为元/件，且满足，每天的成本合计为元，请你帮他计算日产量为___________件时，获得的日利润最大，最大利润为___________万元. 【答案】 200 7.94 【详解】由题意易得日利润， 故当日产量为200件时，获得的日利润最大，最大利润为7.94万元， 故答案为：200，7.94. 11．（2024秋·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）小明今年年初用16万元购进一辆汽车，每天下午跑滴滴出租车，经估算，每年可有16万元的总收入，已知使用x年（）所需的各种费用（维修、保险、耗油等）总计为万元（今年为第一年）. (1)该出租车第几年开始盈利（总收入超过总支出）？ (2)该车若干年后有两种处理方案： ①当盈利总额达到最大值时，以1万元价格卖出； ②当年平均盈利达到最大值时，以10万元卖出. 试问哪一种方案较为合算？请说明理由. 参考数据：，，. 【答案】(1)第二年 (2)方案二，理由见解析 【分析】（1）由题意可知扣除支出后的纯收入，,令，可解； （2）方案①，所以7年时间共盈利34万 方案②年平均盈利，所以4年时间共盈利万，两个方案盈利总数一样，但是方案二时间短，比较合算. 【详解】（1）由题意可知扣除支出后的纯收入， 令，解得： 又 且 即从第二年开始盈利 （2）， ① 所以当时，盈利总额达到最大值33 所以7年时间共盈利34万； ②年平均盈利， 当且仅当即时，等号成立， 所以4年时间共盈利万, 两个方案盈利总数一样，但是方案二时间短，比较合算. 12.（2024秋·广东·高三统考学业考试）某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量（件）与销售单价（元/件）可近似看作一次函数的关系．设商店获得的利润（利润销售总收入总成本）为元． （1）试用销售单价表示利润； （2）试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？ 【答案】（1）；（2）当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件． 【详解】（1） . （2）， ∴当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件． 13．（2024秋·海南省直辖县级单位·高一嘉积中学校考阶段练习）推行垃圾分类以来，某环保公司新上一种把㕑余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.设该公司每日处理厨余垃圾的成本为（元），日处理量为（吨），经测算，当时，；当时，，且每处理一吨厨余垃圾，可得到价值100元的化工产品的收益. (1)当日处理量为10吨时，该公司每日的纯收益为多少？（纯收益=总收益-成本） (2)该公司每日处理的厨余垃圾为多少吨时，获得的日纯收益最大？ 【答案】(1)600元 (2)24吨 【分析】（1）计算出成本，进而求出收益； （2）分和两种情况，得到日纯收益为关于的关系式，求出最大值，比较后得到答案. 【详解】（1）当时，代入中，故成本， 故收益为（元）； （2）设日纯收益为 当时，， 所以当时，日纯收益最大，为1200元 当时，， 当时，的最大值为1288. ， 该公司每日处理的㕑余垃圾为24吨时，获得的日纯收益最大. 14．（2024秋·江苏镇江·高一统考阶段练习）某企业生产甲、乙两种产品所得利润分别是（单位：万元）和（单位：万元），它们与投入资金（单位：万元）的关系有经验公式.今将4万元资金投入生产甲、乙两种产品，其中对甲种产品投资（单位：万元）. (1)试建立总利润（单位：万元）关于的函数关系式； (2)如何安排投入资金使得该企业所获利润最大？并求出获利润的最大值. 【答案】(1) (2)甲产品投资2万元，乙投资2万元，此时利润最大，最大利润为2万元. 【分析】（1）通过设出甲投资以及乙投资的数目，设立函数表达式，根据函数式直接写出定义域； （2）对于（1）中的函数解析式，利用换元法转化成一个二次函数的形式，最后结合二次函数的最值求法得出函数的最大值，从而解决问题． 【详解】（1）甲投资万元，则乙投资万元， 则； （2）令，则， ， 当时，，此时的最大值为万元. 则甲产品投资万元，乙投资2万元，此时利润最大，最大利润为2万元. 15．（2024·全国·高一随堂练习）某商店进了一匹服装，每件进价为60元．每件售价为90元，每天售出30件．在一定的范围内这批服装的售价每降低1元，每天就多售出1件．请写出每天的利润（单位：元）与售价（单位：元）之间的函数关系式，并求当售价是多少元时，每天的利润最大． 【答案】，其中，且为正整数，当售价是90元时，每天的利润最大. 【分析】根据题意写出售价和利润的函数关系，利用二次函数的知识可求答案. 【详解】设售价为元，利润为元，则由题意， 其中，且为正整数，当时，有最大值； 即当售价是90元时，每天的利润最大. 16．（2024秋·安徽阜阳·高二校考期中）某化学试剂厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是万元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求的取值范围； (2)要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)应以千克/小时的速度匀速生产，且最大利润为610万元. 【分析】（1）根据题意，列不等式求出x的范围即可； （2）设总利润为，得出关于x的函数解析式，配方得出最大值即可． 【详解】（1）根据题意， 有， 得，得或， 又，得． （2）生产120千克该产品获得的利润为 ，， 记，， 则， 当且仅当时取得最大值， 则获得的最大利润为（万元）， 17．（2024·全国·高一专题练习）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨. (1)求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本 (2)若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润最大利润是多少 【答案】(1)当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元 (2)当年产量为吨时，可获得最大利润万元 【分析】（1）根据已知条件求得总成本的表达式，利用二次函数的性质求得总成本的最小值并求得此时对应的年产量. （2）利用求得总利润的表达式，再根据二次函数的性质求得最大利润以及此时对应的年产量. 