圆锥曲线的方程（四）讲义——2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时四 知识点一 椭圆中三角形（四边形）的面积,求椭圆中的最值问题,椭圆中的定值问题 典例1、已知椭圆的左右焦点为，且，直线过且与椭圆相交于两点，当是线段的中点时，． （1）求椭圆的标准方程； （2）当线段的中点不在轴上时，设线段的中垂线与轴交于点，与轴交于点为椭圆的中心，记的面积为的面积为，当取得最大值时，求直线的方程． 随堂练习：已知椭圆：的左右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，为 坐标原点， （1）若的面积为，求椭圆的标准方程： （2）过点作斜率的直线交椭圆于不同两点，，点在椭圆的内部，在椭圆上存在点，使，记四边形的面积为，求的最大值. 典例2、已知椭圆：与抛物线：有相同的焦点，抛物线的准线交椭圆于，两点，且. （1）求椭圆与抛物线的方程； （2）为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值. 随堂练习：在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过点，且 是椭圆的内接三角形. （1）若点为椭圆的上顶点，且原点为的垂心，求线段的长； （2）若点为椭圆上的一动点，且原点为的重心，求原点到直线距离的最小值. 典例3、已知椭圆经过点，其右顶点为． （1）求椭圆的方程； （2）若点、在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，证明直线经过定点． 随堂练习：已知F是椭圆的左焦点，焦距为4，且C过点． （1）求C的方程； （2）过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1与C交于A，B两点，l2与C交于D，E两点，记AB的中点为M，DE的中点为N，试判断直线MN是否过定点，若过点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 知识点二 直线与抛物线交点相关问题,根据韦达定理求参数 典例4、已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线l交抛物线C于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点. （1）当x1+x2＝8时，求直线l的方程；（2）若过点P（2，0）且垂直于直线l的直线l'与抛物线C交于M，N两点，记△ABF与△MNF的面积分别为S1与S2，求S1S2的最小值. 随堂练习：已知抛物线的焦点为，斜率为2的直线与抛物线相交于、两点． （1）若直线与抛物线的准线相交于点，且，求直线的方程； （2）若直线不过原点，且，求的周长． 典例5、已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且． （1）求抛物线C的方程；（2）直线FM与抛物线C交于A点，O为坐标原点，求面积． 随堂练习：已知抛物线的焦点为，O为坐标原点． （1）求抛物线方程；（2）斜率为1的直线过点F，且与抛物线交于A，B两点，求的面积． 典例6、已知抛物线的焦点为，为坐标原点． （1）过作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为．求抛物线的标准方程； （2）抛物线上有两点，若为正三角形，求的边长． 随堂练习：已知抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，为在动直线 上的投影，当为等边三角形时，其面积为. （1）求抛物线的方程；（2）设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于A，两点，直线与线段交于点，试问：是否存在，使得和的面积相等恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时四答案 典例1、答案：（1） （2） 解：（1）由于，所以，则右焦点的坐标为， 当时，代入椭圆方程为 ，故当是线段的中点时，此时轴， 故，又，联立即可求解 解得，，， 椭圆的标准方程：； （2）由线段的中点不在轴上可知直线有斜率且不为0， 设过椭圆的右焦点的直线的方程为，， 设，，，， 联立整理得：， 由韦达定理得，． ． 为线段的中点，则可得点，． ， 又直线的斜率为，直线的方程为：． 令得，，故 令得，,故 因此, , 故 令 ， 故，记， 故当时，，单调递增，当时，，单调递减， 故当时，取最大值 ，故此时取最大值， 此时， 此时直线的方程为 随堂练习：答案：（1） （2） 解：（1），∴， ，，又， 解得，所以椭圆的标准方程为：. （2），∴，椭圆， 令，直线l的方程为：， 联立方程组： ， 消去y得， 由韦达定理得，， 有 ， 因为：，所以， ， 将点Q坐标代入椭圆方程化简得： ， 而此时： . ， 而， O点到直线l的距离， 所以：， 因为点P在椭圆内部，所以 ，得， 又，所以 ，当，即时等号成立. 所以的最大值是. 典例2、答案：（1）椭圆的方程为：，抛物线的方程为：；（2）最大值为1. 