精品解析：广东省揭阳市普宁二中实验学校2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷

广东省揭阳市普宁二中实验学校2022-2023学年高一（下）期末数学试卷 一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得； 【详解】解：由，即，解得， 所以， 又， 所以； 故选：A 2. 在中，“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质和充分和必要条件的概念即可判断． 【详解】在中，，则或， ∴在中，“”是“”的必要不充分条件， 故选：B． 3. 已知复数，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数在复平面内对应的点在第一象限 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为为纯虚数，所以，可求出，进而可得，判断各个选项即可． 【详解】对于A，因为为纯虚数，所以，所以，故A错误； 对于B，当时，，复数在复平面内对应的点在第二象限，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误． 故选：C． 4. 在空间中，下列说法正确的是（ ） A. 垂直于同一直线的两条直线平行 B. 垂直于同一直线的两条直线垂直 C. 平行于同一平面的两条直线平行 D. 垂直于同一平面的两条直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线、面的位置关系理解判断A、B、C，根据线面垂直的性质判断D． 【详解】垂直于同一直线的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，A、B不正确； 平行于同一平面的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，C不正确； 根据线面垂直的性质可知：D正确； 故选：D． 5. 有位男生和位女生在周日去参加社区志愿活动，从该位同学中任取人，至少有名女生概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将位男生分别记为、、，位女生分别记为、，列举出所有基本事件，并确定事件“从这位同学中任取人，至少有名女生”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】将位男生分别记为、、，位女生分别记为、， 从这位同学中任取人，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共种， 其中，事件“从这位同学中任取人，至少有名女生”包含的基本事件有：、、、、、、、、，共种， 因此，所求概率为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下： （1）列举法； （2）列表法； （3）树状图法； （4）排列、组合数的应用. 6. 如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件求解即可 【详解】因为点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点， 所以 , 故选：A 7. 已知实数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对，利用换底公式等价变形，得，结合的单调性判断，同理利用换底公式得，即，再根据对数运算性质得，结合单调性， ，继而得解. 【详解】由，变形可知， 利用换底公式等价变形，得， 由函数在上单调递增知，，即，排除C，D； 其次，因为，得，即， 同样利用的单调性知，， 又因为，得，即，所以. 故选：B. 8. 如图（1）所示，已知球的体积为，底座由边长为12的正三角形铜片ABC沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图（2）所示．则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（       ） A. CD与BE是异面直线 B. 异面直线AB与CD所成角的大小为45° C. 由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面面积为 D. 球面上的点到底座底面DEF的最大距离为 【答案】C 【解析】 【分析】取中点N，M，利用给定条件证明，推理判断A，B；求出外接圆半径，结合球面截面圆性质计算判断C，D作答. 【详解】取中点N，M，连接，如图， 因为正三角形，则，而平面平面，平面平面，平面， 于是得平面，同理平面，即，， 因此，四边形是平行四边形，有，则直线CD与BE在同一平面内，A不正确； 由选项A，同理可得，则异面直线AB与CD所成角等于直线DF与CD所成角，B不正确； 由选项A知，，同理可得，正外接圆半径， 由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面圆是的外接圆，此截面面积为，C正确； 体积为的球半径，由得，由选项C知，球心到平面的距离， 由选项A，同理可得点A到平面的距离为，即平面与平面的距离为， 所以球面上的点到底座底面DEF的最大距离为，D不正确. 