2024年九年级中考数学证明题【考前专练】【三角形证明题】　

【三角形证明题】中考数学证明题【考前专练】 【题型分类】 1、 三角形有关的线段 2、 三角形有关的角 3、 全等三角形 4、 等腰三角形 5、 直角三角形 【专项训练】 1．如图，在中，，，，点为中点，动点P从点A出发，沿边以每秒5个单位长度的速度向终点运动，连结，将线段绕点逆时针旋转得线段，连结．设点运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示点到的距离为________； (2)当点落在内部（不包括边界）时，求的取值范围； (3)当与的一边平行时，求线段的长度； (4)当经过点E与的一个顶点的直线平分面积时，直接写出的值． 2．【发现问题】爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在中，，，为中点，求的取值范围． (1)小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作边上的中点，连接，构造出的中位线，请你完成余下的求解过程． (2)如图②，在四边形中，，，、分别为、中点，求的取值范围． (3)变式：把图②中的、、变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则的取值范围为_________． (4)如图④，在中，，，为边的中点，是边上一点且正好平分的周长，则______． 3．【基本图形和结论】在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点，求证：（看会下面思路，不写证明过程） 思路：根据全等判定方法（）可证 (1)【方法应用】如图1，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是____________． (2)【猜想证明】如图2，在四边形中，，点是的中点若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)【拓展延伸】如图3，已知，点是的中点，点在线段上，，若，，求出线段的长． 4．如图，在中，是边上的高线，已知． (1)如图1，证明：； (2)点是上一点，． ①若，如图2，求的长； ②延长至点，使得，如图3，证明：． 5．【特例感知】 (1)如图①，为等腰直角三角形，将绕点A逆时针旋转得到，过点C作交直线于点F，直线与直线交于点G，则的形状为______三角形（不用证明）． 【类比探究】 (2)如图②，将背景图形“等腰直角三角形”换成“矩形”，其余条件均不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由． 【拓展应用】 (3)在（2）的条件下，将“旋转”换成“旋转（）”．请直接写出当是等腰三角形时的值．    6．如图1，小明借助几何软件进行数学探究：中，，，是边的中点，是线段上的动点（不与点、点重合），边关于对称的线段为，连接． (1)当为等腰直角三角形时，的大小为______． (2)图2，延长，交射线于点． ①请问的大小是否变化？如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由． ②若，则的面积最大为______，此时______． 7．（1）用数学的眼光观察． 如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．求的度数． （2）用数学的思维思考． 如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．判断，，三点的位置关系，并说明理由； （3）用数学的语言表达． 如图3，在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作直角，，，连接，，若是以为腰的等腰三角形，求的长度．    8．如图，在正方形中，分别是上的点，且，分别交于点，连接． (1)若，求的值； (2)点是的中点，如图②． ①连接，判断与的位置关系，并说明理由； ②当时，求的面积． 9．【问题初探】 （）在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在中，，，点是边上一点，连接，在右侧作，使，，连接，求证：； 小创同学从与均为等腰直角三角形这个条件出发给出如下解题思路：通过证明，将转化为； 小新同学从结论的角度出发给出另一种解题思路：如图，在线段上截取，连接，通过证明，将转化为；请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （）张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师将图进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图，在中，，点是边上一点，连接，在右侧作，使，，连接，过点作交于点，探究与的数量关系； （）如图，在（）的条件下，当时，若，，求的长． 10．在中，是等边三角形，连接． (1)如图1，当A、B、D三点在同一直线上时，交于点P，且．若，求的长； (2)如图2，当B、E、C三点在同一直线上时，F是中点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，，E在直线上运动，将沿翻折得到，连接，G是上一点，且，O是直线上的另一个动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，直接写出此时点D到直线的距离． 11．如图，菱形的对角线相交于点O，且，． (1)求的长； (2)点E在线段上，且，点F为线段上一动点． ①当时，求四边形的面积； ②记的最小值为a，的最小值为b，求的值． 12．如图，在矩形中，，点是对角线上一点，，延长交于点，过点作，交于点，交于点，点是的中点，连接． (1)问题提出： ①如图1，若，则______，______； ②如图2，若，求和的长度． (2)推广应用：若，请直接写出和的长．（用已知数或含的式子表示） 13．综合与实践． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：， 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，，若，则当是直角三角形时，请求出的长． 14．如图①，在中，，，点M在边上，且，过点M作，交于点H，．动点P从点M出发，沿折线向终点C运动．