圆锥曲线的方程（十二）讲义——2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考-圆锥曲线的方程(一轮复习)课时十二 知识点一 根据a、b、c求椭圆标准方程,求椭圆的离心率或离心率的取值范围,椭圆中的直线过定点问题 典例1、已知椭圆C:过点.右焦点为F,纵坐标为的点M在C上, 且AF⊥MF. (1)求C的方程; (2)设过A与x轴垂直的直线为l,纵坐标不为0的点P为C上一动点,过F作直线PA的垂线交l于点Q,证明:直线PQ过定点. 随堂练习:已知点,圆,点在圆上运动,的垂直平分线交于点. (1)求动点的轨迹的方程. (2)动点的轨迹与轴交于,两点在点左侧,直线交轨迹于,两点不在 轴上,直线,的斜率分别为,,且,求证:直线过定点. 典例2、已知椭圆的中心为坐标原点,对称轴为轴,轴,且过两点. (1)求椭圆的方程; (2)为椭圆的右焦点,直线交椭圆于(不与点重合)两点,记直线的斜率分别为,若,证明:的周长为定值,并求出定值. 随堂练习:已知椭圆的左､右焦点分别为,且焦距长为2,过且斜率为 的直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好为. (1)求椭圆的方程; (2)如图,下顶点为,过点作一条与轴不重合的直线,该直线交椭圆于两点,直线分别交轴于,两点,为坐标原点.求证:与的面积之积为定值,并求出该定值. 典例3、如图,已知椭圆的离心率为,且过点. (1)求椭圆的标准方程;(2)过左焦点且斜率为正的直线与椭圆交于、两点,过点、 分别作与直线垂直的直线,交轴于、两点,求的最小值. 知识点二 根据椭圆过的点求标准方程,根据韦达定理求参数 典例4、已知椭圆,其长轴长为短轴长的倍,且两焦点距离为2,点. (1)求椭圆的方程; (2)过点P的直线交椭圆于M､N两点,O为坐标原点,求面积的最大值,并求此时直线的方程; (3)已知斜率为k的直线l交椭圆于A､B两点,直线､分别交椭圆于C､D,且直线过点,求k的值. 随堂练习:已知椭圆过点,且离心率为. (1)求椭圆C的方程; (2)设,直线l与椭圆C交于两点,且,当(O为坐标原点)的面积S最大时,求直线l的方程. 典例5、已知椭圆的离心率为,椭圆C与y轴交于A,B两点,且. (1)求椭圆C的方程. (2)设点P是椭圆C上的一个动点,且点P在y轴的右侧.直线PA,PB与直线分别交于M,N两点.若以MN为直径的圆与x轴交于两点E,F,求点P横坐标的取值范围及的最大值. 随堂练习:已知焦点在轴上,中心在原点,离心率为的椭圆经过点,动点(不与定点 重合)均在椭圆上,且直线与的斜率之和为1,为坐标原点. (1)求椭圆的方程; (2)求证直线经过定点; (3)求的面积的最大值 典例6、在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率,且椭圆C上一点N到距离的最大值为4,过点的直线交椭圆C于点A、B. (1)求椭圆C的方程; (2)设P为椭圆上一点,且满足(O为坐标原点),当时,求实数t的取值范围. 随堂练习:已知M,N分别是x轴,y轴上的动点,且,动点P满足,设点P 的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的轨迹方程; (2)直线与曲线C交于A,B两点,G为线段AB上任意一点(不与端点重合),斜率为k的直线经过点G,与曲线C交于E,F两点.若的值与G的位置无关,求k的值. 2025高考-圆锥曲线的方程(一轮复习)课时十二答案 典例1、答案: (1) (2)过定点;证明过程见详解 解:(1)设点,其中,则, 因为椭圆过点,则, 将点的坐标代入椭圆的方程得, 所以,解得, 因此椭圆的标准方程为; (2)设点, 则,所以直线的垂线的斜率为, 由题可知,故直线的方程为, 在直线的方程中,令,可得,即点, 所以直线的方程为, 即, 因为,所以, 所以, 所以, 所以直线过定点. 随堂练习:答案: (1) (2)证明见解析 解:(1)圆的圆心为,半径为, 依题意得, 则动点的轨迹是以,为焦点的椭圆, 其中,,, 所以动点的轨迹的方程为. (2)设直线的方程为,,, 则由得, 由根与系数的关系得①, 由题意,两点不在轴上,所以,,, 又点,, 所以,,由得, 从而由已知得,即②, 又,③, 将③代入②得, 将①代入上式并整理得:. , 整理得, ,直线的方程为, 故直线恒过定点. 典例2、答案: (1) (2)证明见解析,定值为 解:(1)由已知设椭圆方程为:, 代入,得, 故椭圆方程为. (2)设直线, 由 得:,, 又, 故 , 由,得, 故或, ①当时,直线,过定点,与已知不符,舍去; ②当时,直线,过定点,即直线过左焦点, 此时,符合题意. 所以的周长为定值. 随堂练习:答案: (1) (2)证明见解析,定值为 解:(1)由题意,,,故过且斜率为的直线的方程为, 令,得,由题意可得,解得,. 求椭圆的方程为; (2)证明:由题意知,直线的斜率存在,设直线, ,,,, 联立,得. ,, 由,得, , , 直线的方程为,令,解得, 则,,同理可得,, 典例3、答案:(1);(2)最小值是. 解:(1)由题意,解得,因此,椭圆的标准方程为; (2)设点、,设直线的方程为, 由得,, 由韦达定理可得,, 直线的方程为,令得, 同理, 所以, 令,则, 当且仅当时,即当时,取最小值. 