故选：C 二.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9. 设复数，则下列命题中正确的是（ ） A. 的虚部是 B. C. 复平面内z与分别对应的两点之间的距离为1 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的运算，结合复数的相关定义，即可判断选项. 【详解】A.，所以的虚部是，故A错误； B.，，故B正确； C.复数对应点是，对应的复数是，两点之间的距离为，故C错误； D.，，故D正确. 故选：BD 10. 广东某高校为传承粤语文化，举办了主题为“粤唱粤美好”的校园粤语歌手比赛在比赛中，由A，B两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（ ） A. A组打分的众数为47 B. B组打分的中位数为75 C. A组的意见相对一致 D. B组打分的均值小于A组打分的均值 【答案】AC 【解析】 【分析】由折线图中的数据，结合众数、中位数、平均数的定义对四个选项逐一分析判断即可． 【详解】解：由折线图可知，小组打分的分值为：42，47，45，46，50，47，50，47， 则小组打分的分值的众数为47，故选项A正确； 小组打分的分值为：55，36，70，66，75，68，68，62，58， 按照从小到大排列为：36，55，58，62，66，68，68，70，75， 中间数为66，故中位数为66，故选项B错误； 小组的打分成绩比较均匀，波动更小，故A小组意见相对一致，故选项C正确； 小组的打分分值的均值，而小组的打分分值的均值， 所以小组打分的分值的均值大于小组打分的分值的均值，故选项D错误． 故选：AC． 11. 在正方体中，M是的中点，点N在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是（ ） A. 当N为棱中点时， B. 当N为棱中点时，MN与平面所成角为30° C. 有且仅有三个点N，使得平面 D. 有且仅有四个点N，使得MN与所成角为60° 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据异面直线判定定理可判断A；利用向量法求线面角可判断B；过点B1作与平面平行平面，观察平面与正方体棱的交点个数可判断C；先判断哪些面对角线与的夹角为60°，然后过点M作这些面对角线的平行线可找到满足题意的点N，可判断D. 【详解】A选项：因为平面，平面，且，所以异面，故A错误； B选项：如图建立空间直角坐标系，记， 则 所以， 设为平面的法向量， 则，取，得， 记MN与平面所成角为，则 因为，所以，故B正确； C选项：记AB中点为Q，的中点为P，连接， 易得为平行四边形，四点共面， 由正方体性质易知，，平面，平面， 所以平面，同理平面 又， 所以平面平面， 所以当点N有三个位置满足题意，故C正确； D选项：如图，易知与的夹角为，所以当与之一平行时满足题意，即N为中点时满足题意，故D正确. 故选：BCD 12. 设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的图象与直线在上的交点恰有2个 C. 的图象与直线在上的交点恰有2个 D. 在上单调递减 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A,确定，根据零点个数确定，求得参数范围；对于B，C，采用整体代换思想，结合余弦函数的图象和性质即可判断；对于D，当时，确定，计算的范围，从而确定在上单调性. 【详解】当时，，因为在上有且仅有4个零点， 所以，解得，故A正确； 又由以上分析可知，函数在上有且仅有4个零点， 且，则在上，出现两次最大值， 此时函数的大致图象如图示： 即在上两次出现最大值1，即取时，取最大值， 故的图象与直线在上的交点恰有2个，故B正确； 由于当时，，， 当时，取最小值 ，由于是否取到不确定， 故的图象与直线在上的交点可能是1个或2个，故C错误； 当时， ， 因为，所以，， 故的值不一定小于， 所以在上不一定单调递减. 故选：AB. 【点睛】本题考查了复合型余弦函数的解析式中参数的确定以及零点以及最值和单调性问题，综合性强，计算量大，解答时要能综合应用三角函数的相关知识灵活解答，关键是整体代换思想的应用. 三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13. 某机构组织填写关于环境保护的知识答卷（满分100分），从中抽取了7份试卷，成绩分别为68，83，81，81，86，90，88，则这7份试卷成绩的第80百分位数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解即可 【详解】这组数据为，因为，所以这7份试卷成绩的第80百分位数为88. 故答案为：88 14. 若一个平面图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，，则原图的面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据原图与斜二测画出的直观图的面积比为求解即可 【详解】由题可得，所以原图的面积为. 