圆锥曲线的方程（十三）讲义——2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十三 知识点一 双曲线定义的理解,根据a、b、c求双曲线的标准方程,等轴双曲线,双曲线中的定值问题 典例1、已知双曲线的方程为. （1）直线与双曲线的一支有两个不同的交点，求的取值范围； （2）过双曲线上一点的直线分别交两条渐近线于两点，且是线段的中点，求证：为常数. 随堂练习：已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线 与直线平行. （1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线 的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由. 典例2、已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点． （1）求双曲线C的方程，并写出其离心率与渐近线方程；（2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值． 随堂练习：已知椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同，且的 右焦点到的渐近线的距离为． （1）求与的方程；（2）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，且经过点，与交于、两点，与交于、两点，求． 典例3、已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M， 且，． （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围． 随堂练习：在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆C上某一点恰好与 点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线的交点为T. （1）求证：为定值，并求出点的轨迹方程； （2）曲线上一点P，点A､B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围. 知识点二 抛物线的焦半径公式,根据抛物线上的点求标准方程,抛物线中的参数范围问题,抛物线中的定值问题 典例4、已知抛物线，点F为其焦点，且点F到其准线l的距离为4. （1）求抛物线T的方程； （2）设l与x轴的交点为A，过x轴上的一个定点的直线m与抛物线T交于B，C两点.记直线AB，AC的斜率分别为，，若，求直线m的方程. 随堂练习：已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在第一象限且为抛物线C上一点，点N （5，0）在点F右侧，且△MNF恰为等边三角形． （1）求C的方程； （2）若直线l：x＝ky+m与C交于A，B两点，∠AOB＝120°（其中O为坐标原点），求实数m的取值范围． 典例5、已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点． （1）求p的值和抛物线的焦点坐标； （2）设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围． 随堂练习：已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点是抛物线的焦点，点 在线段上，且满足. （1）求点的轨迹的方程； （2）不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点，若线段的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围. 2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十三答案 典例1、答案： （1）； （2），证明见解析. 解：（1）直线与双曲线即 联立得即 由题意得有两个同号根，则满足 即，即 解得： 双曲线的方程为，所以双曲线的渐近线为 则，所以的中点 又因为点在双曲线上，即 即，即. 随堂练习：答案： （1） （2）是，2 解：（1）设双曲线的焦距为， 由题意可得：，则， 则双曲线的方程为. （2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在， 设直线的方程为，则， 消得：， 则，可得：① 设与轴交点为， 则， ∵双曲线两条渐近线方程为：， 联立，解得，即， 同理可得：， 则（定值）. 典例2、答案：（1）双曲线C的方程为，离心率，渐近线方程为 （2） 解：（1）因为双曲线C与有相同的渐近线， 所以可设双曲线C的方程为， 代入，得，得，故双曲线C的方程为， 所以，，，故离心率， 渐近线方程为． （2）联立直线AB与双曲线C的方程，得， 整理得， ． 设，，则AB的中点坐标为， 由根与系数的关系得，，， 所以AB的中点坐标为， 又点在圆上，所以， 所以． 随堂练习：答案： （1）， （2） 解：（1）由题意可得，则． 因为的渐近线方程为，即， 椭圆的右焦点为，由题意可得，，解得， 故椭圆的方程为，双曲线的方程为． （2）设直线的倾斜角为， 所以，直线的斜率为， 所以直线的方程为， 联立得，则， 设、，则，， 所以, 联立可得，， 设点、，则，， 所以，，故． 典例3、答案：（1）；（2）. 解:（1）由已知，，，， ∵，则，∴，∴， 解得，，∴双曲线的方程为． （2）直线l的斜率存在且不为0，设直线l:，设、， 由，得， 则，解得①， ∵点在以线段AB为直径的圆的外部，则， ，解得②， 由①、②得实数k的范围是. 由已知，∵B在A、Q之间，则，且， ∴，则，∴， 则， ∵，∴， 解得，又，∴． 故λ的取值范围是． 随堂练习：答案： （1）证明见解析， （2） 解：（1）证明：如图，由点与关于对称， 则，，故为定值. 由， 由双曲线定义知，点的轨迹为以为焦点，实轴长为8的双曲线， 设双曲线方程为 ，， 所以双曲线方程为； （2）由题意知，分别为双曲线的渐近线 设，由，设. ，由于P点在双曲线上 又同理，设的倾斜角为， 则. 由函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增， 当时， ； 当时，； . 典例4、答案： （1） （2） 解：（1）因为点F到其准线l的距离为4， 所以， 所以抛物线T的方程为； （2）若直线的斜率不存在时则与题意不符， 故直线的斜率必存在，不妨设直线的方程为， 将直线和抛物线联立，， 则， 所以直线m的方程为. 随堂练习：答案：（1）；（2）. 解：（1）由题意知，， 由抛物线的定义可知， 则由，得， 所以抛物线的方程为． （2）设，，，， 由，得， ， 则， 所以，， 因为， 所以 ， 所以且， 所以，解得， 即的取值范围为． 典例5、答案：（1）； （2） 解：（1）因为抛物线的准线是，所以抛物线的焦点坐标，所以； （2）因为点M是抛物线的准线上的动点，设． （ⅰ）若直线l的斜率不存在，则． 由得， 因为，所以， 即，所以， 因为，所以； 因为，所以， 即，所以， 所以因为，所以①． （ⅱ）若直线l的斜率存在，设为k，则．设． 由得，所以， 且，所以（*）， 因为，所以，即， 所以， 所以，得， 因为，所以， 即，所以， 所以 则 所以，得， 所以②， 代入（*）得，，所以③， 由②得，所以④， 所以，所以，⑤ 由④，⑤知， 综合（ⅰ）（ⅱ）知直线l在x轴上截距b的取值范围是． 随堂练习：答案： （1） （2）或 解：（1）易知点是抛物线的焦点，， 依题意， 所以点轨迹是一个椭圆，其焦点分别为，长轴长为4， 设该椭圆的方程为， 则， ， 故点的轨迹的方程为. （2）易知直线1的斜率存在， 设直线1：， 由得：， ， 即①又， 故，将，代， 得：， 将②代入①，得：， 即， 即，即， 且， 即的取值范围为或. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$