圆锥曲线的方程（七）讲义——2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时七 知识点一 根据a、b、c求椭圆标准方程,求椭圆的离心率或离心率的取值范围,求椭圆的切线方程,椭圆中三角形（四边形）的面积 典例1、已知椭圆，其离心率为，若，分别为C的左、右焦点，x轴上方一点P在椭圆C上，且满足，． （1）求C的方程及点P的坐标；（2）过点P的直线l交C于另一点Q（点Q在第三象限），点M与点Q关于x轴对称，直线PM交x轴于点N，若的面积是的面积的2倍，求直线l的方程． 随堂练习：已知椭圆的内接正方形的面积为，且长轴长为4． （1）求C的方程．（2）直线l经过点，且斜率大于零．过C的左焦点作直线l的垂线，垂足为A，过C的右焦点作直线l的垂线，垂足为B，试问在C内是否存在梯形，使得梯形的面积有最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 典例2、已知椭圆()的离心率为，其右焦点为F，点，且． （1）求C的方程； （2）过点P且斜率为()的直线l与椭圆C交于A、B两点，过A、B分别作y轴的垂线，垂足为M、N，直线AN与直线交于点E，证明：B、M、E三点共线． 随堂练习：已知椭圆C：过点，离心率． （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的左右两个顶点分别为A，B．过点的直线与椭圆C交于M、N（不与A、B重合）两点，直线AM与直线交于点Q，证明：B、N、Q三点共线． 典例3、已知椭圆，左右焦点分别为，直线y=-x+1与椭圆相交于两点． （1）求椭圆的焦点坐标及离心率； （2）求的面积． 随堂练习：已知椭圆：的长轴长为4，左、右顶点分别为，，经过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，（不与点，重合）． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）求四边形面积的最大值； 知识点二 根据a、b、c求椭圆标准方程,求椭圆的离心率或离心率的取值范围,椭圆中的直线过定点问题 典例4、已知椭圆：（）的左右焦点为，，上、下端点为，.若从，，，中任选三点所构成的三角形均为面积等于2的直角三角形. （1）求椭圆的方程； （2）如图，过点作两条不重合且，斜率之和为2的直线分别与椭圆交于，，，四点，若线段，的中点分别为，，试问直线是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由. 随堂练习：已知椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为，且离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设为的左顶点，过点作两条互相垂直的直线分别与交于两点，证明：直线 经过定点，并求这个定点的坐标． 典例5、已知椭圆E经过点和点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设圆，直线l与圆C相切于，与椭圆交于A，B两点，且，求直线l的方程. 随堂练习： 已知点B是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于 点P. （1）求动点P的轨迹E的方程； （2）直线与E交于点M，N，且，求m的值. 典例6、已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点 ②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆 （1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程； （2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若为椭圆上的点，，分别是椭圆的左右焦点，若，求的周长与面积. 随堂练习：已知椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，圆是的内切圆．当直线的倾斜角为时，直线与椭圆交于点． （1）求椭圆的方程； （2）求圆周长的最大值． 2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时七答案 典例1、答案： （1）； （2） 解：（1）因为，所以，且． 又，所以， 即，即，所以， 又离心率，所以，，所以， 所以椭圆方程为． （2）∵，又∵，∴，∴P点的坐标为． 依题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为， 由消去y整理，解得或， 所以Q点坐标为， 从而M点坐标为， 所以直线PM的方程为， 则N点的坐标为， 因为的面积是的面积的2倍，点Q在第三象限， 所以， 即，解得（舍负）， 所以满足条件的直线l的方程为， 即：． 随堂练习：答案：（1） （2）存在； 解：（1）设C的内接正方形的一个端点坐标为， 则，解得， 则C的内接正方形的面积为， 即．