故答案为： 15. 已知1＋2i是方程x2－mx＋2n＝0(m，n∈R)的一个根，则m＋n＝____. 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程，根据复数的乘法运算法则，得到，再由复数相等的充要条件得到方程组，解得即可； 【详解】解：将代入方程x2－mx＋2n＝0，有(1＋2i)2－m(1＋2i)＋2n＝0，即，即，由复数相等的充要条件，得解得 故. 故答案为： 16. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图，这是《易经》中记载的几何图形—八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH所在平面内的一点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点建立直角坐标系，设，将表示为关于的关系即可求出. 【详解】如图，以为原点建立直角坐标系，则， 过作轴，因为正八边形ABCDEFGH，所以是等腰直角三角形，所以, 同理，过作轴，则,过作，则， 所以， 设， 则，所以， ，则， 所以 ， 其中表示点到点的距离的平方， 因为点在正八边形ABCDEFGH内，所以的最小值为0， 所以的最小值为. 故答案为：. 四.解答题（共6小题，满分70分） 17. 已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中是实数 （1）求和的值； （2）若是纯虚数，求实数的值 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由为方程的根可知是方程的另一根，利用韦达定理可得结果； （2）由复数乘法运算化简，由纯虚数定义可构造方程求得的值. 【小问1详解】 是方程的根，是方程的另一根， . 【小问2详解】 由（1）知：； 是纯虚数，，解得：. 18. 某校组织高一年级1000名学生参加了跳绳比赛活动，以每个学生的跳绳个数作为最终比赛成绩.现从中机抽取50名学生的比赛成绩作为样本，整理数据并按比赛成绩，，，，，分组进行统计，得到比赛成绩的频数分布表.记比赛成绩大于或等于160的为“优秀”. 比赛成绩 人数 4 10 2 16 3 15 （1）估计该校高一年级学生比赛成绩为“优秀”的人数； （2）从样本比赛成绩在和的学生中随机抽取2人，求两人比赛成绩都为“优秀”的概率. 【答案】（1）360人 （2） 【解析】 【分析】(1)将频率作为概率即可算出高一年级优秀人数； (2)用枚举法求出基本事件的样本空间，再计算所求事件的种数，按照古典概型计算即可. 【小问1详解】 由频数分布表可知，样本比赛成绩大于或等于160的学生有3+15=18人， 所以估计该校高一年级学生比赛成绩为“优秀”的人数为1000×＝360人； 【小问2详解】 设“两人比赛成绩都为‘优秀’”为事件M， 记比赛成绩在的学生为A1，A2，比赛成绩在的学生为B1，B2，B3， 则从这5个学生中随机抽取2人的样本空间Ω={（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）}， M={（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）}， 所以，由古典概型得P（M）； 综上，估计该校高一年级学生比赛成绩为“优秀”的人数为360，,两人比赛成绩都为优秀的概率为 . 19. 如图，在四边形中，，，，且 （1）用表示； （2）点在线段上，且，求与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，由向量坐标运算可求得，进而得到结果； 方法二：根据向量线性运算得，整理即可求得结果； （2）方法一：根据可求得，从而得到，由向量夹角的坐标运算可求得； 方法二：由向量线性运算得，进而得到；利用向量数量积的运算律可求得，根据可求得结果. 【小问1详解】 方法一：由得：；由得：为中点；由得：； 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系， 则，，，，，， 设，则，解得：， . 方法二：由得：， 则. 【小问2详解】 方法一：由（1）知：， 由得：，则， ，又，. 方法二：由得：， 由且得：， 由得：； ， ， 又， ， . 20. 已知函数的部分图像如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图像向左平移个单位，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图像，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)观察图像可得周期，进而算出，再代入最大值点计算； (2)根据图像变化得出，先算出在上的对称轴，借助对称轴分析的范围. 【小问1详解】 由图可知 ，即， ∴ ， 则 ， 又 ，∴ ， 则 则 ， ， 又， ， 故 【小问2详解】 由题意， 在区间上有两个不同的实数解， 即直线与函数 有两个不同的交点， 令，得对称轴为， 又，则符合题意，则两个交点关于对称， ，， 则， 则的范围为. 21. 