圆锥曲线的方程（八）讲义——2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时八 知识点一 根据a、b、c求椭圆标准方程,椭圆中的定值问题 典例1、如图，已知椭圆分别是长轴的左、右两个端点，是右焦点．椭圆 C过点，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线上有两个点，且，连接交椭圆C于另一点P（不同于点），证明：三点共线． 随堂练习：已知椭圆：（）过点，且焦距与长轴之比为.设，为椭圆的左､右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线：相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：直线与的斜率之积为定值； （3）判断三点，，是否共线，并证明你的结论. 典例2、已知椭圆，由E的上､下顶点，左､右焦点构成一个边长为的正方形. （1）求E的方程；（2）过E的右焦点F做相互垂直的两条直线，，分别和E交点A，B，C，D，若由点A，B，C，D构成的四边形的面积是，求，的方程. 随堂练习：已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合． （1）求椭圆的离心率与抛物线的方程；（2）过焦点的动直线与抛物线交于，两点，从原点作直线的垂线，垂足为，求动点的轨迹方程；（3）点为椭圆上的点，设直线与平行，且直线与椭圆交于，两点，若的面积为1，求直线的方程． 典例3、椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足． （1）求椭圆的离心率； （2）直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程． 随堂练习：已知椭圆的上顶点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为． （1）求椭圆的离心率； （2）若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为 （为坐标原点），求椭圆的标准方程． 知识点二 根据a、b、c求椭圆标准方程,根据韦达定理求参数,根据弦长求参数 典例4、已知椭圆与的离心率相同，过的右焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆、的交点从上到下依次为、、、，且，求的值． 随堂练习：已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过 两点②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆 （1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程； （2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若直线被椭圆截得的弦长等于短轴长，求的值. 典例5、已知椭圆，过点． （1）求C的方程； （2）若不过点的直线l与C交于M，N两点，且满足，试探究：l是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 随堂练习：已知为椭圆上一点，上、下顶点分别为、，右顶点为， 且. （1）求椭圆的方程； （2）点为椭圆上异于顶点的一动点，直线与交于点，直线交轴于点.求证：直线 过定点. 典例6、已知直线经过椭圆的右焦点，且椭圆C的离心率为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）以椭圆的短轴为直径作圆，若点M是第一象限内圆周上一点，过点M作圆的切线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右焦点为，试判断的周长是否为定值．若是，求出该定值． 随堂练习：已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，点是椭圆的右焦点，且点 在椭圆上，直线与椭圆交于A，两点. （1）求椭圆的方程； （2）当时，求的面积； （3）对，的周长是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由. 2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时八答案 典例1、答案：（1） （2）证明见解析 解：（1）由题意可知：， ， 椭圆C的方程为； （2）证明：设， 由于，因此，， 直线的斜率为， 直线的方程为， 代入椭圆方程得：， 整理得：， 设， 代入直线的方程得， 直线的斜率为， 直线的斜率为， ， 所以三点共线． 随堂练习：答案： （1）；（2）定值为，证明见解析； （3），，三点共线，证明见解析. 解:（1）由题知：， 所以椭圆：. （2）由题知：，存在，且不为零，设，，， 则，即. . 所以直线与的斜率之积为定值. （3），，三点共线，证明如下： 设直线：，则直线：， 将代入直线，得：，， ，设直线：， ， 设，则，解得， 所以，即， 所以，， 所以， 为公共点，所以，，三点共线. 典例2、答案： （1） （2）与的方程分别为：， 解：（1）由已知，，，所以E的方程为. （2）又题意中，， ①若或斜率不存在，易知，不符合题意； ②若斜率存在，设，和的方程联立得： ，，， ， 设，同理可得， 所以 解得，，所以与的方程分别为：，， 随堂练习：答案： （1）离心率为；抛物线的方程为 （2） （3） 解：（1）因，，故，从而椭圆的离心率为． 且椭圆的右焦点坐标为． 于是由椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，得，即． 从而抛物线的方程为． （2）设动点的坐标为，由条件，且点，在直线上，可得． 于是． 即． 故动点的轨迹方程为：． （3）由于，设直线方程为，，． 由得，故． 则． 又点到直线的距离， 故由， 解得，从而．因此，直线的方程为． 典例3、答案： （1） （2） 解：（1）， 离心率为. （2）由（1）可知椭圆的方程为， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立得， 由，① ，， 由可得，② 由可得，③ 联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为． 随堂练习：答案： （1） （2） 解：（1）由题知椭圆上顶点的坐标为，左、右顶点的坐标分别为、， 所以，即， 又，所以，所以椭圆的离心率. （2）设、，联立得， 所以，可得，，， 所以， 又原点到直线的距离，所以， 解得，因此，椭圆的方程为． 典例4、答案： （1）；（2）． 解:（1）设椭圆的方程为，焦距为， 将代入的方程可得，解得. 由题意得，解得，因此的方程为； （2）设、、、， 由，得（或）， 与、相交，只需当时，，解得. 当时，， 由韦达定理可得，所以，与的中点相同， 所以，， 即， 整理可得，解得，满足条件. 随堂练习：答案： （1）;（2）. 解: （1）选①：由已知，将代入椭圆方程得： 故椭圆方程为： 选②：由题设可得如下示意图，易知：△为等腰三角形且， ∴，又，即， ∴，则， ∵， ∴椭圆定义知：动点到两定点的距离和为定值4， ∴的轨迹方程为. （2）联立与椭圆方程可得：，且， 若交点为，则，， ∴直线被椭圆截得的弦长为，而短轴长为2， ∴，解得. 典例5、答案：（1） （2）直线过定点 解：（1）由题意，，解得， 所以椭圆C的标准方程为． （2）因为，两边平方，化简整理得， 易知直线l的斜率存在，设其方程为，其中． 由，得， ， 设，则， 所以 ， 所以， 即， 因为，所以， 所以， 得，解得，满足， 所以直线l的方程为：，即直线过定点 随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析 解：（1）因为为椭圆上一点，所以. 因为，所以，整理得，解得或. 当时，，与矛盾.所以，. 椭圆的方程为. （2）设直线的斜率为，则. 因为， 由解得，. 因为，所以，整理得， 所以，. 所以，所以. 令，得. 所以， 所以. 所以. 所以直线过定点. 典例6、答案： （1） （2）周长是定值，且定值为4 解：（1）因为经过椭圆的右焦点，令，则，所以椭圆的右焦点为，可得：， 又，可得：，由，所以， ∴椭圆的标准方程为 ； （2）设直线的方程为， 由得：， 所以， 设，，则：， 所以 . 因为直线与圆相切，所以，即， 所以， 因为， 又， 所以， 同理. 所以， 即的周长是定值，且定值为4． 随堂练习：答案： （1） （2） （3）是，定值为8，证明见解析 解：（1）长轴长是焦距的2倍，则，则， ∴椭圆为，代入点得，解得. ∴椭圆的方程为. （2），则直线为，过椭圆左焦点，右焦点为. 设，由得，∴， ，. ∴. ∴. （3）的周长为定值，理由如下： 直线l恒过椭圆左焦点， 由椭圆定义可知的周长为. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$