【详解】（1）因为， 所以当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元. （2）设该工厂年获得总利润为万元， 则. 因为在上是增函数， 所以当时，有最大值为. 故当年产量为吨时，可获得最大利润万元. 18.（2023秋·辽宁丹东·高一丹东市第四中学校考期末）食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入、种黄瓜的年收入与投(单位：万元)满足，．设甲大棚的投入为(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为(单位：万元)． （1）求的值； （2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入最大？ 【答案】（1）277.5；（2）投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大． 【详解】（1）若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元， 所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5． （2）由题知， f(x)＝80＋4＋ (200－x)＋120 ＝－x＋4＋250， 依题意得 解得20≤x≤180， 故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)． 令t＝，则t2＝x，t∈[2，6]， y＝－t2＋4t＋250＝－ (t－8)2＋282， 当t＝8，即x＝128时，y取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元． 考点三 幂函数模型的应用 19．（2024·全国·高一专题练习）党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.    (1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元 【分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解； （2）列出企业利润的函数解析式换元法求得函数最值得解. 【详解】（1）设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元 由题设，， 由图知，故，又，所以． 从而，． （2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则， 当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元. 20．（2024·全国·高一专题练习）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系为，其图像如图所示. （1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系式； （2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大? （3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产，两种芯片.设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，当为多少时，可以获得最大利润?并求最大利润.(利润芯片毛收入芯片毛收入-发耗费资金) 【答案】（1）生产芯片的毛收入，生产芯片的毛收入；（2）答案见解析；（3）千万元时，公司所获利润最大，最大利润9千万元. 【分析】（1）根据芯片的毛收入与投入的资金成正比，且每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元求解；根据芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系为，将，代入求解； （2）由（1）的结果，比较即可. （3）设投入千万元生产芯片，投入千万元资金生产芯片，由（1）的结果，建立利润函数，利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）设投入资金(千万元)，则生产芯片的毛收入. 将，代入，得， ∴， 生产芯片的毛收入. （2）由，得；由，得；由，得. ∴当投入资金大于16千万元时，生产芯片的毛收入大； 当投入资金等于16千万元时，生产、芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16千万元时，生产芯片的毛收入大 （3）公司投入4亿元资金同时生产、两种芯片，设投入千万元生产芯片， 投入千万元资金生产芯片， ∴公司所获利润， 故当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润9千万元. 21．（2024·全国·高一专题练习）果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示. 1 4 9 16 1 (1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型； (2)已知该果园的年利润（万元）与的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？ 【答案】(1)更适合作为与的函数模型 (2)果树数量为时年利润最大 【分析】（1）将点代入和，求出两个函数，然后将和代入， 看哪个算出的数据接近实际数据哪个就更适合作为与的函数模型. （2）根据（1）可得，利用二次函数的性质求最大利润. 