圆锥曲线的方程（三）讲义——2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时三 知识点一 根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的直线过定点问题 典例1、已知椭圆经过点和点． （1）求椭圆的标准方程和离心率； （2）若、为椭圆上异于点的两点，且点在以为直径的圆上，求证：直线恒过定点． 随堂练习：已知椭圆过点，且离心率为． （1）求该椭圆的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，过该点的动直线l与椭圆C交于A，B两点，使得为定值？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由. 典例2、已知椭圆经过点，其右顶点为． （1）求椭圆的方程； （2）若点、在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，证明直线经过定点． 随堂练习：已知F是椭圆的左焦点，焦距为4，且C过点． （1）求C的方程； （2）过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1与C交于A，B两点，l2与C交于D，E两点，记AB的中点为M，DE的中点为N，试判断直线MN是否过定点，若过点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 典例3、已知为椭圆上任一点，，为椭圆的焦点，，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线：与椭圆的两交点为A，，线段的中点在直线上，为坐标 原点，当的面积等于时，求直线的方程． 随堂练习：已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，，且，点在该椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）过的直线与椭圆相交于，两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程． 知识点二 根据双曲线的渐近线求标准方程,求双曲线中的弦长,由中点弦坐标或中点弦方程、 斜率求参数,根据韦达定理求参数 典例4、已知双曲线C的两焦点在坐标轴上，且关于原点对称.若双曲线C的实轴长为2，焦距为，且点P（0，-1）到渐近线的距离为. （1）求双曲线C的方程； （2）若过点P的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A、B，交双曲线C的两条渐近线于点D、E（D在y轴左侧）.记和的面积分别为、，求的取值范围. 随堂练习：双曲线的中心在原点，焦点在轴上，且焦点到其渐近线的距离为2． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与其渐近线分别交于，（从左至右）两点． ①证明：； ②是否存在这样的直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 典例5、已知两定点,满足条件的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1 与曲线E交于A,B两点, (1)求k的取值范围; (2)如果,且曲线E上存在点C,使,求m的值和的面积S． 典例6、已知双曲线：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1． （1）求双曲线的标准方程与离心率；（2）已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的A，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积． 随堂练习：在平面直角坐标系中中，已知双曲线的一条渐近线方程为， 过焦点垂直于实轴的弦长为． （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线交于两点，且，若的面积为，求直线的方程. 2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时三答案 典例1、答案：（1）椭圆的标准方程为，离心率为 （2）证明见解析 解：（1）将点、的坐标代入椭圆的方程可得，解得，则， 所以，椭圆的标准方程为，离心率为. （2）分以下两种情况讨论： ①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、， 联立可得， 可得， 由韦达定理可得，， ，同理可得， 由已知，则 ， 所以，，即，解得或. 当时，直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意； 当时，直线的方程为，此时直线过定点，合乎题意； ②当直线轴，则点、关于轴对称，所以，，，即点， 由已知可得， ，，由已知， 则，所以，，因为，解得， 此时直线的方程为，则直线过点. 综上所述，直线过定点. 随堂练习：答案：（1） （2）存在， 解：（1），，椭圆，将代入可得，故， 椭圆方程为：； （2）当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，， 联立方程可得：， ，，为常数， 代入韦达定理可知，即为常数，，故 且，直线l过定点 当直线l斜率为0时，可检验也成立，故存在定点. 典例2、答案：（1） （2）证明见解析 解：（1）由题意可知，，将点的坐标代入椭圆的方程可得，可得， 因此，椭圆的方程为. （2）证明：若轴，则点、关于轴对称，则直线与也关于轴对称， 从而直线与的斜率互为相反数，不合乎题意. 设直线方程为，设点、， 联立，可得，，可得， 由韦达定理可得，，因为， 整理可得， 即，化简得， 即，可得或. 当时，直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意； 当时，直线的方程为，此时直线过定点，合乎题意. 随堂练习：答案：（1） （2） 过定点，定点坐标为 解：（1）依题意， 由解得， 所以椭圆的方程为. （2）由题意知，当其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为，此时直线为轴； 当的斜率都存在且不为时，设， 设，联立，整理得， ，， 则， 所以的中点， 同理由，可得的中点， 则， 所以直线的方程为， 化简得， 故直线恒过定点． 综上，直线过定点. 典例3、答案：（1） （2）或 解：（1）由椭圆定义得，，所以，故， 所以椭圆的方程为． （2）设代入方程， 得 所以，， 所以，解得， 则式变为则， 底边上的高，所以的面积． 令，解得， 把，代入式，经检验，均满足， 此时直线的方程为或． 随堂练习：答案：（1）； （2）. 解：（1）由题意知，所以，， 所以，由椭圆定义知：， 则，， 故椭圆的方程为． （2）①当直线轴时，令，可得，解得， 可取，，此时的面积，与题设矛盾，舍去． ②当直线与轴不垂直时， 设直线的方程为，代入椭圆方程得， 成立， 设，，则，， 可得． 又圆的半径， ∴的面积为， 化简得，解得， ∴， ∴圆的方程为． 典例4、答案： （1）；（2）. 解:（1）由，知，，， 故双曲线C的方程为或. 由点到渐近线的距离为，知双曲线方程为. （2）设l：，，. 由可得；由可得. 由得，∴，. ∴. 由和的高相等，可， 由得， 所以，. 随堂练习：答案： （1）；（2）①见详解；②. 详解:（1）因为双曲线C的渐近线为y＝±2x， 由双曲线的焦点在x轴上时，则双曲线， 渐近线的方程为，焦点F（±c，0）， 所以解得a＝1，b＝2， 所以双曲线的方程为； （2）①由（1）知双曲线的方程为， 其渐近线的方程为y＝±2x，设直线l：y＝kx+2， 因为直线l交C双曲线的左右两支分别于A，B，所以﹣2＜k＜2， 联立，得（4﹣k2）x2﹣4kx﹣8＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 所以x1+x2＝，x1x2＝， 联立，解得x＝，y＝，则M（，）， 联立，解得x＝，y＝，则N（，）， 所以|AM|＝，|BM|＝， 所以|AM|2﹣|BN|2＝（1+k2）[（x1﹣）2﹣（x2+）2] ＝（1+k2）[（﹣x2﹣）2﹣（x2+）2]＝（1+k2）[（﹣﹣x2）2﹣（x2+）2] ＝（1+k2）[（+x2）2﹣（x2+）2]＝0， 所以|AM|＝|BN|． ②由共线，可得， 由①可得， 解得，所以符合题意， 所以直线的方程为. 典例5、答案：（1）；（2），面积为. 解：（1）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支， 且，得， 故曲线的方程为； 设，由题意建立方程组， 消去，得， 又直线与双曲线左支交于两点，有，解得， （2）， 依题意得，整理后得， ∴或，但∴， 故直线的方程为， 设，由已知，得， ∴， 又， ∴点， 将点的坐标代入曲线的方程，得得， 但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意， ∴，点的坐标为，到的距离为， ∴的面积. 典例6、答案： （1），离心率为 （2） 解：（1）由题意知焦点到渐近线的距离为， 则 因为一条渐近线方程为，所以， 又，解得，， 所以双曲线的标准方程为， 离心率为． （2）设直线：，，， 联立 则， 所以， 由 解得或（舍去）， 所以， ：，令，得， 所以的面积为 随堂练习：答案： （1） （2）或 解：（1）过C的焦点垂直于实轴的弦长为6，将代入双曲线，得，则①， 又C的一条渐近线方程为，则②， 由①②解得，， 所以双曲线C的方程为． （2）显然，当直线OA斜率为0或不存在时均不符合题意． 当直线OA斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，则方程为． 联立，整理得，于是得 则，同理可得， 因为 整理得，解得． 即或 （满足）． 考虑到，只需分以下两种情形： ①当OA、OB的斜率为、时， 结合得或， 同理可得或， 于是由点、，据直线的两点式方程并化简可得AB方程， 同理可得AB的方程为或或． ②同理，当OA、OB的斜率为、时， 直线AB的方程为，或或或 综上，直线AB的方程为或 ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$