又，所以， 代入，解得，故C的方程为． （2）存在梯形，其面积的最大值为． 理由如下：设直线，． 因为直线l经过点，所以， 所以点到直线l的距离为， 点到直线l的距离为， 所以梯形的面积（为直线l的倾斜角）， 所以， 当且仅当时，等号成立， 此时，直线，直线， 联立这两条直线的方程，解得， 因为， 所以点在C的内部. 同理可证：也在C的内部. 故在C内存在梯形，其面积的最大值为． 典例2、答案： （1）； （2）证明见解析﹒ 解：（1）设()，由题意知，∴． ∵点，且，解得， ∴，， 因此C的方程为． （2）由题意可知，直线l的方程为． 由得， 设，，则，． ∵轴，∴，∴直线， 令，得． ∵轴，∴． ∴ ， ∴B，M，E三点共线． 随堂练习：答案： （1）； （2）证明见解析. 解：（1）由题意知，，， 所以，则， 所以椭圆C的方程为． （2）由题知：l斜率不为零，设l为，，， 由得，，则，， 所以， ∴，直线AM的方程为，则， ∴，， ∴ ，即， ∴N、B、Q三点共线． 典例3、答案： （1）焦点坐标为；离心率为 （2） 解：（1）椭圆知，该椭圆的焦点在 轴上，设焦距为， 由， 所以，所以焦点坐标为 离心率为： （2）由直线y=-x+1与椭圆相交于两点，设 则消去得，， 所以 又到y=-x+1的距离为 所以的面积为： 随堂练习：答案： （1）； （2） 解：（1）由题意，得，解得， 所以椭圆方程为， ，，， 则离心率为. （2）当直线的斜率不存在时，由题意，得的方程为， 代入椭圆的方程，得，， 又因为，， 所以四边形的面积, 当直线的斜率存在时，设的方程为， 设 ， 联立方程，消去，得， 由题意，可知恒成立， 则，， 四边形的面积 令，则四边形的面积，， 所以， 综上所述，四边形面积的最大值. 典例4、答案： （1） （2）直线过定点，且定点为 解：（1）解法一：从，，，中任选三点可构成四个三角形， 其中，. 为此仅需考虑，为面积等于2的直角三角形即可. 其中，. 因为为等腰三角形，故可得，即有：； 同时因为为等腰三角形，故可得，即有：； 综上可得：，，即可得椭圆的方程为. 解法二：由椭圆的对称性，结合已知条件可知从，，，中任选三点所构成的三角形， 均为等腰直角三角形，故四边形是面积为4的正方形， 又正方形的边长为，故，即 又正方形的对角线相等，所以，即 又因为，所以 从而椭圆的方程为. （2）解法一：依题意，设直线的方程为：① 设直线的方程为：， 联立方程①与椭圆的方程可得 由韦达定理得， 根据中点公式可得： 则，即 同理可得： 从而直线的斜率为： 故直线的方程为： 因为，将代入上式可得： 故直线必过定点. 解法二：依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为：①， 设直线的方程为：②， 设直线的方程为：， 联立方程②与椭圆的方程可得 由韦达定理得 根据中点公式可得： 同时点是直线和直线的交点，联立方程①②得 即可得， 整理得④ 同理可得⑤ 根据④⑤可以理解为，为关于的一元二次方程的两个根. 由韦达定理可得：，即可得：， ∴直线的方程为：，故直线必过定点. 随堂练习：答案： （1） （2）直线恒过定点，证明见解析 解：（1）由椭圆定义知：，解得：， 又离心率，，， 椭圆的标准方程为：. （2）由（1）知：； 当直线斜率存在时，设，，， 由得：， 则，解得：， ，， ，， 即， ， 即， 整理可得：，或； 当时，直线恒过点，不合题意； 当时，直线，恒过定点； 当直线斜率不存在且恒过时，即， 由得：，，满足题意； 综上所述：直线恒过定点. 典例5、答案： （1） （2）或 解：（1）设椭圆E方程为，（t，且） 将点代入椭圆方程得到, 解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）不妨设直线l的方程为, 因为该直线与圆相切，所以， 所以， 将直线方程代入椭圆方程并消去x 得：，则,， 所以， 联立，解得， 即或， 则直线l的方程为或. 随堂练习：答案： （1），（2）. 解: （1）由条件可得 所以动点P的轨迹E是以为焦点的椭圆，设其方程为 所以，所以 所以方程为 （2）设 联立可得 所以由得 因为 所以可解得 典例6、答案： （1）；（2）， 解:（1）选择条件①：由已知可得点代入椭圆方程得： 故椭圆方程为： 选择条件②： 由题设可得如下示意图，易知：△为等腰三角形且， ∴，又，即， ∴，则， ∵， ∴椭圆定义知：动点到两定点的距离和为定值4， ∴的轨迹方程为. （2）设 ， 则 在 中，根据余弦定理可得： 即 根据定义： 代入上式得： 故 且周长为： 随堂练习：答案：（1）；（2）． 解:（1）设椭圆的半焦距为，则， 当直线的倾斜角为时，直线的方程为， 又直线与椭圆交于点，， 将点代入椭圆方程得： 解得或（舍）， 椭圆的方程为 （2）设圆的半径为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，， 当直线的斜率存在时，设为，直线的方程为， 设， 由得 ， 又 综上， 当时，圆的周长取得最大值． ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$