等比数列-2025届体育单招数学一轮复习讲义

【2025届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 等比数列及其前项和知识点·梳理 ①等比数列的有关概念 1）等比数列的定义：一个数列从第2项开始，每一项与它的前一项的比值都等于同一个常数 的数列，其中这个常数称为公比. 2）等比数列定义式：. 3）等比中项：若成等比数列，则. 4）等比数列的通项公式：或. 5）等比数列的前项和：（当时），（当时）. ②等比数列的单调性 单调递增 ， 单调递减 ， ③等比数列的性质 已知数列是等比数列，是数列的前项和. 1）若,则有; 2）若数列是等比数列，公比为，则是等比数列; 3）数列成等比数列; 4）相邻奇数项或者偶数项的符号保持一致. 重点题型·归类精讲 题型一 等比数列基本量的计算 【例1-1】（2024年真题）等比数列中， A、2 B、4 C、9 D、252 【例1-2】（2021年真题）若是公比为3的等比数列，且，则 ． 【例1-3】（2020年真题）等比数列中，若，则__ _ 【例1-4】（2012年真题）已知是等比数列，，则___ 【例1-5】（2011年真题）已知是等比数列，，则 【例1-6】（2010年真题）是各项均为正数的等比数列，已知，则___ 【例1-7】（2008年真题）是等比数列的前项和，已知，公比，则 A.2 B.3 C.5 D.8 【例1-8】（2006年真题）设等比数列的第3项，第8项，则第5项___(用数字作答) 【例1-9】（2004年真题）已知等比数列的公比是2，且前4项的和为1，那么前8项之和为___ 【变式1】在等比数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，，求； (3)已知，，求． (4)，，求； (5)，，求； 题型二 等比中项 【例2-1】已知数列为等比数列，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【例2-2】已知等比数列中，，，则（    ） A．4或 B． C．4 D．8 【例2-3】等比数列中，，，则与的等比中项为（    ） A．12 B． C． D．30 【例2-4】已知，，若a，b，c三个数成等比数列，则（    ） A．5 B．1 C． D．或1 【变式1】已知各项均为正数的等比数列，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式2】等比数列中，，则与的等比中项为（    ） A．24 B． C． D． 【变式3】已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则（   ） A．35 B．33 C．31 D．30 题型三 等比数列的性质 【例3-1】（2024年真题）等比数列中， A、2 B、4 C、9 D、252 【例3-2】（2013年真题）若等比数列前项和为，则 A、-5 B、0 C、1 D、-1 【例3-3】等比数列的前项和为，若，则（    ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【例3-4】设等比数列的前项和是.已知，则（    ） A．13 B．12 C．6 D．3 【变式1】已知等比数列的前n项和为，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】等比数列的前项和为，且，则（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知数列是等比数列，为其前项和，若，，则（    ） A．27 B．39 C．81 D．120 题型四 等差数列与等比数列综合 【例4-1】（2019年真题）已知是各项均为正数的等比数列，且成等差数列，则的公比为___ 【例4-2】（2018年真题）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列 (1)求的通项公式 (2)设，求数列的前项和 【例4-3】（2016年真题）已知是等比数列，，数列满足 (1)证明数列是等差数列 (2)求的前项和的最大值 【例4-4】（2009年真题）是等比数列，是公差不为零的等差数列，已知 (1)求和的通项公式 (2)设的前项和为，是否存在正整数，使?若存在，求出，若不存在，说明理由。 【例4-5】（2003年真题）已知等差数列中，，且又成等比数列，，求公差及项数 课后模拟·巩固练习 1．正项等比数列中，，，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 2．在等比数列中，若，则（    ） A．6 B．9 C． D． 3．已知等比数列满足，，则（    ） A．26 B．78 C．104 D．130 4．在等比数列中，若，则的公比（    ） A． B． C． D．4 5．在等比数列中，成等差数列，则（    ） A．3 B． C．9 D． 6．已知正项等比数列的前三项和为28且，则（   ） A． B． C． D． 7．已知，等比数列，，，…，的第4项为（    ） A．12 B． C．9 D． 8．已知是单调递增的等比数列，，则公比的值是（   ） A．2 B．-2 C．3 D．-3 9．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（    ） A． B． C．4 D． 二、填空题 10．和的等比中项是 ． 11．2和4的等差中项为 ，等比中项为 ． 12．首项为1的等比数列中，，，成等差数列，则公比 . 13．设为公比的等比数列的前n项和，且成等差数列，则 ． 14．已知数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比q等于 ． 三、解答题 15．等比数列中，，． (1)求的通项公式： (2)记为的前n项和，若，求m． 16．