圆锥曲线的方程（十四）讲义——2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十四 知识点一 根据双曲线的渐近线求标准方程,求双曲线中的弦长,由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数,根据韦达定理求参数 典例1、已知双曲线的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，M为双曲线C上的任一点，且点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为， （1）求双曲线C的方程；（2）设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双曲线C相交于点P，Q，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B，求的值． 随堂练习：已知双曲线的右焦点为，过点F与x轴垂直的直线与双曲线 C交于M，N两点，且. （1）求C的方程；（2）过点的直线与双曲线C的左､右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若，求实数的取值范围. 典例2、以双曲线的右焦点为圆心作圆，与的一条渐近线切于点． （1）求双曲线的离心率及方程；（2）点分别是双曲线的左、右顶点，过右焦点作一条斜率为的直线，与双曲线交于点，记直线的斜率分别为，．求的值． 随堂练习：已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且点，，三 个点中有且仅有两点在双曲线上． （1）求双曲线的标准方程； （2）直线交双曲线于轴右侧两个不同点的，连接分别交直线于点．若直线 与直线的斜率互为相反数，证明：为定值． 典例3、已知双曲线的焦距为，且过点，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与、两点，为坐标原点. （1）求双曲线的方程；（2）求证：面积为定值，并求出该定值. 知识点二 抛物线的焦半径公式,根据抛物线上的点求标准方程,抛物线中的参数范围问题,抛物线中的定值问题 典例4、已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上． （1）若，求抛物线的标准方程； （2）若直线与抛物线交于，两点，点的坐标为，且满足，原点到直线 的距离不小于，求的取值范围． 随堂练习：已知抛物线的焦点到准线的距离为1. （1）求C的方程； （2）已知点在C上，且线段AB的中垂线l的斜率为，求l在y轴上的截距的取值范围. 典例5、已知抛物线，点为其焦点，点、在抛物线上，且直线过点， . （1）求抛物线的方程； （2）过焦点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点、和、，点、分别为、的中点，求面积的最小值. 随堂练习：已知抛物线C：，F为抛物线C的焦点，是抛物线C上点，且； （1）求抛物线C的方程； （2）过平面上一动点作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求的最大值. 2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十四答案 典例1、答案： （1） （2）1 解：（1）由题意可得，渐近线的方程为， 设，则有，即， 因为点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为， 所以， 又离心率，即，所以，所以，， 所以双曲线的方程为； （2）由（1）知，，设直线的方程为， 联立，得， 所以， 若，，则，， 所以|， 所以， 所以的中点坐标为， 所以线段的垂直平分线的方程为， 整理得，所以， 则，所以． 随堂练习：答案： （1） （2） 解：（1）由题意得，解得 故C的方程为. （2）显然直线率存在，设直线的方程为，，， 联立，得， 因为与双曲线C的左，右两支分别交于D，E两点， 故， 解得， 此时有. ，， 由，解得，同理可得，所以. 因为，故. 因为，故， 故实数的取值范围是. 典例2答案：（1）离心率为，方程为； （2）． 解：（1）双曲线的渐近线为， 所以圆与切于点，．① 设，则，即，② 又，③ 由①②③解得，，， 所以双曲线的离心率为，方程为． （2）因为，，， 设的方程为，，， 由，消去整理得， 所以且解得， 所以，， ，， ． 故的值为． 随堂练习：答案： （1）； （2）证明见解析. 解：（1）由题意知：不可能同时在双曲线上； 若在双曲线上，则双曲线焦点在轴上，可设为，， 解得：，双曲线方程为； 若在双曲线上，则双曲线焦点在轴上，可设为，，方程组无解； 综上所述：双曲线的标准方程为. （2）由题意知：直线，即直线斜率存在，可设，，， 由得：， 且，即且； ，， 直线与直线的斜率互为相反数，， 即， 化简得：， 整理可得：，即； 当时，，则，恒过点，与已知矛盾，舍去； 当，即时，直线直线，即，， ，即； 要证为定值，即证为定值， 即证为定值， ，，即为定值. 典例3、答案：（1）；（2）证明见解析，面积为. 解:（1）设双曲线的焦距为， 由题意可得：，则双曲线的方程为； （2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在， 设直线的方程为， 则消得， ，① 设与轴交于一点，， ， 双曲线两条渐近线方程为：， 联立，联立， 则（定值）. 典例4、答案： （1）或； （2）. 解：（1）由题意及抛物线的定义得：， 又因为点在抛物线上，所以， 由 可得或， 所以抛物线的标准方程为或． （2）设，， 联立消去可得：， 则，， 因为， 所以， 所以，可得， 由原点到直线的距离不小于，可得，解得或， 因为，所以不成立，所以， 因为在上单调递增， 所以，所以， 即的取值范围为． 随堂练习：答案： （1）； （2）. 解：（1）因抛物线的焦点到准线的距离为1，则p=1， 所以C的方程为. （2）依题意，设直线l的方程为，直线AB的方程为y=2x+m， 设， 由消去x得：， 由题意知，得， 设线段AB的中点为，则，再由，可得， 又点N在直线l上，则，于是，从而有， 所以l在y轴上的截距的取值范围为. 典例5、答案： （1）； （2）16. 解：（1）过点、分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为、， 易知，， 因为，则，则点为的中点， 连接，则为的中位线，所以，，则， 所以，点在线段的垂直平分线上，则点的横坐标为， ，解得，所以，抛物线的标准方程为. （2）因为，若直线、分别与两坐标轴垂直， 则直线、中有一条与抛物线只有一个交点，不合乎题意. 所以，直线、的斜率均存在且不为， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 联立，得，则， 设、，则， 设，则，则，所以， 同理可得， 故， ，因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故面积的最小值为. 随堂练习：答案： （1）； （2）. 解：（1）依题意得： ∴，∴， 所求抛物线的方程为； （2）抛物线的方程为，即∴， 设，，则切线PA，PB的斜率分别为，. 所以切线PA：， ∴，又，， 同理可得切线PB的方程为， 因为切线PA，PB均过点，所以，， 所以，为方程的两组解. 所以直线AB的方程为. 联立方程，消去x整理得， ∴，∴. ∴， 由抛物线定义可知，， 所以 ∵ ， ∴ 令 ∴原式， 即原式的最大值. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$