精品解析：江苏省宿迁市2024届高三下学期三模数学试题

高三年级信息卷 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式可得集合，再由补集和子集的运算可得实数的取值范围. 【详解】因为或， 所以或， 所以， 又，且， 所以， 所以实数的取值范围为， 故选：D. 2. 已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充要条件，进而判断. 【详解】过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条， 则当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线为； 当直线的斜率存在时，设直线为， 则，消去 整理得， 即有两个不同的解， 所以即，解得或， 所以 “”是“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件. 故选：A. 3. 已知函数 为上的奇函数，且当 时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出，根据 为上的奇函数，得到. 【详解】， 因为 为上的奇函数，所以. 故选：A 4. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的一个单调增区间 B. 是的一个对称中心 C. 在上值域为 D. 将的图象向右平移个单位，再向下平移一个单位后所得图象的函数解析式为 【答案】C 【解析】 【分析】化简函数由函数，结合三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换，即可求解. 【详解】由函数 ， 对于A中，当，可得，此时函数不是单调函数，所以A错误； 对于B中，由，所以函数的一个对称中心为，所以B不正确； 对于C中，由，可得，所以， 所以，即，所以C正确； 对于D中，将的图象向右平移个单位，得到， 再向下平移一个单位后所得图象的函数解析式为，所以D错误. 故选：C. 5. 已知在复平面内复数，对应的向量分别为，．若，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先表示出，，即可求出，再求出及，最后根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：B 6. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数与的单调性，判断函数的最值的情况即可. 【详解】分析函数及其导函数的图象，可知虚线表示的是的图象，实线表示的是的图象. 并且当时，；当 时，. 对函数，， 因为，在上恒成立，所以在上恒成立. 即函数在上单调递增，无最值； 对函数，， 当时，；当 时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在 处取得最大值，为. 故选：C 7. 甲、乙、丙等5人站成一排，甲乙相邻，且乙丙不相邻， 则不同排法共有（ ） A. 24 种 B. 36 种 C. 48 种 D. 72 种 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法，结合排列组合只是求解. 【详解】甲乙捆绑在一起看成一个整体，与丙以外的2人全排列，有种， 又因为乙丙不相邻， 所以把丙放入一共有3种， 所以一共有种， 故选：B. 8. 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作出四棱锥的内切球截面大圆，确定球半径表达式，再借助四棱锥体积求出球半径计算作答. 【详解】如图，取中点，中点 ，连接，，， 因 是正三角形，则，又是矩形，有， 而平面平面，平面平面，平面，平面， 因此平面，平面， 又，则平面，平面，则，， ，平面，则平面，又平面， 所以，而，则，显然， 由球的对称性和正四棱锥的特征知，平面截四棱锥的内切球得截面大圆， 此圆是的内切圆，切，分别于， ，有四边形为正方形， 设，又，，则球的半径， 又四棱锥的表面积为， 由得： ， 即， 故即，解得， 故， ，， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是过点作出四棱锥的内切球截面大圆，利用等体积法求出内切球半径 和. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5对样本数据（见表格），若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是（ ） 1 2 3 4 5 1 A. B. 当 时的残差为 C. 样本数据y的40百分位数为1 D. 去掉样本点后，y与x的相关系数不会改变 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，由表格数据求出样本点的中心坐标，代入可得的值由此即可判断；对B，由回归方程求得得值，根据残差的定义运算；对C，由百分位数的概念即可判断，对D，由相关系数公式即可判断. 【详解】由，，所以样本中心点为， 对于A，将它代入，得，解得，故A错误； 对于B，当 时，，所以残差为，故B正确； 对于C，样本数据 的第40百分位数为，故C错误； 对于D，由相关系数公式可知，， 所以5组样本数据的相关系数为： ， 去掉样本中心点后相关系数为： ， 所以去掉样本点后， 与 的样本相关系数 不会改变，故D正确. 故选：BD. 10. 在中，角所对的边分别为．若，且边上的中线长为，则（ ） A. B. 的取值范围为 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，将条件利用三角恒等变换结合正弦定理化简求得角；对B，利用向量，运算结合基本不等式求解；对C，由B选项结合三角形面积公式求解；对D，由题可得，令，由，得，解得，所以三角形周长，利用导数求解判断. 【详解】对于A，由，所以, 所以，由正弦定理可得 ，因为，, 可得，化简得，又， .故A正确； 对于B，设，，，根据题意，，， ，化简得，则， ，当且仅当时等号成立，又，， ，，即，故B正确； 对于C，由B，可得，故C错误； 对于D，由前面选项，可得，且，， ，即，令，由，得，解得， 所以三角形周长， 则，令，解得，又，所以在 上单调递减，所以，故D错误. 故选：AB. 11. 已知定义在上不为常数的函数 满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件，利用赋值法依次验证各个选项. 【详解】对于A，令，则，即， 又函数不为常数，，即，故A正确； 对于B，令，则， 令，则，得， 令，则，得，故B正确； 对于C，令 ，则，所以，即，故C错误； 对于D，令，则，所以， 则，又， ， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项，解题关键是先证明，结合，利用基本不等式证明. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，若，且，则______． 【答案】1024 【解析】 【分析】根据题意，由二项式系数的性质可得，然后令代入计算，即可得到结果. 【详解】根据题意，是二项式系数最大的项，则， 令，得， . 故答案为：1024. 13. 表示不小于x的最小整数，例如，．已知等差数列的前n项和为，且，．记，则数列的前10项的和______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出数列的通项公式，再求数列的前10项的和. 【详解】由，可得，解得， 又，得，解得， 所以数列的公差为，， 又， ，同理，，，，， 所以数列的前10项的和为. 故答案为：. 14. 若椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，的内切圆的半径为1，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用等面积法得，结合椭圆定义和离心率为，求得答案. 【详解】如图，， 所以，. 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某批零件一级品的比例约为，其余均为二级品．每次使用一级品零件时肯定不会发生故障，而在每次使用二级品零件时发生故障的概率为 ．某项任务需要使用该零件次（若使用期间出现故障则换一件使用）． （1）某零件在连续使用3次没有发生故障的条件下，求该零件为一级品的概率； （2）当时，求发生故障次数的分布列及期望． 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 【解析】 【分析】（1）记事件 “从这批产品中任取一件为一级品”，事件 “使用零件次，没有发生故障”，利用全概率公式求出，再由条件概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为 ， ， ，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望. 【小问1详解】 记事件 “从这批产品中任取一件为一级品”，则， 记事件 “使用零件次，没有发生故障”，则，． 则， 所以． 【小问2详解】 依题意的可能取值为 ， ， ． 所以， ， ， 所以的分布列如下 0 1 2 所以． 16. 如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，为半个圆柱上底面的直径， ，，点， 分别为 ， 的中点，点为的中点． （1）证明：平面平面； （2）若 是线段上一个动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）证明：连接，由点为的中点，为半个圆柱上底面的直径知， 由 ，，知，， 则，又四点共面，所以， 由为直三棱柱的侧面知，即，则， 由 为 的中点得， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，，则平面， 因为， 分别为 ， 的中点，所以， 又 平面，， 平面，，所以平面， 又 平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，，进而证明为平行四边形，可得，再证明 ，由面面平行的判定定理得证； （2）方法1，建立空间直角坐标系，利用向量法求解；方法2，先证明平面平面，过作交于 ，则就是直线与平面所成角，利用平面几何求出最小，得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （法一）以为一组空间正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 设， 则， 由平面平面知直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 设平面的法向量为， 由，取 ，得， 则平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为 ，则 ， 又，则时，的最大值为． 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． （法二）在直三棱柱中，底面 ， 因为 底面 ，所以， 由（1）知，，所以， 又 平面， 所以平面， 因为 平面， 所以平面平面， 过作交于 ， 因为平面平面，所以平面， 又平面平面， 则直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 因为∽，且正方形 的边长为2， 所以，则， 又，要使值最大， 则最小，在中 ， 过作交于 ，由等面积可求出，此时． 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍． （1）求双曲线的标准方程； （2）若，是双曲线上的两个动点，且恒有，是否存在定圆与直线相切？若存在，求出定圆的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在； 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，列出方程，求得，再由点在双曲线上，得到，结合，联立方程组，求得的值，即可求解； （2）（ⅰ）若直线的斜率不存在，设方程为，求得原点到直线的距离为． （ⅱ）若直线的斜率存在，设为，由，得到，联立方程组，得到，代入求得，得到到直线的距离为，即可得到答案. 【小问1详解】 解：设双曲线的焦距为，因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍， 可得，所以， 因为，可得，且， 所以，解得或（舍去）， 又因为点在双曲线上，所以， 联立方程组得或（舍去）， 所以双曲线方程为：． 【小问2详解】 解：（ⅰ）若直线的斜率不存在，设方程为， 因为，再设，则，可得， 由，联立方程组，解得，可得原点到直线的距离为． （ⅱ）若直线的斜率存在，设方程为， 又，设，则，即， 则，（*） 联立方程组，整理得 当且，即且时， ， 代入（*）得， 即（其中）， 原点到直线的距离为， 综合（ⅰ）（ⅱ），存在以原点为圆心，半径为的圆与直线相切， 所求定圆的方程为． 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线问题的方法与策略： 1、涉及圆锥曲线的定义问题：抛物线的定义是解决圆锥曲线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、圆锥曲线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及圆锥曲线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用圆锥曲线定义就能解决问题．