已知等差数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设等比数列各项均为正数，其前项和，若，，求. 17．已知数列是公差不为零的等差数列，，且、、成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求. 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$【2025届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 等比数列及其前项和知识点·梳理 ①等比数列的有关概念 1）等比数列的定义：一个数列从第2项开始，每一项与它的前一项的比值都等于同一个常数 的数列，其中这个常数称为公比. 2）等比数列定义式：. 3）等比中项：若成等比数列，则. 4）等比数列的通项公式：或. 5）等比数列的前项和：（当时），（当时）. ②等比数列的单调性 单调递增 ， 单调递减 ， ③等比数列的性质 已知数列是等比数列，是数列的前项和. 1）若,则有; 2）若数列是等比数列，公比为，则是等比数列; 3）数列成等比数列; 4）相邻奇数项或者偶数项的符号保持一致. 重点题型·归类精讲 题型一 等比数列基本量的计算 【例1-1】（2024年真题）等比数列中， A、2 B、4 C、9 D、252 【答案】B 【解析】 快速求解，数列为等比数列，也为等比数列 【例1-2】（2021年真题）若是公比为3的等比数列，且，则 ． 【答案】 【解析】数列是公比为3的等比数列，也就是说有一列数，后面一个数是前面一个数的3倍，那么第3个数就是第1个数的9倍，，即，后一项是前一项的3倍，那么这列数依次是 【例1-3】（2020年真题）等比数列中，若，则__ _ 【答案】2 【解析】本题可以通过先算出公比、首项或者直接估值求解。 首项即第1个数是，公比是2、即后一个数是前一个数的2倍，所以第2个数，第3个数 【例1-4】（2012年真题）已知是等比数列，，则___ 【答案】73 【解析】 【例1-5】（2011年真题）已知是等比数列，，则 【答案】3 【解析】 【例1-6】（2010年真题）是各项均为正数的等比数列，已知，则___ 【答案】21 【解析】(舍去)，公比;或 【例1-7】（2008年真题）是等比数列的前项和，已知，公比，则 A.2 B.3 C.5 D.8 【答案】A 【解析】公比为1，则数列各项相等，，故 【例1-8】（2006年真题）设等比数列的第3项，第8项，则第5项___(用数字作答) 【答案】48 【解析】 【例1-9】（2004年真题）已知等比数列的公比是2，且前4项的和为1，那么前8项之和为___ 【答案】17 【解析】前8项的和 【变式1】在等比数列中， (1)已知，，求； 【答案】 【解析】等比数列中，，，则. (2)已知，，，求； 【答案】 【解析】等比数列中，，，，由，可得. (3)已知，，求． 【答案】 【解析】等比数列中，，，由，可得. (4)，，求； 【答案】 【解析】，又，故，故 (5)，，求； 【答案】或 【解析】由，可得，即，解得或 题型二 等比中项 【例2-1】已知数列为等比数列，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解析】由题设，则，所以.故选：B 【例2-2】已知等比数列中，，，则（    ） A．4或 B． C．4 D．8 【答案】C 【解析】设公比为，则， 因为，，所以，所以.故选：C. 【例2-3】等比数列中，，，则与的等比中项为（    ） A．12 B． C． D．30 【答案】C 【分析】根据等比中项定义直接求解即可. 【详解】记与的等比中项为G，则，所以.故选：C 【例2-4】已知，，若a，b，c三个数成等比数列，则（    ） A．5 B．1 C． D．或1 【答案】D 【分析】根据三个数成等比数列，列式计算，即可得答案. 【详解】由题意知，，a，b，c三个数成等比数列，则，故，故选：D 【变式1】已知各项均为正数的等比数列，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】由等比数列，，，有，又因为各项均为正数，所以.故选：C． 【变式2】等比数列中，，则与的等比中项为（    ） A．24 B． C． D． 【答案】C 【详解】与的等比中项为，，则．故选：C． 【变式3】已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则（   ） A．35 B．33 C．31 D．30 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为，，，，， 与的等差中项为，，即，解得，，由，可得，.故选：D. 题型三 等比数列的性质 【例3-1】（2024年真题）等比数列中， A、2 B、4 C、9 D、252 【答案】B 【解析】 快速求解，数列为等比数列，也为等比数列 【例3-2】（2013年真题）若等比数列前项和为，则 A、-5 B、0 C、1 D、-1 【答案】D 【解析】 【例3-3】等比数列的前项和为，若，则（    ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为q，当时，，不合题意； 当时，等比数列前项和公式， 依题意.故选：A 【例3-4】设等比数列的前项和是.已知，则（    ） A．13 B．12 C．6 D．3 【答案】A 【解析】方法一 因为，所以，， 所以，所以.又，得， 所以. 故选：A. 方法二 因为，，所以， 所以，所以.故选：A. 【变式1】已知等比数列的前n项和为，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，所以等比数列的前n项和为， 所以，解得.故选：D. 【变式2】等比数列的前项和为，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由等比数列性质可知，成等比数列，因为，所以，所以成等比数列，所以，所以，所以.