专题十三：三角函数及解三角形讲义-2025届高三数学一轮复习

高中数学 三角函数及解三角形(一轮复习)专题十三 知识点一 正弦定理边角互化的应用,余弦定理解三角形,求三角形中的边长或周长的最值或范围 典例1、在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，， （1）求角B﹔ （2）求的范围． 拓展练习：的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求B； （2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 典例2、已知四边形中，与交于点，． （1）若，，求； （2）若，，求的面积． 拓展练习：在中，角所对的边为，且. （1）若，求面积； （2）若，求 典例3、在中，. （1）求； （2）求边上的中线. 拓展练习：如图，在锐角中，，，，点在边的延长线上，且. （1）求； （2）求的周长. 知识点二 正弦定理边角互化的应用,三角形面积公式及其应用,求三角形中的边长或周长的最值或范围 典例4、在中，内角的对边分别为，且______．在①； ②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答． （1）求角的大小；（2）若角的内角平分线交于，且，求的最小值． 拓展练习：在①，②，请在这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成解答. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设为的面积，满足______________(填写序号即可)． （1）求角C的大小； （2）若，求周长的最大值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 典例5、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，点D在线段AC上，且，，. （1）求角B的大小； （2）求的面积. 拓展练习：在中，角所对的边分别为，且，的 中线长为． （1）证明：；（2）求的面积最大值． 典例6、在①；②；③；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．在锐角中，内角、、，的对边分别是、、，且______ （1）求角的大小；（2）若，求周长的范围． 拓展练习：在锐角中，，______. （1）求角B；（2）求的周长l的取值范围. ①且； ②； ③； 在这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并对其进行求解.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.） 三角函数及解三角形(一轮复习)专题十三答案 典例1、答案：（1） （2） 解：（1）， 又，所以，因为，所以. （2）在中，由（1）及，得， 故， ， 因为，则， ﹒ 所以的范围为. 拓展练习：答案： （1）； （2）. 解：（1）在中，， 由正弦定理得：， 整理得， 由余弦定理得：，而， 所以. （2）由（1）知，，由正弦定理得：， 则，而，令， 在锐角中，，解得，， 于是得， 则，所以周长的取值范围是. 典例2、答案：（1） （2） 解：（1）在中，由正弦定理得， 即，解得， 因为为钝角，所以，即； （2）因为是中点，所以， 平方得， 由余弦定理得， 代入上式有，即， 解得， 所以， 即， 所以． 拓展练习：答案： （1）；（2）. 解:（1）由已知， 由正弦定理，， 由余弦定理，， ， ， ， 面积. （2）由已知，， ， ， 即，① ， ，② ①-②得， . 由正弦定理，. 典例3、答案： （1） （2） 解：（1）因为，，故， 所以，解得， 故，故. （2）如图所示，是中点，连接， ，，， 故，解得，即边上的中线为. 拓展练习：答案： （1）； （2）30. 解：（1）在中，，，， 由正弦定理可得，故， 因为是锐角三角形，所以 . （2）由（1）得，所以. 在中，，，， 所以 所以的周长为. 典例4、答案： （1） （2） 解：（1）若选条件①，由正弦定理得：， ，，，则， 又，. 若选条件②，由得：， ，则，又，. 若选条件③，由得：， ，即， 又，，. （2），， 即，，， （当且仅当，即时取等号）， 的最小值为. 拓展练习：答案： （1） （2） 解：（1）若选①，因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以 若选②，因为， 由正弦定理得， 所以，即， ，，， 又，. （2）由余弦定理得， 因此， ，当且仅当时等号成立， 所以的周长 因此的周长的最大值为. 典例5、答案：（1） （2） 解：（1）根据， 由正弦定理得， ∴，又∴， 即，又 ∴，∴. （2）设，由得，即， 两边平方得，即， 可得.所以. 故的面积. 典例6、答案： （1）条件选择见解析， （2） 解：（1）选①，由可得， ，则，可得，； 选②，由可得， 即，即， ，则，故，； 选③，由及正弦定理可得， 、，则，所以，， 故， ，，因此，. （2）由正弦定理可得，则，， ， 因为为锐角三角形，则，可得， 所以，，则， 故. 拓展练习：答案： （1）. （2）. 解：（1）选①，在锐角中,∵,且， ∴，即，∵. 选②， ， ∵，∴，∵, . 选③，∵，∴由正弦定理可得， ∴，∵在中,， ∴1，即，∵. （2）由已知，结合正弦定理可得， 则△ABC的周长 ， ∵在锐角 中, ，解得, ∴， ∴, 故的周长l的取值范围为. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$