因此，涉及圆锥曲线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用圆锥曲线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 2、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用. 18. 在数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足； ①求证：数列是等差数列； ②若，设数列的前n项和为，求证：． 【答案】（1） （2）①证明：由得 所以① 所以② ②-①得：③ 所以④ ④-③得，所以 即 所以数列是等差数列． ②证明：当时，由得，所以， 又，故的公差为1，所以， 所以， 即 ． 【解析】 【分析】（1）变形得到，结合，故，从而得到； （2）①化简得到，利用得到，同理可得，证明出是等差数列； ②求出，结合，得到公差，得到通项公式，所以，裂项相消法求和证明出结论. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以n=1时，， 所以数列是各项为0的常数列，即， 所以． 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】方法点睛：常见的裂项相消法求和类型： 分式型：，，等； 指数型：，等， 根式型：等， 对数型：，且； 19. 已知函数． （1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值； （2）若函数恒成立，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出 ，由建立等式求出，代入计算即可； （2）先求出 ，令，设，使得，即，根据导函数求出，根据不等式恒成立建立不等式得，计算即可. 【小问1详解】 因为，函数的定义域为， 所以， 由曲线在处的切线的方程为，得， 所以， 设，， 所以函数是上的递增函数，又， 所以方程有唯一解， 所以，， 所以切点坐标为，代入直线方程得． 【小问2详解】 ，定义域为， ， 设，所以， 所以 在上递减，又，， 所以当时，，即，函数 递增， 当时，，即，函数 递减， 所以函数 的最大值 ， 又， 所以， 所以， 因为恒成立，即恒成立， 设，则，所以递增， 所以，即恒成立， 因为 在上递减，且， 所以只需恒成立，即， 又，所以． 【点睛】关键点点睛：本题第一问求解的关键在于根据导数的几何意义建立等式求出，在解的过程中要注意说明解得唯一性；第二问求解关键在于分母恒大于零，在探究导函数单调性时只需对导函数分子求导，根据导数求出，再根据不等式恒成立建立不等式得，最后计算可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级信息卷 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线，点，则“”是“过 且与 仅有一个公共点的直线有3条”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数为上的奇函数，且当 时，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的一个单调增区间 B. 是的一个对称中心 C. 在上值域为 D. 将的图象向右平移个单位，再向下平移一个单位后所得图象的函数解析式为 5. 已知在复平面内复数，对应的向量分别为，．若，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 7. 甲、乙、丙等5人站成一排，甲乙相邻，且乙丙不相邻， 则不同排法共有（ ） A. 24 种 B. 36 种 C. 48 种 D. 72 种 8. 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5对样本数据（见表格），若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是（ ） 1 2 3 4 5 1 A. B. 当时的残差为 C. 样本数据y的40百分位数为1 D. 去掉样本点后，y与x的相关系数不会改变 10. 在 中，角所对的边分别为．若，且边上的中线长为，则（ ） A. B. 的取值范围为 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为 11. 已知定义在上不为常数的函数满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，若，且，则______． 13. 表示不小于x的最小整数，例如，．已知等差数列的前n项和为，且，．记，则数列的前10项的和______． 14. 若椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，点在椭圆 上，的内切圆的半径为1，则的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某批零件一级品的比例约为，其余均为二级品．每次使用一级品零件时肯定不会发生故障，而在每次使用二级品零件时发生故障的概率为 ．某项任务需要使用该零件 次（若使用期间出现故障则换一件使用）． （1）某零件在连续使用3次没有发生故障的条件下，求该零件为一级品的概率； （2）当时，求发生故障次数的分布列及期望． 16. 如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，为半个圆柱上底面的直径， ，，点 ， 分别为 ， 的中点，点 为的中点． （1）证明：平面平面； （2）若 是线段上一个动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线 上，且直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍． （1）求双曲线 的标准方程； （2）若 ， 是双曲线 上的两个动点，且恒有，是否存在定圆与直线 相切？若存在，求出定圆的方程，若不存在，请说明理由． 18. 在数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足； ①求证：数列是等差数列； ②若，设数列的前n项和为，求证：． 19. 已知函数． （1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值； （2）若函数恒成立，求 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $