精品解析：福建省福州市六校联考2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题

2023~2024学年第二学期高二年段期中六校联考 数学试卷 2024.4. 本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 复数，则等于（    ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 22 B. 10 C. 8 D. 4 4. 已知在R上可导的函数的图像如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A. B. C. D. 7. 中国饮食文化历史悠久，博大精深，是中国传统文化中最具特色的部分之一，其内涵十分丰富，根据义务教育课程方案，劳动课正式成为中小学一门独立的课程，“食育”进入校园.李老师计划在实验小学开展一个关于“饮食民俗”的讲座，讲座内容包括日常食俗，节日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6个方面.根据安排，讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容（不分先后次序），则节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则不等式解集为（    ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列选项正确的是（ ） A B. C. D. 展开式中系数最大的为 10. 从含有3个红球，2个白球的口袋中随机取出一个球，记下颜色后放回，并加进一个同色球，如此共取i次.记事件：“第i次取出的球是红球”，事件：“第i次取出的球是白球”，则（    ） A. B. C. D. 11. （多选）设函数，，给定下列命题，正确的是（ ） A. 不等式的解集为； B. 函数在单调递增，在单调递减； C. 若时，总有恒成立，则； D 若函数有两个极值点，则实数. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上． 12. 已知展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中含项的系数为__________. 13. 函数的单调递减区间是__________. 14. 已知数列满足①②.则______________；设为的前项和，则__________.（结果用指数幂表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处有极小值． （1）求函数的解析式； （2）若函数在只有一个零点，求的取值范围． 16. 年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史问题，每个人回答是否正确互不影响. 已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是. （1）若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率： （2）若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到答题机会的概率为，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率. 17. 在中，内角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求边上的中线长. 18. 已知一个由正数组成的数阵，如下图各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，且公比都相等，. 第一行 第二行 第三行 …… 第行 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 19. 已知函数（） （1）当时，讨论函数的单调性. （2）若有两个极值点 ①求取值范围 ②证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年第二学期高二年段期中六校联考 数学试卷 2024.4. 本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 2. 复数，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得的值. 【详解】，所以. 故选：C. 3. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 22 B. 10 C. 8 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列求和公式和下标和性质可直接求得结果. 【详解】是等差数列，，解得：． 故选：D． 4. 已知在R上可导的函数的图像如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象判断、的不同区间上的符号，再由求解集即可. 【详解】由图知：、上，上， 又、上，上， ∴的解集为. 故选：B 5. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先计算时的取值，再根据必要与充分条件的定义判断即可. 【详解】因为，， 所以，， 当时， ，即 解得 所以“”是的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】曲线上的切点为，曲线上的切点为，由题意可得，求解即可. 【详解】设曲线上的切点为，曲线上的切点为， ，， 解得. 故选：A. 7. 中国饮食文化历史悠久，博大精深，是中国传统文化中最具特色的部分之一，其内涵十分丰富，根据义务教育课程方案，劳动课正式成为中小学一门独立的课程，“食育”进入校园.李老师计划在实验小学开展一个关于“饮食民俗”的讲座，讲座内容包括日常食俗，节日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6个方面.根据安排，讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容（不分先后次序），则节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列组合知识和古典概型的概率公式可求出结果. 【详解】讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容（不分先后次序）,一共有种不同的安排方法， 其中节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗有一个和节日食俗安排在第二次讲座的有种， 节日食俗安排在第二次讲座，日常食俗与祭祀食俗都不和节日食俗安排在第二次讲座且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的有种， 故节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的有种， 故所求概率为. 故选：B 8. 已知，则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断出为偶函数，且在上单调递增，将所求不等式利用函数性质转化为利用单调性解得答案. 【详解】定义域为R， ， 所以函数为偶函数，又因为， 时，， 时，， 故， 所以在上单调递增， 则不等， 即解得:. 所以不等式的解集为. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 展开式中系数最大的为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项可求得，知A错误； 采用赋值法，令和，则可求得B正确； 采用赋值法，令可求得，由此可计算知C错误； 根据二项展开式通项分别求得展开式中系数为正的项，则可知D正确. 【详解】展开式通项公式为：， 对于A，令，则，A错误； 对于B，令，则； 令，则； ，B正确； 对于C，令得：，，C错误； 对于D，为正数，为负数， 又，，，， 展开式中系数最大的为，D正确. 故选：BD. 