圆锥曲线的方程（十一）讲义——2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十一 知识点一 根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的定值问题 典例1、已知椭圆：，，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，，证明，斜率之积为定值． 随堂练习：已知椭圆经过点 ，离心率为，过点的直线l与椭圆C 交于不同的两点M，N. （1）求椭圆C的方程； （2）设直线AM和直线AN的斜率分别为和 ，求证：为定值 典例2、已知椭圆的焦距为，且过点 （1）求椭圆的方程；（2）若点是椭圆的上顶点，点在以为直径的圆上，延长 交椭圆于点，的最大值. 随堂练习：如图，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，过抛物线焦点F且 斜率不为0的直线l与抛物线交于A，B两点，连接交椭圆E于点C，连接交椭圆E于点D，记直线的斜率分别为． （1）求点P的坐标并确定当为常数时的值；（2）求取最大值时直线l的方程． 典例3、已知椭圆，过点． （1）求C的方程； （2）若不过点的直线l与C交于M，N两点，且满足，试探究：l是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 随堂练习：已知为椭圆上一点，上、下顶点分别为、，右顶点为， 且. （1）求椭圆的方程； （2）点为椭圆上异于顶点的一动点，直线与交于点，直线交轴于点.求证：直线 过定点. 知识点二 过圆上一点的圆的切线方程,根据a、b、c求椭圆标准方程,求椭圆中的最值问题 典例4、已知椭圆的左右焦点分别为．过点的直线与椭圆交 于两点，过点作的垂线交椭圆于两点，的周长为． （1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围． 随堂练习：已知椭圆经过两点，. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，且直线与以线段为直径的圆交于另一点 （异于点），求的最大值. 典例5、已知椭圆的离心率为，左顶点为. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆在第一象限的交点为，过点A的直线与椭圆交于点，若，且（为原点），求的值. 随堂练习：已知椭圆的焦距为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）设过椭圆顶点，斜率为的直线交椭圆于另一点，交轴于点，且、、成等比数列，求的值. 典例6、已知椭圆：的左､右焦点分别为､，焦距为2，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）若点是椭圆上一点，为轴上一点，，设直线与椭圆交于， 两点，若直线，关于直线对称，求直线的斜率. 随堂练习：已知椭圆：经过点且离心率为，，是椭圆的两个焦点． （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上一点，直线与椭圆交于另一点，点满足：轴且，求证：是定值． 2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十一答案 典例1、答案： （1） （2）证明见解析 解：（1）由题意得，故椭圆为， 又点在上，所以，得，， 故椭圆的方程即为； （2）由已知直线过，设的方程为， 联立两个方程得，消去得：， 得， 设，，则，（*）， 因为，故， 将（*）代入上式，可得：， ∴直线与斜率之积为定值． 随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析 解：（1）由题意椭圆经过点 ，离心率为， 可得，解得， 故椭圆C的方程为 （2）由题意可知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为， 由，可得， 由于直线l与椭圆C交于不同的两点M，N， 则，解得， 设,则， ， 故 ， 即为定值. 典例2、答案：（1）；（2）. 解：（1）根据题意，椭圆的焦距为，且过点， 可知，，则， ，， 所以椭圆的方程为； （2）可得，，则，则以为直径的圆，圆心为，半径为， 以为直径的圆方程为， 即：， 点，由于延长交椭圆于点，则点在直线上， 可知直线的斜率存在，且， 则设直线的方程为，设， 联立直线和圆的方程，得， 解得：， 可得， 联立直线和椭圆的方程，得， 解得：， 可得， 则， 可知，设上式为， 即有，， ，即为， 解得：， 则的最大值为. 随堂练习：答案： （1）， （2） 解：（1）由得． 设直线l的方程为． 由得，由韦达定理得． 又，同理可得， 则 所以当时，为常数． （2）由（1）知，． 设直线的方程分别为． 由得， 由韦达定理得，解得， 代入直线的方程得，同理可得． 又由（1）知，，得． 所以 ． 所以，令， 则，当且仅当时，等号成立， 此时直线l的方程为． 典例3、答案： （1） （2）直线过定点 解：（1）由题意，，解得， 所以椭圆C的标准方程为． 因为，两边平方，化简整理得， 易知直线l的斜率存在，设其方程为，其中． 由，得， ， 设，则， 所以 ， 所以， 即， 因为，所以， 所以， 得，解得，满足， 所以直线l的方程为：，即直线过定点 随堂练习：答案：（1） （2）证明见解析 解：（1）因为为椭圆上一点，所以. 因为，所以，整理得，解得或. 当时，，与矛盾.所以，. 椭圆的方程为. （2）设直线的斜率为，则. 因为， 由解得，. 因为，所以，整理得， 所以，. 所以，所以. 令，得. 所以， 所以. 所以. 所以直线过定点. 典例4、答案： （1） （2） 解：（1）由题， 由椭圆定义，的周长为，所以 所以椭圆的方程为. （2）当轴时，MN与x轴重合，不符合题意， 当直线与轴重合时，，所以； 当直线斜率存在且不为0时，设 ， 由韦达定理 所以 同理 所以 综上所述，的取值范围是. 随堂练习：答案： （1）（2）最大值为 解:（1）椭圆过点， ，解得： 椭圆的标准方程为 （2）由题易知直线的斜率不为，可设： 由得：，则 设，，则， 又，以为直径的圆的圆心坐标为，半径为 故圆心到直线的距离为 ，即 （当且仅当，即时取等号） 当时，直线与椭圆有交点，满足题意，且 的最大值为 典例5、答案： （1） （2） 解：（1）由题意得， 故， 所以， 所以椭圆的方程为； （2）设直线与椭圆得另一个交点为， 设， 因为， 则直线的方程为， 联立，消整理得， 则， 所以，则， 所以， 联立，消整理得， 则， 所以， 因为， 所以， 解得， 又， 所以. 随堂练习：答案： （1）；（2）. 解:（1）由已知，即有，由已知条件可得，解得， 因此，椭圆的方程为； （2）由（1）得直线的方程为，联立， 消去可得，解得，则， 依题意且， 因为、、成等比数列，则，则. 当时，则有，该方程无解； 当时，则，解得， 所以，解得， 所以，当、、成等比数列时，. 典例6、答案：（1） （2） 解：（1）依题意可得，又， 所以，，. 所以； （2）因为，所以是的中点. 结合轴， 所以轴，所以，则，解得，因为， 所以，所以. 因为直线、关于直线对称. 所以、的倾斜角互补，所以， 显然直线的斜率存在，设：，由， 得，由得. 设， ，则，， 由， 整理得， 所以，即 若，则， 所以直线的方程为，此时，直线过点，舍去. 所以，即， 所以直线的斜率为. 随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析 解：（1）由题意可得， 由椭圆经过点，可得， 又，解方程得，，， 所以椭圆的方程为； （2）证明：由题意可得，， 设，，，则， 由，可得， ； 直线的方程为,得，与椭圆方程联立， 可得， 所以， 即有， 所以． 所以，是定值． ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$