典例4、答案: (1); (2)面积的最大值为,直线的方程为: 或; (3) 解:(1)由题知,其长轴长为短轴长的倍,且两焦点距离为2 则,,又 解得:, 椭圆的方程为: (2)由椭圆的方程知,当过点P的直线斜率不存在时,直线与椭圆无交点, 所以直线的斜率存在,设过点P的直线的斜率为 则直线的方程为:,, 由(1)可得椭圆的方程为: 联立直线方程与椭圆方程:得: 解得:,即 , 设点到直线的距离为,则 令且得:, 当且仅当,即时取等号 此时,,即 所以面积的最大值为 直线的方程为:或 (3)设,,由题意知,直线的斜率不为, 则直线的方程为: 由(1)知椭圆方程为 联立直线与椭圆的方程:, 得 所以 即 所以 同理可得:, 设,则 即 化简得: 即 所以直线l的斜率为 随堂练习:答案: (1); (2)或 解:(1)因为椭圆过点,且离心率为, 所以,解得, 所以椭圆的方程为; (2)显然,直线的斜率存在, ①当时,可设直线的方程为由可设, 则,所以, 所以, 当且仅当,即时取等号,此时直线的方程为; ②当时,可设直线的方程为即,, 联立,消去整理得, 由,得(*),则有, 于是可得的中点为即, 因为,所以,化简得, 结合(*)可得解得, 又到直线的距离为 所以, 即, 所以,当时,取最大值, 此时由可得,直线的方程为, 综上所述,直线的方程为或. 典例5、答案:(1) (2)横坐标的取值范围为,的最大值为2 解:(1)由题意,可得,,得,解得:. 椭圆C的标准方程为. (2)解法1:设点P的坐标为,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为. ∴,直线PA的方程为, 同理:直线PB的方程为. 直线PA与直线的交点为; 直线PB与直线的交点为. ∵线段MN的中点坐标为, ∴圆的方程为. 令,则. ∵,∴, ∴. ∵这个圆与x轴相交,该方程有两个不同的实数解, ∴,解得. 设交点坐标分别为,,则. ∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2. 解法2:设点P的坐标为,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为. ∴,直线PA的方程为, 同理:直线PB的方程为. 直线PA与直线的交点为; 直线PB与直线的交点为. 若以MN为直径的圆与x轴相交,则, 即,即. ∵, ∴,代入得到,解得. 该圆的直径为; 圆心到x轴的距离为; 该圆在x轴上截得的弦长为. ∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2. 解法3:设点P的坐标为,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为. ∴,直线PA的方程为 同理:直线PB的方程为. 直线PA与直线的交点为; 直线PB与直线的交点为. ∴. 圆心到x轴的距离为. 若该圆与x轴相交,则,即. ∵,∴,∴,解得. 该圆在x轴上截得的弦长为. ∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2. 解法4:记点D的坐标为(2,0),点H的坐标为(4,0),设点P的坐标为, 点M的坐标为,点N的坐标为. 由已知可得点A的坐标为(0,1),点B的坐标为. ∴AP的直线方程为,BP的直线方程为. 令,分别可得,. ∴点M的坐标为,点N的坐标为. 若以MN为直径的圆与x轴相交于点E,F, ∵, ∴. . ∵, ∴,代入得到, ∴. ∴.∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2. 解法5:设直线OP与交于点T. ∵轴, ∴有,. ∴,,即T是MN的中点. 又设点P的坐标为,则直线OP方程为. 令,得,∴点T的坐标为. 而,若以MN为直径的圆与x轴相交于点E,F, 则,即. ∵,∴, ∴,解得或. ∵,∴, ∴. ∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2. 随堂练习:答案:(1);(2);(3). 解:(1)设椭圆()的离心率为, 可知,又因为,所以. 由定点在椭圆上可得,故,. 所以椭圆的方程为. (2)当直线与轴垂直时,设(),则. 由题意得:,即.所以直线的方程为. 当直线不与轴垂直时,可设直线为,,, 将代入得. 所以,. 由直线与的斜率之和为1可得①, 将和代入①, 并整理得②, 将,代入②, 并整理得, 分解因式可得, 因为直线:不经过点,所以,故. 所以直线的方程为,经过定点. 综上所述,直线经过定点. (3)由(2)可得:,. 因为坐标原点到直线的距离为, 所以的面积(). 令,则,且, 当且仅当,即时,的面积取得最大值. 典例6、答案: (1);(2)或. 解:(1)椭圆C的半焦距c,,即, 则椭圆方程为,即,设, 则, 当时,有最大值,即,解得, , 故椭圆方程是; (2)设,,,直线AB的方程为, 由,整理得, 则,解得,,, 因且,则, 于是有,化简,得, 则,即, 所以, 由得,则,, 而点P在椭圆上,即,化简得, 从而有,而, 于是得,解得或, 故实数t的取值范围为或. 随堂练习:答案: (1) (2) 解:(1)设,,则. 设,则,. 由题意,得解得 所以,化简得, 即曲线C的方程为. (2)由题意并结合(1)易知(不妨设点A在第一象限内),,. 设点,其中,则,, 所以. 因为斜率为k的直线经过点G,所以直线的方程为. 将直线的方程代入曲线C的方程化简、整理, 得:. 设,,则,, 所以 , 所以. 因为的值与m的值无关, 所以,解得. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网(北京)股份有限公司 $$