【详解】（1）①若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得 解得 此时，当时，， 当时，， 与表格中的和相差较大， 所以不适合作为与的函数模型. ②若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得 解得 此时，当时，， 当时，， 刚好与表格中的和相符合， 所以更适合作为与的函数模型. （2）由题可知，该果园最多120000棵该吕种果树，所以确定的取值范围为， 令，则 经计算，当时，取最大值（万元）， 即，时（每亩约38棵），利润最大. 22．（2024·全国·高一专题练习）某企业计划投资生产甲、乙两种产品，根据长期收益率市场预测，投资生产甲产品的利润与投资额成正比，投资生产乙产品的利润与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时，甲、乙两类产品的利润分别为0.125万元和0.5万元. （1）分别写出两类产品的利润与投资额的函数关系式； （2）该企业有100万元资金，全部用于生产甲、乙产品，问怎样分配资金能使得利润之和最大，最大利润为多少万元？ 【答案】（1）；（2）当投资甲产品96万元，投资乙产品4万元时，可使利润最大，最大利润是13万元 【分析】（1）设出两类产品的利润与投资额的函数关系式，代入已知求解即可； （2）设投资乙产品万元，则投资甲产品万元，根据（1）可得获得的利润为，利用换元法转化为二次函数求其最值. 【详解】解：（1）设两种产品的利润与投资额的函数关系分别为： ， 结合已知得， 所以； （2）设投资乙产品万元，则投资甲产品万元， 依题意，获得的利润为， 令，则， 所以当，即时，取得最大值，， 故当投资甲产品96万元，投资乙产品4万元时，可使利润最大，最大利润是13万元. 【点睛】本题考查函数模型的建立与应用，考查计算能力，是基础题. 考点四 分段函数模型的应用 23.（2023·全国·高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量(单位：千克)与施用肥料(单位：千克)满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为(单位：元) (1)写单株利润(元)关于施用肥料(千克)的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)4千克，480元﹒ 【详解】（1）依题意，又， ∴． （2）当时，，开口向上，对称轴为， 在上单调递减，在上单调递增， 在上的最大值为． 当时，， 当且仅当时，即时等号成立． ∵，∴当时，． ∴当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元． 24．（2024秋·山东菏泽·高三山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品，已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【分析】（1）分和两种情况，结合题意分析求解； （2）分和两种情况，结合二次函数和基本不等式运算求解. 【详解】（1）当时， 可得； 当时， 可得； 所以. （2）若，则， 所以当时，万元； 若，则， 当且仅当，即台时，等号成立，万元； 因为， 所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元. 25．（2024秋·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）为助力乡村振兴，某村决定建一果袋厂.经过市场调查，生产需投入年固定成本为2万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时，（万元）.在年产量不小于8万件时，（万元）.每件产品售价为6元.通过市场分析，该厂生产的果袋能当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为10万件时，该厂所获利润最大，最大利润为15万元. 【分析】（1）根据年利润年销售收入固定成本流动成本，分和两种情况得到的解析式即可； （2）当时，根据二次函数求最大值的方法来求最大值，当时，利用基本不等式来求最大值，最后综合即可． 【详解】（1）因为每件产品售价为6元，则万件产品销售收入为万元， 依题意得，当时，， 当时， ， 所以. （2）当时，， 此时，当时，取得最大值万元， 当时，， 此时，当且仅当，即时，取得最大值15万元. 综上所述，由于，最大值为15万元. 所以当年产量为10万件时，该厂所获利润最大，最大利润为15万元. 26．（2024秋·河北承德·高三承德市双滦区实验中学校考阶段练习）年，月日，华为在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机.其实在年月日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁.为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产千部手机，需另投入成本万元，且由市场调研知此款手机售价万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完. (1)求出年的利润万元关于年产量千部的表达式 (2)年年产量为多少千部时，企业所获利润最大最大利润是多少 【答案】(1)； (2)年年产量为千部时，企业所获利润最大，最大利润是万元 【分析】（1）通过讨论的范围，得出的解析式； （2）分别求出在和上的最大值即可得出结论． 【详解】（1）当时， ， 当时，， ； （2）若，， 当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 因为， 年年产量为千部时，企业所获利润最大，最大利润是万元． 27．（2024秋·山东·高一校联考阶段练习）今年中秋国庆双节假期“合体”，人们的出游意愿进一步增强，国内长线游预订人次占比为.数据显示，中秋国庆假期，长线游预订占比近六成预订出游平均时长在5天以上.某旅游平台上，跨省游订单占比达，较2023年同期提升10个百分点.秋高气爽最适合登高爬山，某户外登山运动装备生产企业，2023年的固定成本为1000万元，每生产x千件装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产10千件装备时需另投入资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2023年最多能售出150千件. (1)写出2023年利润W（万元）关于产量x（千件）的函数；（利润＝销售总额－总成本） (2)当2023年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元. 【分析】（1）由题可得，进而结合条件可得利润（万元）关于年产量（千件）的函数； （2）根据二次函数的性质及基本不等式分段求函数的最值即得. 【详解】（1）由题意知，当时，，所以， 当时，； 当时，， 所以； （2）当时，函数在上是增函数，在上是减函数， 所以当时，有最大值，最大值为1500； 当时，由基本不等式，得， 当且仅当时取等号，所以当时，有最大值，最大值为1550； 因为，所以当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元. 28．（2024秋·重庆九龙坡·高一重庆实验外国语学校校考阶段练习）第 19 届亚运会 2023 年 9 月在杭州市举办，本届亚运会以 “绿色、智能、节俭、文明” 为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速 发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知 该种设备年固定研发成本为 50 万元，每生产一万台需另投入 80 万元，设该公司一年内生产该设备 万台且全部售完. 当 时，每万台的年销售收入  （万元） 与年产量 （万台）满足关系式: ; 当 时，每万台的年销售收入  （万元）与年产量 （万台）满足关系式: (1)写出年利润 （万元）关于年产量 （万台）的函数解析式（利润=销售收入一成本）; (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大? 并求最大利润. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意，利用年销售收入减去固定成本及可变成本即可写出利润y（万元）关于年产量x(万台）的函数解析式. （2）利用二次函数的性质、基本不等式分别求出、上的最值，进而确定年利润最大时对应生产的台数及最大利润值. 【详解】（1）由题意，当时，年收入为， 当时，年收入为， 故年利润为， 即. （2）当时，， 由函数图象开口向下，对称轴方程为可知函数单调递增， 所以当时，， 当时，， 当且仅当时，即时等号成立， 因为，所以当年产量为29万台时，该公司获得年利润最大为1360万元. 考点五 对勾函数模型 29.（2023春·江苏镇江·高二统考期中）喝酒不开车，开车不喝酒.若某人饮酒后，欲从相距的某地聘请代驾司机帮助其返程.假设当地道路限速.油价为每升8元，当汽车以的速度行驶时，油耗率为.已知代驾司机按每小时56元收取代驾费，试确定最经济的车速，使得本次行程的总费用最少，并求最小费用. 【答案】最经济的车速为时，使得本次行程的总费用最少为元. 【详解】设汽车以行驶时，开车时间为小时，则代驾费用为， 油耗为， 则总费用， ， 由对勾函数的性质知，函数在单调递减，在上单调递增， 因为，所以当时，取到最小值， 最小值为. 最经济的车速为时，使得本次行程的总费用最少为元. 30．（2024秋·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考阶段练习）某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校校史馆利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用.甲乙两支队伍参与竞标，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计12600元，设荣举室的左右两面墙的长度均为米，乙工程队给出的整体报价为元，综合考虑各种条件，学校决定选择报价较低的队伍施工，如果报价相同，则选择乙队伍. (1)若，问学校该怎样选择； (2)在竞争压力下，甲工程队主动降价5400元，若乙工程队想要确保自己被选中，求实数的最大值. 【答案】(1)选择乙工程队进行建造. (2) 【分析】（1）设甲工程队的总造价为元，得到，结合基本不等式求得，设乙工程队的总造价为元，得到，结合函数的单调性，求得，比较即可得到答案； （2）根据题意，得到甲工程队的最低报价为，要使得乙工程队确保自己被选中，则满足，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）解：设甲工程队的总造价为元， 因为荣举室的左右两面墙的长度均为米，且长方体底面积为24平方米， 可得底面长方形的另一边长为米， 则甲工程队的总造价为：， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以（元）， 当时，设乙工程队的总造价为元， 则， 因为函数在上为单调递减函数，所以（元）， 由，所以学校选择乙工程队进行建造. （2）解：若甲工程队主动降价5400元，则甲工程队的最低报价为（元）， 若乙工程队确保自己被选中，则满足， 又由乙工程队的造价为， 由（1）知，当时，， 由，解得，因为，所以， 所以实数的最大值为. 31．（2024秋·江苏南京·高一校联考阶段练习）在国庆假期期间，某火车站为舒缓候车室人流的压力，决定在候车大楼外搭建临时候车区，其中某次列车的候车区是一个总面积为的矩形区域（如图所示），矩形场地的一面利用候车厅大楼外墙（长度为18m），其余三面用铁栏杆围挡，并留一个宽度为2m的入口.现已知铁栏杆的租赁费用为元/m.设该矩形区域的长为（单位：m），租赁铁栏杆的总费用为（单位：元）. (1)将表示为的函数，并求租赁搭建此区域的铁栏杆所需费用的最小值及相应的值. (2)若所需总费用不超过元，求的取值范围？ 【答案】(1)，取到最小值2600元时 (2) 【分析】（1）根据题意得，，再结合基本不等式即可求解； （2）令，求解即可. 【详解】（1）由已知得，候车区宽为，                      所以，    当且仅当，即时等号成立 所以租赁搭建此区域的铁栏杆所需费用的最小值为2600元，此时. （2）由（1）可知， 即，解得.      故所需总费用不超过3300元时，的取值范围为. 32．（2024秋·湖北·高一蕲春县第一高级中学校联考阶段练习）某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用．已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为4；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为 (1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； (2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，当时，，代入上式，得，可得表达式． （2）化简函数y，利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】（1）由题意得， 当时，，代入上式，得 所以 （2） ， 当且仅当，即时取“=”． 所以臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值为 33．（2024秋·山东青岛·高一青岛二中校考阶段练习）为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和． (1)求m的值及用x表示S； (2)当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值． 【答案】(1)，（）； (2)当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用取得最小值110万元. 【分析】（1）利用给定条件，求出的值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和. （2）利用基本不等式即可求最值，根据等号成立的条件可得隔热层厚度. 【详解】（1）设隔热层厚度x，依题意，每年的能源消耗费用为：，而当时，， 则，解得， 显然建造费用为，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为： （）. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用取得最小值110万元． 34．（2024·全国·高二随堂练习）为了安全起见，高速公路同一车道上行驶的前后两辆汽车之间的距离不得小于（单位：m），其中x（单位：km/h）是车速，k为比例系数．经测定，当车速为60km/h时，安全车距为40m．假设每辆车的平均车长为5m． (1)写出在安全许可的情况下，某路口同一车道的车流量y（单位：辆/min）关于车速x的函数； (2)如果只考虑车流量，规定怎样的车速可以使得高速公路上的车流量最大？这种规定可行吗？ 【答案】(1) (2)详见解析； 【分析】（1）先求出从前一辆车通过开始，下一辆车通过路口用时，进而达到每小时通过的车辆求解； （2）由（1）的函数，利用基本不等式求解. 【详解】（1）解：从前一辆车通过开始，下一辆车通过路口用时小时， 则每小时通过的车辆为辆， 又因为当车速为60km/h时，安全车距为40m． 所以，解得， 所以某路口同一车道的车流量y（单位：辆/min）关于车速x的函数为： ， （2）由， 当且仅当，即时，等号成立， 显然不行，因为没有达到高速公路提速的目的. 35.（2023·福建福州·高一校联考期中）定义：设函数的定义域为，若存在实数，，对任意的实数，有， 则称函数为有上界函数，是的一个上界；若，则称函数为有下界函数，是的一个下界． (1)写出一个定义在R上且，的函数解析式； (2)若函数在(0，1)上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围； (3)某同学在研究函数单调性时发现该函数在与具有单调性， ①请直接写出函数在与的单调性； ②若函数定义域为，是函数的下界，请利用①的结论，求的最大值. 【答案】(1)（答案不唯一，如） (2) (3)①为减函数，为增函数；②   【详解】（1），的值域为，的一个上界为，的一个下界为. 答案不唯一，如，的值域为，的一个上界为，的一个下界为. （2）依题得对任意，恒成立， ，，令在为单调递减 ， ，， 实数的取值范围为. （3）①由对勾函数的性质知，在为减函数， 为增函数 ②，由①知，在为减函数，在 为增函数， 当即时，由①知为减函数， ，m是的一个下界，，                 当即，由①知为增函数， ，m是的一个下界，                         当即，， 当且仅当时等号成立， m是的一个下界， .              综上所述： , 36.（2023秋·上海徐汇·高一上海中学校考期末）设，是的两个非空子集，如果函数满足：①；②对任意，，当时，恒有，那么称函数为集合到集合的“保序同构函数”. (1)写出集合到集合 且的一个保序同构函数（不需要证明）； (2)求证：不存在从整数集的到有理数集的保序同构函数； (3)已知存在正实数和使得函数是集合到集合的保序同构函数，求实数的取值范围和的最大值（用表示）. 【答案】(1) (2)见解析 (3)，的最大值为 【详解】（1） （2）假设存在一个从集合到集合的“保序同构函数”， 由“保序同构函数”的定义可知，集合和集合中的元素必须是一一对应的， 不妨设整数0和1在中的像分别为和， 根据保序性，因为， 所以， 又也是有理数，但是没有确定的原像， 因为0和1之间没有另外的整数了， 故假设不成立，故不存在从集合到集合的“保序同构函数”； （3）， 若是集合到集合的保序同构函数，则在单调递增，且 当 时，即，函数单调递增，且，则单调递减，这与 均为单调递增函数，则单调递增相矛盾，故不成立，舍去， 当时，由对勾函数性质可知：当时，单调递增，当 时，单调递减，且当时，取最小值 ，因此在单调递增， 所以是到集合的保序同构函数，则 ，此时 当时， ，不满足是到集合的保序同构函数， 综上，，的最大值为 $$