解：（1）因为，所以不妨设的坐标为，的坐标为， 所以有：，∴，， ∴椭圆的方程为：，抛物线的方程为：； （2）由（1）可知：的坐标为：， 设直线的方程为：，到的距离为，则， 联立可得：，则， ， 当且仅当时取等号，故面积的最大值为1. 随堂练习：答案：（1）；（2）. 解：（1）设焦距为，由题意知：， 因此，椭圆的方程为：； 由题意知：，故轴，设，则，， ，解得：或， ，不重合，故，，故； （2）设中点为，直线与椭圆交于，两点， 为的重心，则， 当斜率不存在时，点在轴上，所以此时点在长轴的端点处 由,则，则到直线的距离为1； 当斜率存在时，设：，，， 则，所以， 所以，即 也即 ，则 ， 则：，，代入式子得：， 设到直线的距离为，则 时，； 综上，原点到直线距离的最小值为. 典例3、答案：（1） （2）证明见解析 解：（1）由题意可知，，将点的坐标代入椭圆的方程可得，可得， 因此，椭圆的方程为. （2）证明：若轴，则点、关于轴对称，则直线与也关于轴对称， 从而直线与的斜率互为相反数，不合乎题意. 设直线方程为，设点、， 联立，可得，，可得， 由韦达定理可得，， 因为， 整理可得， 即，化简得， 即，可得或. 当时，直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意； 当时，直线的方程为，此时直线过定点，合乎题意. 综上所述，直线过定点． 随堂练习：答案：（1） （2）过定点，定点坐标为 解：（1）依题意， 由解得， 所以椭圆的方程为. （2）由题意知，当其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为，此时直线为轴； 当的斜率都存在且不为时，设， 设，联立，整理得， ，， 则， 所以的中点， 同理由，可得的中点， 则， 所以直线的方程为，化简得， 故直线恒过定点． 综上，直线过定点. 典例4、答案：（1）x﹣y﹣2＝0或x+y﹣2＝0；（2）12. 解:（1）直线l过定点P（2，0），在x轴上，且直线l与抛物线相交，则斜率一定不为0， 可设直线l的方程为x＝my+2，联立抛物线的方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣8＝0， 可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，所以x1+x2＝my1+2+my2+2＝m（y1+y2）+4＝4m2+4， 因为x1+x2＝8，所以4m2+4＝8，解得m＝±1， 所以直线l的方程为x﹣y﹣2＝0或x+y﹣2＝0； （2）设直线l的方程为x＝my+2，联立抛物线的方程可得y2﹣4my﹣8＝0， 可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，则S1|PF||y1﹣y2|2， 因为直线MN与直线l垂直，且当m＝0时，直线l的方程为x＝2，此时直线l'的方程为x＝0， 但此时直线l'与抛物线C没有两个交点，所以不符题意，所以m≠0，所以直线l的斜率为， 因此直线MN的斜率为﹣m（m≠0），由点斜式方程可得直线l'的方程为y﹣0＝﹣m（x﹣2）， 即mx+y﹣2m＝0， 联立抛物线的方程y2＝4x，消去y，可得m2x2﹣（4m2+4）x+4m2＝0， 设M（x3，y3），N（x4，y4），可得x3+x4，x3x4＝4， 则y3﹣y4＝m（2﹣x3）﹣m（2﹣x4）＝﹣m（x3﹣x4）， 因此|y3﹣y4|＝|m||x3﹣x4|＝|m||m|， 所以S2|PF||y3﹣y4|1， 所以S1S2＝2444412， 当且仅当2m2即m＝±1时等号恒成立，所以S1S2的最小值为12. 随堂练习：答案： （1）；（2）. 解:（1）由抛物线可知，准线为， 设直线的方程为，则点的坐标为， 联立方程，消去后整理为， 又由，可得， 由点的坐标为，有， 解得或（舍去），故直线的方程为． （2）设直线的方程为， 点、的坐标分别为，， 联立方程，消去后整理为， 可得，， 又由，可得． 又由，， 可得， 得（舍去）或．由，可得，， 所以， ， 故的周长为． 典例5、答案: （1） （2） 解：（1）， 又点在抛物线C上， 根据抛物线的定义，， 所以， 所以， 所以， 代入得，， 所以， 所以抛物线C：. （2）根据题意，F坐标为， ， 所以直线. 联立和，所以， 所以 所以， 所以 随堂练习：答案： （1） （1） 解：（1），则由抛物线性质得， ∴，∴， 即抛物线的标准方程是. （2）由题意得，抛物线的焦点为， ∴斜率为1的直线的方程为，，， ， 所以，， ∴ 原点到直线的距离为， 所以的面积 典例6、答案：（1） （2） 解：（1）由抛物线方程知：，为抛物线的通径，则， ，解得：， 抛物线的标准方程为：. （2）为正三角形，，由抛物线对称性可知：轴， 设，则，解得：，， ，，解得：，，即的边长为. 随堂练习：答案：（1） （2） 解：（1）由题意得：，由抛物线定义可知：此时， 过点F作FD⊥P Q于点D，由三线合一得：D为PQ中点， 且，可得： 所以抛物线方程为 （2）由题意得：当M为AB中点时，满足题意， 设，由得：直线斜率为，则可设直线：， 整理得：，联立得： ， 设， 则， 则， 由得直线OQ：， 联立直线OQ与直线l得：， 从而，可得：，解得：. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$