圆锥曲线的方程（一）讲义——2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时一 知识点一 求椭圆中的最值问题 典例1、如图，椭圆的左、右焦点为，过的直线与椭圆相交于、 两点. （1）若，且 求椭圆的离心率. （2）若，求的最大值和最小值. 随堂练习：已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆E的离心率为，且通径长为1． （1）求E的方程；（2）直线l与E交于M，N两点（M，N在x轴的同侧），当时，求四边形面积的最大值． 典例2、已知焦点在x轴的椭圆C：离心率e=，A是左顶点，E（2，0） （1）求椭圆C的标准方程： （2）若斜率不为0的直线l过点E，且与椭圆C相交于点P，Q两点，求三角形APQ面积的最大值 随堂练习：已知椭圆的中心在原点，焦点，且经过点． （1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上有一点P，另一焦点，求的面积的最大值． 典例3、椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过的长轴，短轴端点的一条直线方程是. （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线交椭圆于，两点，若点关于轴的对称点为，证明直线过定点. 随堂练习：已知椭圆经过点和点． （1求椭圆的标准方程和离心率； （2）若、为椭圆上异于点的两点，且点在以为直径的圆上，求证：直线恒过定点． 知识点二 求双曲线中三角形（四边形）的面积问题,根据韦达定理求参数 典例4、已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且． （1）求双曲线的方程；（2）动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值． 随堂练习：已知双曲线C：的离心率为，焦点到其渐近线的距离为1． （1）求双曲线C的标准方程；（2）已知直线l：与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求△OAB的面积． 典例5、已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M， 且，． （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围． 随堂练习：在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆C上某一点恰好与 点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线的交点为T. （1）求证：为定值，并求出点的轨迹方程； （2）曲线上一点P，点A､B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围. 典例6、已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为， 与双曲线交于A，两点，求的值． 随堂练习：已知双曲线C的渐近线方程为，右焦点到渐近线的距离为. （1）求双曲线C的方程； （2）过F作斜率为k的直线交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：为定值. 2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时一答案 典例1、答案：（1）；（2）最大值；最小值. 解:（1）， 因为。所以， 所以， 所以 （2）由于，得，则. ①若垂直于轴，则， 所以， 所以 ②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为 由 得 ，方程有两个不等的实数根. 设，., = ，所以当直线垂于轴时，取得最大值 当直线与轴重合时，取得最小值 随堂练习：答案：（1）；（2）2. 解:（1）依题意可知，解得 故椭圆的方程为． （2）延长交E于点，由（1）可知， 设，设的方程为，由得，故． 设与的距离为d，则四边形的面积为S， ， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 故四边形面积的最大值为2． 典例2、答案：（1）（2） 解:（1）∵∴，a=4， 椭圆的标准方程为； （2）设直线l的方程为x=my+2，代入椭圆方程得， 设P，Q，则 ∴三角形APQ面积为：， 令 ∵函数y=x+在上单调递增 ∴当u=，即m=0时，三角形APQ的面积取最大值. 随堂练习：答案：（1） （2） 解：（1）因为椭圆的焦点为且过，所以 所以，，所以椭圆方程为：； （2）因为， 因为， 所以，此时P点位于短轴端点处 典例3、答案：（1）；（2）见解析 解: （1）对于，当时，，即，当，，即， 椭圆的方程为， （2）证明：设直线，（）， 设，两点的坐标分别为，，则， 联立直线与椭圆得， 得， ，解得 ，， ， 直线 ， 令，得 ， 直线过定点 随堂练习：答案：（1）椭圆的标准方程为，离心率为 （2）证明见解析 解：（1）将点、的坐标代入椭圆的方程可得，解得，则， 所以，椭圆的标准方程为，离心率为. （2）分以下两种情况讨论： ①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、， 联立可得， 可得， 由韦达定理可得，， ，同理可得， 由已知，则 ， 所以，，即，解得或. 当时，直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意； 当时，直线的方程为，此时直线过定点，合乎题意； ②当直线轴，则点、关于轴对称，所以，，，即点， 由已知可得， ，，由已知， 则，所以，，因为，解得， 此时直线的方程为，则直线过点. 综上所述，直线过定点. 典例4、答案：（1） （2）证明见解析 解：（1）不妨设 , 因为, 从而 故由 , 又因为, 所以 , 又因为 在圆 上, 所以 所以双曲线的标准方程为： （2）设直线与轴交于点，双曲线的渐近线方程为 由于动直线与双曲线恰有1个公共点, 且与双曲线的两条渐近线分别交于点, 当动直线的斜率不存在时, ,，, 当动直线的斜率存在时, 且斜率, 不妨设直线 , 故由 依题意，且 , 化简得 , 故由 , 同理可求,, 所以 又因为原点到直线的距离, 所以,又由 所以, 故的面积是为定值,定值为 随堂练习：答案： （1） （2） 解：（1）双曲线C：的焦点坐标为，其渐近线方程为， 所以焦点到其渐近线的距离为． 因为双曲线C的离心率为， 所以，解得， 所以双曲线C的标准方程为． （2）设，， 联立，得，， 所以，． 由， 解得t＝1（负值舍去）， 所以，． 直线l：，所以原点O到直线l的距离为， ， 所以△OAB的面积为． 典例5、答案：（1）；（2）. 解:（1）由已知，，，， ∵，则，∴，∴， 解得，，∴双曲线的方程为． （2）直线l的斜率存在且不为0，设直线l:，设、， 由，得， 则，解得①， ∵点在以线段AB为直径的圆的外部，则， ，解得②， 由①、②得实数k的范围是. 由已知，∵B在A、Q之间，则，且， ∴，则，∴， 则， ∵，∴， 解得，又，∴． 故λ的取值范围是． 随堂练习：答案： （1）证明见解析， （2） 解：（1）证明：如图，由点与关于对称， 则，，故为定值. 由， 由双曲线定义知，点的轨迹为以为焦点，实轴长为8的双曲线， 设双曲线方程为 ，， 所以双曲线方程为； （2）由题意知，分别为双曲线的渐近线 设，由，设. ，由于P点在双曲线上 又同理，设的倾斜角为， 则. 由函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增， 当时， ； 当时，； . 典例6、答案： （1） （2）6 解：（1）设所求双曲线方程为， 代入点得：，即， 双曲线方程为，即； （2）由（1）知：，， 即直线的方程为， 设，， 联立，得， 满足，且，， 由弦长公式得. 随堂练习：答案： （1）；（2）证明见解析. 解:（1）设双曲线方程为 由题知 双曲线方程为： （2）设直线l的方程为代入 整理得，设 所以： 由弦长公式得： 设AB的中点 则， 代入l得： AB的垂直平分线方程为 令y=0得，即，所以：为定值. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$