作，交边于点Q，连接． (1)线段的长为________． (2)如图②，当点P在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形，请说明理由． (3)当与的一边平行时，求线段的长． (4)当点P在边上运动时，作点M关于直线的对称点N，连接、．当的边将四边形的面积分为两部分时，直接写出线段的长． 15．综合与实践 在数学活动课上，老师给每个数学小组发放了一张如图所示的长方形纸片，组织同学们以“长方形的折叠”为主题进行探究活动．    (1)如图1，勤学小组将长方形纸片对折，使得边与重合，折痕记为．展开后再延过点的直线折叠，使得点落在上，直线交于点，点的对应点记为，连接，发现其恰好经过点．勤学小组据此求出了边与的比值为______． (2)如图2，善思小组先连接对角线交于点，再通过折叠使得点落在对角线上，折痕与边分别交于点，与对角线交于点，点的对应点分别记为，，发现与对角线具有特殊的位置关系．请你写出与的位置关系，并加以证明． (3)如图3，明辨小组在善思小组探究所得结论的基础上，发现，，这三条线段满足一特殊等量关系．请你直接写出这三条线段满足的等量关系． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 2 1 学科网（北京）股份有限公司 1．【解答】（1）解：过点作与一点，如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点从点出发，沿边以每秒个单位长度的速度向终点运动， ∴， 即； （2）解：当点在上时，过点作于点，如图所示： 此时均为等腰直角三角形， 即，， ∴, ∴，即， ∴； 当点在上时，如图所示： 此时，即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； ∴当点落在内部（不包括边界）时，的取值范围； （3）解：可分为两种情况： 当时，过点P，E分别作垂线，如图所示： 此时四边形是矩形， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，过点作，如图所示： ， 点是中点， 点也是的中点， ； 当与的一边平行时，线段的长度为或； （4）解：当经过点与的一个顶点的直线平分面积时，此时点在的中线上，可分为三种情况： 当点在上时，如图所示： 此时， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，即， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， 即； 当点在中线上时，如图所示：连接，则， 过点作于点，过点作于点，交于点， 在中， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∴ ∴ 如图所示，当经过中线时， 同理可得 ∴ ∴即 解得： ∴ ∴ ∴ 综上所述的值为：或或 2．【解答】（1）解：如图，取边上的中点，连接， 为中点，为中点， ， ，， ，， 在中，， 即． （2）解：如图，连接，取中点，连接、， 又、分别为、中点， ，， ，， ，， 在中，， 即． （3）解：如图，连接，取中点，连接、， 又、分别为、中点， ，， ，， ，， 在中，， 即． 故答案为：． （4）解：如图，在上截取，连接，取的中点，连接，，过点作于， ，点是中点，点是的中点， ，，，， ，， ， ， ， 正好平分的周长， ， 又，点是中点， ， ， 又，， ，， ，， ． 故答案为：． 3．【解答】（1）解：（1）延长到，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （2）结论：． 理由：如图②中，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ； （3）如图③，延长交的延长线于点， 是的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 4．【解答】（1）证明：是边上的高线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：①是边上的高线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； ②如图，过点C作，垂足为G， ，， ， ， ， ， ， ， ． 5．【解答】（1）解：∵为等腰直角三角形， ∴，， 由旋转可得，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， 由旋转可得，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （3）当时，如图，    由旋转可得，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，且， ∴， 即， 解得（不符合题意，舍去）； 当时，如图，    同理可得，， ∴，， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，且， ∴， 即， 解得； 综上所述，当时，是等腰三角形． 6．【解答】（1）解：为等腰直角三角形， ， ， ， 边关于对称的线段为， ， ； 故答案为：； （2）的大小不变，始终为． 设的大小为则 关于的对称线段为， ， ＝＝ ， 是的外角， ； ②由①知：， ， 点在以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，如图，过点作于，交优弧于点，连接， 当时，即点位于点时，的面积最大， 弦， ，即垂直平分， ，， ， ， ， ，， ， 面积最大值是； 此时，点的位置如图所示，过点作于， 则，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：，． 7．【解答】（1）四边形是菱形，， ，， ， 将绕点顺时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ； （2）点，点，点三点共线，理由如下：连接交于，过点作直线于，   四边形是正方形， ，，， 将绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 点，点，点三点共线； （3）如图，过点作于，过点作于，则，   矩形中，，， ，， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， 、、在同一条直线上， ， 即， ， ， ， ， ， 在中，，， 设，则，， ， 在中，， ， ， ， ，， ， ， 当时，， 解得：或（舍去）， ； 当时，， 解得：或（舍去）， ； 综上所述，的长度为或． 8．