圆锥曲线的方程（六）讲义——2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时六 知识点一 根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的直线过定点问题 典例1、已知椭圆的长轴长为，且经过点. （1）求C的方程；（2）过点斜率互为相反数的两条直线，分别交椭圆C于A，B两点（A，B在x轴同一侧）.求证：直线过定点，并求定点的坐标. 随堂练习：已知椭圆：过点，过右焦点作轴的垂线交椭圆于，两点，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）点，在椭圆上，且.证明：直线恒过定点. 典例2、已知椭圆经过点和点． （1）求椭圆的标准方程和离心率； （2）若、为椭圆上异于点的两点，且点在以为直径的圆上，求证：直线恒过定点． 随堂练习：已知椭圆过点，且离心率为． （1）求该椭圆的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，过该点的动直线l与椭圆C交于A，B两点，使得为定值？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由. 典例3、如图，已知椭圆：经过点，离心率为.点，以为直径作圆，过点M作相互垂直的两条直线，分别交椭圆与圆于点A，B和点N. （1）求椭圆的标准方程； （2）当的面积最大时，求直线的方程. 随堂练习：已知椭圆C的左、右焦点分别为，离心率为，过点且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P，且的面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与y轴正半轴交于点S，与曲线C交于点E，轴，过点S的另一直线与曲线C交于M，N两点，若，求所在的直线方程． 知识点二 求抛物线的切线方程,由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数,根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 典例4、如图，设为轴的正半轴上的任意一点，为坐标原点.过点作抛物线的两条弦和，､在轴的同侧. （1）若为抛物线的焦点，，直线的斜率为，且直线和的倾斜角互补，求的值； （2）若直线､､､分别与轴相交于点､､､，求证：. 随堂练习：已知抛物线，点为其焦点，为上的动点，为在动直线上的投影.当为等边三角形时，其面积为. （1）求抛物线的方程；（2）过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点A，B和C，D，点H，K分别为，的中点，求面积的最小值. 典例5、已知抛物线，过其焦点F的直线与C相交于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线，相交于点P． （1）求点P的轨迹方程；（2）若PA，PB与x轴分别交于Q，R两点，令的面积为，四边形PRFQ面积为，求的最小值． 随堂练习：已知抛物线的焦点为F，且F与圆上点的距离的最大值为5. （1）求抛物线C的方程； （2）若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求面积的最大值. 典例6、已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于M，N两点，交y轴于P点，点N位于点M和点P之间. （1）若，求直线l的斜率；（2）若，证明：为定值. 随堂练习：已知抛物线的焦点为． （1）如图所示，线段为过点且与轴垂直的弦，动点在线段上，过点且斜率为1的直线 与抛物线交于两点，请问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由； （2）过焦点作直线与交于两点，分别过作抛物线的切线，已知两切线交于点，求证：直线､、的斜率成等差数列． 2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时六答案 典例1、答案：（1）；（2）证明见解析，. 解:（1）由题意得，得，所以椭圆方程为：， 将代入椭圆方程得：，解得， 故椭圆C的方程为 （2）证明：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立，得. 设A，B的坐标分别为， 则， 且， 因为直线，斜率互为相反数，即， 所以，则， 即， 即， 所以，化简得， 所以直线的方程为， 故直线过定点 随堂练习：答案：（1） （2）证明见解析 解：（1）由已知得当时，， 又因为椭圆过点，则， 联立解得，故椭圆的标准方程为； （2）证明设点，， 因为，即， 即.* 当直线的斜率存在时，设直线方程为. 代入椭圆方程消去得， ，，， 根据，.代入*整理， 得， 结合根与系数的关系可得，. 即， 当时， 直线方程为.过点，不符合条件. 当时，直线方程为， 故直线恒过定点. 当直线的斜率不存在时，令点， 此时， 又.可得（舍去）或. 