【点睛】思路点睛：在求解与二项展开式各项系数和有关的问题时，通常采用赋值法，即给取值，从而去除变量的影响，得到所需的系数和. 10. 从含有3个红球，2个白球的口袋中随机取出一个球，记下颜色后放回，并加进一个同色球，如此共取i次.记事件：“第i次取出的球是红球”，事件：“第i次取出的球是白球”，则（    ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用古典概率计算，可判断A；利用条件概率计算，可判断B、C；利用互斥事件的概率和相互独立事件的概率公式，可判断D作答. 【详解】对于A中，由题意得，第一次取到白球的概率，所以A正确； 对于B中，由，，则有，所以 B正确 对于C中，在已知第二次取出1个红球的条件下，第一次取得1个白球，，所以C不正确；； 对于D中，由事件是以下4个互斥事件的和：，，，， 则 ，所以D正确. 故选：ABD 11. （多选）设函数，，给定下列命题，正确的是（ ） A. 不等式的解集为； B. 函数在单调递增，在单调递减； C. 若时，总有恒成立，则； D 若函数有两个极值点，则实数. 【答案】AC 【解析】 【分析】 求出函数的导数，根据函数的单调性分别判断即可. 【详解】的导数为， 则，, 对于A，即解得，故正确； 对于B， ，当x时单调递增，故错误； 对于C， 可化： 设，又 ∴在上单调递减， ∴在上恒成立， 即，又在单调递增，在上单调递减， ， ∴故正确； 对于D，若函数有两个极值点，则有两个零点， 即，， 又在单调递增，在上单调递减， ，时，即2a，a，故错误； 故选：AC 【点睛】此题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于较难题. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上． 12. 已知展开式中第3项与第6项二项式系数相等，则展开式中含项的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据第3项与第6项的二项式系数相等求出，从而得到展开式的通项公式，得到答案. 【详解】由题意得，解得， 故展开式通项公式为， 令得， 故展开式中含项的系数为. 故答案为： 13. 函数的单调递减区间是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数，求导，然后结合函数的定义域为，由求解. 【详解】函数的定义域为 ， 由， 解得， 所以函数的单调递减区间是， 故答案为：. 14. 已知数列满足①②.则______________；设为的前项和，则__________.（结果用指数幂表示） 【答案】 ①. 23 ②. 【解析】 【分析】根据递推公式，依次求和；当为奇数时，令，可得，当为偶数时，令，可得，即可求得数列是以9为首项，3为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式，再利用分组求和法，即可求解. 【详解】由得得； 当为奇数时，，令，则， 当为偶数时，，令， 则， 则， 当时，，所以是以9为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， 则 当为奇数时，由，则， 所以， 当为偶数时，由，则，所以， 所以， 所以， . 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处有极小值． （1）求函数的解析式； （2）若函数在只有一个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据和，列方程组求解，再验证后，即可确定函数的解析式； （2）将函数的零点转化为与的交点个数问题，利用导数确定函数的单调性和极值，并画出函数的图象，利用数形结合，即可求解. 【小问1详解】 由在处有极小值 得， 解得， 此时， 单调递减， 单调递增， 满足在处取极小值， ∴； 【小问2详解】 由（1）得， ∴ 函数在只有一个零点 在只有一个交点 由（1）得令得， ∴在上单调递减，在单调递增 ∴在处有极小值 ， ∴的取值范围是 16. 年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答是否正确互不影响. 已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是. （1）若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率： （2）若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到答题机会的概率为，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式计算出乙、丙分别答题正确的概率，再利用独立事件和对立事件的概率公式可求得甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率； （2）利用全概率公式可求出所求事件的概率. 【小问1详解】 解：设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为， 则甲、丙两人都回答正确的概率是，解得， 乙、丙两人都回答正确的概率是，解得， 所以，若规定三名同学都需要回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率为. 【小问2详解】 解：记事件“甲抢答这道题”，事件为“乙抢答这道题”，事件为“丙抢答这道题”， 记事件为“这道题被答对”， 则，，， ，，， 由全概率公式可得. 17. 在中，内角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求边上的中线长. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，转化为三角函数求角； （2）首先根据三角形的面积公式，求得，再根据余弦定理求得，再根据中线向量关系， 利用数量积公式，即可求解. 【小问1详解】 ，∴由正弦定理得：， ，∴， ∴，即， ，∴， ∴， 【小问2详解】 ， ， 在中，由余弦定理得 ，所以， 设的中点为，则 ， 两边同时平方得： = 所以 ，所以. 18. 已知一个由正数组成的数阵，如下图各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，且公比都相等，. 第一行 第二行 第三行 …… 第行 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据等差数列与等比数列基本量的运算即可求解； （2）利用裂项相消求和法即可求解数列的前项和. 【小问1详解】 解：由题意，设第一行的公差为，第三列的公比为， 则由，，可得， ∴，∴，又， ∴，∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵. ∴. 19. 已知函数（） （1）当时，讨论函数的单调性. （2）若有两个极值点 ①求的取值范围 ②证明： 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增. （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，再根据导数和函数单调性的关系，即可求解； （2）①首先求函数的导数，转化为关于一元二次方程有2个不同的正实根，即可求解； ②首先求，再利用韦达定理，转化为关于的函数，再通过不等式构造函数，利用导数判断导函数单调性，再结合零点存在性定理，求函数的最大值，证明函数的最大值小于0，即可证明不等式. 【小问1详解】 当时 ，（） ， 令， 如图表示的关系如下， 1 3 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ① ， 因为有两个极值点 即：在有两个不相等的实根， 所以， 所以， ②由①得 要证 即证：， 只需证 令 令 则恒成立， 所以在上单调递减 又因为 由零点存在性定理得：，使得，即， 所以，单调递增. 时，，单调递减. 则 因为在上单调递增 所以 所以，即得证. 【点睛】思路点睛：本题第二问，转化为“隐零点”问题，求函数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$