【解答】（1）解：如图： ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； （2）解①：延长至点H，使得，连接， 由（1）知， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵点G为的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 而， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：过点作于点．过点作于点， ， 又， 四边形为平行四边形， ， 同上可得， ， ∴ ， ∵， ∴ ， ，， ，， 又 ∴四边形为平行四边形， ， 设， 则，同上可求， ， ，解得：，则 ， 由（2）得：，， ， ． 9．【解答】（）选择小创同学的解题思路： ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择小新同学的解题思路： 如图，在线段上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即； （）如图，在线段上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （）如图，延长，相交于点，过点作的延长线于点，过点作于，在线段上截取，连接，过点作于，则，， ∵， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴，， 又由（）知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又由（）知，， ∴． 10．【解答】（1）解：在中，是等边三角形，A、B、D三点在同一直线上，交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2）证明：如图2，B、E、C三点在同一直线上，F是中点， 延长至G，则，连接，设与交于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：作于P，取中点Q，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）得，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴点M在过点Q且与垂直的直线上l上运动， ∵， ∴点H在以点G为圆心，2为半径的上运动， 作直线l于，当点M在处时，交圆G于H，最小， 作于R， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 作于T， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时点D到直线的距离为：． 11．【解答】（1）解：∵四边形是菱形，且，， ∴，，， ． 在中，， ∴， ∴． ∴． （2）①如图，连接，设， ∵， ∴， 在中，， ∴，， 即， 解得：（舍），． ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴． ． ∴． ∴四边形的面积是． ②如图，过点B作，且，过点F作于点G，连接． ∵，， ∴． ∴， ∴在中，． ∴． ∴当E、F、G共线时，的值最小，此时． ∴， ∴四边形是矩形． ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∴． ∴当A、F、H共线时，的值最小． 在中，， ∴． ∴． ∴的值为81． 12．【解答】（1）解：①，点是的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； ②同理①， 同理①得：， ， ， ， ， ， ， ， 矩形中，， ； （2）解：同理（1）得，， ， ， ， ， ， ， ， 矩形中，， ． 13．【解答】（1）证明：四边形是正方形， ，，， ，， ， ，， ， ； （2）解：，， ， 点，点E，点B，点F四点共圆， ， ， ，， ， ， ，， ， ； （3）解：由（2）知：， ， ， ， ， ， 为的中点， ， 由（2）知， ， ， 又是直角三角形， ， ， 当在线段上时， 设，则， ，， ， ， ， ， 或（不合题意，舍去）， 当或时，点不存在， 当在延长线上时，设，则， ，， ， ， ， ， ， （不合题意，舍去）或， 综上所述，的长为或． 14．【解答】（1）解：∵， ∴， ∵在中，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴，； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （3）解：当点P在上，时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 当点P在上，时，如图所示： ∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 解得：； 综上分析可知：或． （4）解：根据（2）可知，为等腰直角三角形，，， ∵M与N关于直线对称， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， 根据（2）可知：， ∴， 当将四边形的面积分为两部分时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 根据（3）可知：， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴， ∴在中，根据勾股定理得： ， ∴， 解得：， ∴； 当将四边形的面积分为两部分时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴， ∴在中，根据勾股定理得： ， ∴， 根据解析（3）可知：， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上分析可知：的长为或． 15．【解答】（1）解：由折叠可得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即； （2）， 证明：由（1）得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， 设交于点N， 则， 又∵， ∴， ∴；    （3）解：设，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 又∵是对称轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 过点H作于点M，则， 又∵， ∴， 又∵，即， 解得， ∴， ∴．    $$