故选：C. 【变式3】已知数列是等比数列，为其前项和，若，，则（    ） A．27 B．39 C．81 D．120 【答案】D 【解析】由题知，，，因为数列成等比数列， 所以，所以.故选：D. 题型四 等差数列与等比数列综合 【例4-1】（2019年真题）已知是各项均为正数的等比数列，且成等差数列，则的公比为___ 【答案】2 【解析】成等差数列;则 (等比数列第3项第2项乘以1个公比) (等比数列第4项第2项乘以公比、再乘以公比，即) 或者(舍去) 【例4-2】（2018年真题）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列 (1)求的通项公式 (2)设，求数列的前项和 解:(1)成等比数列，，因为，所以。 (2)。等比数列，首项为2，尾项为，前项和 【例4-3】（2016年真题）已知是等比数列，，数列满足 (1)证明数列是等差数列 (2)求的前项和的最大值 解：，数列是公差为-2的等差数列 (2)，所以当或时取最大值， 【例4-4】（2009年真题）是等比数列，是公差不为零的等差数列，已知 (1)求和的通项公式 (2)设的前项和为，是否存在正整数，使?若存在，求出，若不存在，说明理由。 (1)解：设数列公比为，数列公差为 ，则，即 ，则，即 把代入得或 (舍)， 所以数列通项公式 数列通项公式 (2)解： ； 【例4-5】（2003年真题）已知等差数列中，，且又成等比数列，，求公差及项数 解：成等比数列 或 若，则，故 解得，或 课后模拟·巩固练习 1．正项等比数列中，，，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为，因为数列为正项等比数列，所以，由题， 则，所以，所以.故选：B 2．在等比数列中，若，则（    ） A．6 B．9 C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以（负值舍去），所以.故选：A 3．已知等比数列满足，，则（    ） A．26 B．78 C．104 D．130 【答案】B 【解析】设等比数列公比为，根据已知可得，， 所以，，解得，所以，. 故选：B. 4．在等比数列中，若，则的公比（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为，因为且，可得，可得.故选：B. 5．在等比数列中，成等差数列，则（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】C 【解析】设的公比为， 则由题意可知或， 显然时，，无意义舍去；所以.故选：C 6．已知正项等比数列的前三项和为28且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意设公比为，则，即，解得满足题意，所以.故选：C. 7．已知，等比数列，，，…，的第4项为（    ） A．12 B． C．9 D． 【答案】B 【详解】因为等比数列，，，…，则 解得或，又，所以，则，所以公比，等比数列的第项为.故选：B 8．已知是单调递增的等比数列，，则公比的值是（   ） A．2 B．-2 C．3 D．-3 【答案】A 【详解】因为是等比数列，所以，则，解得或， 又因为是单调递增的等比数列，所以，所以公比.故选：A. 9．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【详解】数列是公差为2的等差数列，，，成等比数列，，即，解得，故选：C. 二、填空题 10．和的等比中项是 ． 【答案】【详解】设和的等比中项为，则，解得.故答案为： 11．2和4的等差中项为 ，等比中项为 ． 【答案】 3 【详解】2和4的等差中项为，2和4的等比中项为，故答案为：3， 12．首项为1的等比数列中，，，成等差数列，则公比 . 【答案】2 【详解】设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，所以， 因为首项为1，所以，所以，故.故答案为：2 13．设为公比的等比数列的前n项和，且成等差数列，则 ． 【答案】10 【详解】由题意，，解得（舍）或，∴.故答案为：10 14．已知数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比q等于 ． 【答案】 【详解】∵，，成等差数列，∴，即，∴， ∴，∴或 (舍)．∴.故答案为：. 三、解答题 15．等比数列中，，． (1)求的通项公式： (2)记为的前n项和，若，求m． 【答案】(1)或．(2)． 【详解】（1）等比数列中，，． ，解得， 当时，， 当时，， 的通项公式为，或． （2）记为的前n项和． 当，时，， 由，得，，无解； 当，时，， 由，得，，解得． 16．已知等差数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设等比数列各项均为正数，其前项和，若，，求. 【答案】（1）；（2）. （2）设等比数列的公比为，求出、的值，可得出关于和的方程组，解出这两个量，再利用等比数列的求和公式可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，，解得，因此，数列的通项公式； （2）设各项均为正数的等比数列的公比为，，则，， ，，，，即，解得或（舍去）， . 17．已知数列是公差不为零的等差数列，，且、、成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）设数列的公差为，则， 由，得，整理得，得， 因此，； （2），且，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此，. 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$