数列求和-2025届体育单招数学一轮复习讲义

【2025届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 数列求和知识点·梳理 ①公式法求和 当求出一个数列的通项公式后，发现其为等差数列或者等比数列，即直接套用等差数列或等比数列求和公式进行求和。 ②分组求和 如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法。 ③裂项相消法求和 当求出一个新的数列为如下表现形式时，可适用裂项相消法进行求和。 常见裂项相消： 1） 如： 2） 如：（尤其要注意不能丢前边的） 3） 如： ④错位相减法求和 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用错位相减法. 倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时，一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法． 重点题型·归类精讲 题型一 公式法求和 【例1-1】（2018年真题）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列 (1)求的通项公式 (2)设，求数列的前项和 【例1-2】（2016年真题）已知是等比数列，，数列满足 (1)证明数列是等差数列 (2)求的前项和的最大值 【例1-3】（2003年真题）在数列中，若，且对任意，有，则数列的前10项和为 A、5 B、 C、 D、25 【变式1】已知数列为等比数列，，，则 ；数列的前4项和为 ． 题型二 分组求和 【例2-1】（2004年真题）设为等比数列，为等差数列，且，若数列中，，求数列的前10项和 【例2-2】已知数列是公差不为零的等差数列，满足，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式1】等比数列的公比为2，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 题型三 裂项相消求和 【例3-1】（2016年真题）数列的通项公式为，如果的前项和等于3，那么 A、8 B、9 C、15 D、16 【例3-2】（2007年真题）数列的通项公式为，如果的前项和等于3，那么 A、8 B、9 C、15 D、16 【例3-3】若数列的通项公式为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】数列满足，则数列的前项和为（   ） A． B． C． D． 题型四 错位相减求和 【例4-1】等比数列的各项均为正数，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【变式1】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝12，S4＝40. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设，求数列{}的前n项和Tn. 课后模拟·巩固练习 1．化简式子，得（    ） A． B． C． D． 2．在递增的等比数列中，，，其中. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 3．已知数列中，，求数列的前项和. 4．已知等差数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)，求数列的前项和. 5．已知等差数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 6．已知数列的前项和为.令，求数列的前项和. 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$【2025届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 数列求和知识点·梳理 ①公式法求和 当求出一个数列的通项公式后，发现其为等差数列或者等比数列，即直接套用等差数列或等比数列求和公式进行求和。 ②分组求和 如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法。 ③裂项相消法求和 当求出一个新的数列为如下表现形式时，可适用裂项相消法进行求和。 常见裂项相消： 1） 如： 2） 如：（尤其要注意不能丢前边的） 3） 如： ④错位相减法求和 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用错位相减法. 倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时，一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法． 重点题型·归类精讲 题型一 公式法求和 【例1-1】（2018年真题）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列 (1)求的通项公式 (2)设，求数列的前项和 解:(1)成等比数列，，因为，所以。 (2)。等比数列，首项为2，尾项为，前项和 【例1-2】（2016年真题）已知是等比数列，，数列满足 (1)证明数列是等差数列 (2)求的前项和的最大值 解：，数列是公差为-2的等差数列 (2)，所以当或时取最大值， 【例1-3】（2003年真题）在数列中，若，且对任意，有，则数列的前10项和为 A、5 B、 C、 D、25 【答案】C 【解析】数列首项，公差，所以前10项分别是： ，首尾相加最后结果2、5 【变式1】已知数列为等比数列，，，则 ；数列的前4项和为 ． 【答案】 81 48 【详解】等比数列中，由，得数列的公比，通项， 所以；数列的前4项和为. 故答案为：81；48 题型二 分组求和 【例2-1】（2004年真题）设为等比数列，为等差数列，且，若数列中，，求数列的前10项和 解：设公比为公差为 所以等比数列首项、公比 等差数列首项、公差 数列的前10项和 【例2-2】已知数列是公差不为零的等差数列，满足，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式得到关于的方程，解出值即可； （2）根据等差数列和等比数列求和公式进行分组求和即可. 【详解】（1）设数列的公差为，由已知有 ，即，解得（舍）， ，； （2）， . 【变式1】等比数列的公比为2，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）已知等比数列的公比为2，且成等差数列， ， ， 解得， ； （2）， . ； 综上， 题型三 裂项相消求和 【例3-1】（2016年真题）数列的通项公式为，如果的前项和等于3，那么 A、8 B、9 C、15 D、16 【答案】C 【解析】 【例3-2】（2007年真题）数列的通项公式为，如果的前项和等于3，那么 A、8 B、9 C、15 D、16 【答案】C 【解析】前项和 【例3-3】若数列的通项公式为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用裂项相消求和可得答案. 【详解】， 则. 故选：A. 【变式1】数列满足，则数列的前项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 设数列的前项和为，则.故选：B 题型四 错位相减求和 【例4-1】等比数列的各项均为正数，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【详解】解：（1）设数列的公比为， 则，由 得：，所以. 由，得到 所以数列的通项公式为. （2）由条件知， 又 将以上两式相减得 所以. 【变式1】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝12，S4＝40. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设，求数列{}的前n项和Tn. 【答案】（1）an＝4n；（2）Tn＝2－－. 【详解】（1）设{an}的首项为a1，公差为d， 由a3＝12，S4＝40 则，解得a1＝4，d＝4， ∴an＝4＋4(n－1)＝4n. （2），. ∴，① ，② ①－②得 ∴Tn＝2－－. 课后模拟·巩固练习 1．化简式子，得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 .故选：D 2．在递增的等比数列中，，，其中. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1） 由，等比数列是递增数列，得，因此数列的公比，则，所以数列的通项公式是. （2）由（1）得，，. 3．已知数列中，，求数列的前项和. 【答案】 【详解】因为，则 ，故答案为： 4．已知等差数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)，求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）设公差为，则，所以解得， 所以， （2），所以，所以.. 5．已知等差数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）设公差为，由得，，解得， ∴； （2）由得，∴. 6．已知数列的前项和为.令，求数列的前项和. 【答案】 【详解】由题可知，记， ， ， 两式相减得. 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$