圆锥曲线的方程（二）讲义——2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时二 知识点一 根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的直线过定点问题 典例1、已知椭圆T：经过以下四个不同点中的某三个点：，，，． （1）求椭圆T的方程； （2）将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到椭圆E．已知M，N两点的坐标分别为，，点F是直线上的一个动点，且直线，分别交椭圆E于G，H（G，H分别异于M，N点）两点，试判断直线是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 随堂练习：已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，，为坐标原点，直线：与的两个交点和，构成一个面积为的菱形. （1）求的方程； （2）圆过，，交于点，，直线，分别交于另一点，. ①求的值； ②证明：直线过定点. 典例2、已知椭圆过点，椭圆的左、右顶点分别为，点P坐标为，成等差数列． （1）求椭圆的标准方程； （2）若对斜率存在的任意直线l与椭圆恒有M，N两个交点，且．证明：直线l过定点． 随堂练习：已知椭圆：过点，且点A到椭圆的右顶点的距离为. （1）求椭圆的方程； （2）已知为坐标原点，直线：与交于M，N两点，记线段MN的中点为P，连接OP并延长交于点Q，直线交射线OP于点R，且，求证；直线过定点. 典例3、如图，已知椭圆：经过点，离心率为.点，以为直径作圆，过点M作相互垂直的两条直线，分别交椭圆与圆于点A，B和点N. （1）求椭圆的标准方程； （2）当的面积最大时，求直线的方程. 随堂练习：已知椭圆C的左、右焦点分别为，离心率为，过点且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P，且的面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与y轴正半轴交于点S，与曲线C交于点E，轴，过点S的另一直线与曲线C交于M，N两点，若，求所在的直线方程． 知识点二 求双曲线中三角形（四边形）的面积问题,根据韦达定理求参数 典例4、已知双曲线的焦距为，且过点，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与、两点，为坐标原点. （1）求双曲线的方程；（2）求证：面积为定值，并求出该定值. 典例5、已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为． （1）求双曲线的方程；（2）经过点的直线与双曲线的右支交与两点，与轴交与点，点 关于原点的对称点为点，求证：． 随堂练习：已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，的左､右焦点分 别为，，且到的一条渐近线的距离为1. （1）求的标准方程；（2）若是与在第一象限的交点，与的另一个交点为P，与的另一个交点为，与的面积分别为，，求. 典例6、已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切， （1）求圆心的轨迹方程（2）若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值. 随堂练习：已知点，，动点满足直线的斜率与直线的斜率乘积为．当 时，点的轨迹为；当时点的轨迹为． （1）求，的方程； （2）是否存在过右焦点的直线，满足直线与交于，两点，直线与交于，两点，且？若存在，求所有满足条件的直线的斜率之积；若不存在，请说明理由， 2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时二答案 典例1、答案：（1）；（2）直线恒过定点. 解:（1）由题意可得A，C一定在椭圆上，即①， 若B在椭圆上，则②， 由①②可得，不存在， 所以D在椭圆上，可得③， 由①③可得，， 所以椭圆的方程为：； （2）将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变， 设E上的点为：，对应的点，由题意可得，， 所以，， 所以E的方程， 设，，， ， 所以直线的方程为：，直线的方程， 联立直线与椭圆的方程整理可得， 所以，，即， 联立直线NF与椭圆的方程：整理可得， 所以，即， 所以直线的斜率为：， 所以直线的方程为：， 整理可得，当，. 