当时，与点重合，与已知条件不符， ∴直线的斜率一定存在，故直线恒过定点. 典例2、答案：（1）椭圆的标准方程为，离心率为 （2）证明见解析 解：（1）将点、的坐标代入椭圆的方程可得，解得，则， 所以，椭圆的标准方程为，离心率为. （2）分以下两种情况讨论： ①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、， 联立可得， 可得， 由韦达定理可得，， ，同理可得， 由已知，则 ， 所以，，即，解得或. 当时，直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意； 当时，直线的方程为，此时直线过定点，合乎题意； ②当直线轴，则点、关于轴对称，所以，，，即点， 由已知可得， ，，由已知， 则，所以，，因为，解得， 此时直线的方程为，则直线过点. 综上所述，直线过定点. 随堂练习：答案：（1） （2）存在， 解：（1），，椭圆，将代入可得，故， 椭圆方程为：； （2）当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，， 联立方程可得：， ，，为常数， 代入韦达定理可知，即为常数，，故 且，直线l过定点 当直线l斜率为0时，可检验也成立，故存在定点. 典例3、答案：（1） （2） 解：（1）将点代入得，， 又，，得， 所以，，即. （2）因为，设直线的方程为，设，， 联立，得， 且，则，， 则，且， 直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为， ∴， ∴面积， 当且仅当时，取到等号，此时， 所以直线的方程为. 随堂练习：答案： （1） （2）或. 解：（1）由题意知，， 又，∴，， ∴椭圆标准方程为. （2）∵轴，∴， 设，则，∴，即， ∵，∴，∴， ∴，即， 设，，则，， ∴. ①当直线的斜率不存在时，的方程为，此时∴不符合条件. ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立得. 得， ∴，即，解得. 故直线的方程为或. 典例4、答案：（1） （2）证明见解析. 解：（1）根据题意，为抛物线的焦点，则， 由于直线的斜率为，故直线的方程为， 所以联立方程得， 设，则， 因为直线和的倾斜角互补，所以， 因为，所以， 所以，解得. 所以. （2）设，直线的方程为，直线的方程为 设， 直线与抛物线联立得， 所以，，同理，直线与抛物线联立得， 所以，， 对于直线，由于， 所以，所以直线方程为， 故令得，即 同理得，，， 所以， ， 所以 随堂练习：答案：（1） ； （2）16. 解：（1）抛物线的焦点，准线， 为等边三角形，则有，而为在动直线上的投影，则， 由，解得，设，则点， 于是由得：，解得， 所以抛物线的方程为：. （2）显然直线AB，CD都不与坐标轴垂直，设直线AB方程为：，则直线CD方程为：， 由消去x并整理得：，设，则， 于是得弦AB中点，，同理得， 因此，直角面积 ，当且仅当，即时取“=”， 所以面积的最小值为16. 典例5、答案：（1） （2）2 解：（1）抛物线的焦点.由得，∴. 设，，，由导数的几何意义可得：，， ∴，即，同理． 又P在PA，PB上，则，所以． ∵直线AB过焦点F，∴．所以点P的轨迹方程是． （2）由（1）知，，代入得， 则， 则， P到AB的距离，所以， ∵，当时，得， ∴，∴，同理，． 由得，∴四边形PRFQ为矩形， ∵，∴， ∴，当且仅当时取等号．∴的最小值为2． 随堂练习：答案： （1） （2）32 解：（1）由题意知，，设圆上的点，则. 所以. 从而有. 因为，所以当时，. 又，解之得，因此. 抛物线C的方程为：. （2）切点弦方程韦达定义判别式求弦长求面积法 抛物线C的方程为，即，对该函数求导得， 设点、、， 直线的方程为，即，即 同理可知，直线PB的方程为， 由于点P为这两条直线的公共点，则， 所以，点A、B的坐标满足方程， 所以，直线的方程为， 联立，可得， 由韦达定理可得， 所以， 点P到直线AB的距离为， 所以，， ∵， 由已知可得，所以，当时，的面积取最大值. 典例6、答案：（1） （2）证明见解析 解：（1）设， 因为过点的直线l交抛物线C于M，N两点，所以直线斜率存在，且不为0， 设直线l为， 联立与得：， 则，， 因为，所以， 故，解得：， 当时，，此时，解得：， 直线l的斜率为，满足点N位于点M和点P之间， 当时，，此时，解得：， 直线l的斜率为，满足点N位于点M和点P之间， 综上：直线l的斜率为； （2）设， 因为过点的直线l交抛物线C于M，N两点，所以直线斜率不为0， 设直线l为，令得：，故， 联立与得：， 则，， 因为， 所以，， 解得：，， 所以， 故为定值-1. 随堂练习：答案： （1）是定值;定值为4. （2）证明见解析. 解：（1）依题意知 ，将 代入可得， 设，所以直线l的方程为 ， 联立方程 ，得： ,当不满足题意舍去， 则是定值. （2）证明：依题意设直线的方程为； ，设点 , 联立方程 得： ，， ， 又,点F坐标为,∴ , ，， ， 所以直线､、的斜率成等差数列． ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$