所以直线恒过定点． 随堂练习：答案：（1） （2）①②证明见解析 解：（1）因为直线：与的两个交点和，构成的四边形是菱形， 所以垂直平分，所以，. 设为直线与的一个交点，则菱形的面积为. 因为菱形的面积为，所以，解得，即. 将点代入，得，又因为，所以. 故的方程为. （2）①由题意，得为圆的一条弦，且直线垂直平分该弦， 故直线经过圆心，所以为圆的直径，因此，即. 设，，则. 注意到，，则. 又因为，，所以. ②易知直线不可能平行于轴，则设直线的方程为（），，. 由得. ，（*） ，.①因为，，所以， 即， 即. 将①代入上式得， 化简得，解得，满足（*）， 所以直线的方程为， 故直线过定点. 典例2、答案：（1） （2）证明见解析 解：（1）由题意知：，， 成等差数列．可得： 解得： 又，，解得： 故椭圆标准方程为： （2）设直线方程为 联立，化简得： 可得：，， 则有： 可得： 解得：或 故直线方程为：或 所以直线恒过点或 又因为直线l与椭圆恒有两个交点，故易知定点必在椭圆内，故直线l恒过点 随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析 解：（1）由题意得，，解得或（舍去）， 则椭圆的方程为 将代入：得，，解得， 则椭圆的方程为. （2）设，，：， 联立，得， 由得，∴，∴. 由斜率公式可知，∴：，∴. 联立，得，即. ∵，∴， ∴，∴，此时满足， 则直线为：，则直线过定点. 典例3、答案：（1） （2） 解：（1）将点代入得，， 又，，得， 所以，，即. （2）因为，设直线的方程为，设，， 联立，得， 且，则，， 则，且， 直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为， ∴， ∴面积， 当且仅当时，取到等号，此时， 所以直线的方程为. 随堂练习：答案： （1） （2）或. 解：（1）由题意知，， 又，∴，， ∴椭圆标准方程为. （2）∵轴，∴， 设，则，∴，即， ∵，∴，∴， ∴，即， 设，，则，， ∴. ①当直线的斜率不存在时，的方程为，此时∴不符合条件. ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立得. 得， ∴，即，解得. 故直线的方程为或. 典例4、答案：（1）；（2）证明见解析，面积为. 解:（1）设双曲线的焦距为， 由题意可得：，则双曲线的方程为； （2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在， 设直线的方程为， 则消得， ，① 设与轴交于一点，， ， 双曲线两条渐近线方程为：， 联立，联立， 则（定值）. 典例5、答案：（1）；（2）证明见解析． 解：（1）由题意得，， 解得所以双曲线的方程为： （2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：，得，， 设，， 联立，整理可得 ， 所以 所以 直线与双曲线右支有两个交点，所以 所以，设， 所以 随堂练习：答案： （1） （2） 解：（1）双曲线的离心率为： 故椭圆的离心率为： 双曲线的一条渐近线方程为： 设的坐标为：，则，解得 又，解得， 故椭圆的标准方程为： （2）联立方程组： 解得：，即点坐标为： 直线的斜率为： 则直线的方程为： 联立方程组： 解得：或 即点坐标为，点到的距离为 联立方程组： 解得：或 即点坐标为，点到的距离为 则，即 典例6、答案： （1） （2）证明见解析 解：（1）因为圆C与圆A、圆B外切， 设C点坐标，圆C半径为， 则，， 所以<4， 所以点C的轨迹是双曲线的一支， 又，，， 所以其轨迹方程为； （2）设直线为， 联立，消去y得：， 所以， 设MN中点坐标为G，则， 所以，， 直线GP的方程为:， ， 所以， 所以=1. 随堂练习：答案： （1）C1：，C2： （2）存在， 解：（1）设，． 对于，由题可得， 整理得， 故的方程为． 对于由题可得， 整理得． 故的方程为． （2）由（1）可得，， 的右焦点为，设，，，． 当直线的斜率不存在时，直线与无交点，不满足题意，故直线的斜率存在， 于是可设直线的方程为， 联立直线方程与椭圆方程可得， 恒成立， 由韦达定理：，．① 于是， 将①代人整理得． 同理其中，故． 因为，所以． 设，则即． 平方整理得， 因式分解得， 解得，，（舍去）， 即，． 于是所有满足条件的直线的斜率之积为． ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$