在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，是边上一点. （1）求的值； （2）若. ①求证：平分； ②求面积的最大值及此时的长. 【答案】（1）； （2）①证明见解析；②最大值为3，. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得，即得； （2）①设，，，由题可得，利用正弦定理可得，进而即得；②利用余弦定理及面积公式可表示出三角形的面积，然后利用二次函数的性质或基本不等式可得面积的最大值，再利用余弦定理可求的长. 【小问1详解】 因为，， 所以 . 【小问2详解】 ①因为， 所以，即， 由知，，， 设，，， 在中，由正弦定理得，， 即，所以， 在中，由正弦定理得，， 即，所以， 所以，即， 所以平分； ②在中，因为，， 代入余弦定理得，， 而的面积， 解法1：因为，且为锐角，所以， 所以 ， 当且仅当，取等号， 此时，，，即，， 由得， 解得. 解法2：由得， 所以， 所以当即时，面积最大为3， 此时在中，，，， 所以由余弦定理求得， 在中，由余弦定理得， 所以此时. 22. 如图，在正四棱锥中，，分别为的中点，平面与棱的交点为. （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求平面与平面所成锐二面角的大小； （3）求点的位置. 【答案】（1） （2） （3）点位置为线段PC靠近P的三等分点. 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，找到异面直线与所成的角是∠OEA（或补角），利用余弦定理求出； （2）作出辅助线，找到平面与平面所成锐二面角为，经过计算得到； （3）证明出A、Q、G三点共线，利用第二问的求出的，和题干中的条件确定点的位置. 【小问1详解】 连接AC，BD，相交于点O， 因为四边形ABCD是正方形，所以O是正方形的中心，连接PO， 因为四棱锥是正四棱锥，则PO⊥底面ABCD，连接OE， 因为为的中点，所以EO是△PBD的中位线，所以EO∥PD， ∠OEA（或补角）即为异面直线与所成角的大小， 因为正四棱锥中，，所以△PAB是等边三角形， 所以，由勾股定理得：，所以， 因为，E为PB的中点，所以， 在△AOE中，由余弦定理得：， 所以异面直线与所成角的大小为 【小问2详解】 连接EF，与OP相交于点Q，则Q为OP，EF的中点， 因为分别为的中点，所以EF是三角形PBD的中位线，所以EF∥BD， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以EF∥平面ABCD， 设平面与平面相交于直线，故EF∥∥DB，连接QA， 则因为AE=AF，所以AQ⊥EF，又因为OA⊥BD， 故∠QAO即为平面与平面所成锐二面角，其中，，所以，故， 即平面与平面所成锐二面角的大小为 【小问3详解】 延长AQ，则由两平面相交的性质可得AQ一定过点G， 过点G作GM∥PO交AC于点M，因为PO⊥底面ABCD，所以GM⊥底面ABCD， 设GM=CM=x，则AM=4-x，由第二问知：， 所以，即，解得：， 故，所以点的位置为线段PC靠近P的三等分点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省揭阳市普宁二中实验学校2022-2023学年高一（下）期末数学试卷 一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数在复平面内对应的点在第一象限 C. D. 4. 在空间中，下列说法正确的是（ ） A. 垂直于同一直线两条直线平行 B. 垂直于同一直线的两条直线垂直 C. 平行于同一平面两条直线平行 D. 垂直于同一平面的两条直线平行 5. 有位男生和位女生在周日去参加社区志愿活动，从该位同学中任取人，至少有名女生的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图（1）所示，已知球体积为，底座由边长为12的正三角形铜片ABC沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图（2）所示．则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（       ） A. CD与BE是异面直线 B. 异面直线AB与CD所成角的大小为45° C. 由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面面积为 D. 球面上的点到底座底面DEF的最大距离为 二.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9. 设复数，则下列命题中正确的是（ ） A. 的虚部是 B. C. 复平面内z与分别对应的两点之间的距离为1 D. 10. 广东某高校为传承粤语文化，举办了主题为“粤唱粤美好”的校园粤语歌手比赛在比赛中，由A，B两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（ ） A. A组打分的众数为47 B. B组打分的中位数为75 C. A组的意见相对一致 D. B组打分的均值小于A组打分的均值 11. 在正方体中，M是的中点，点N在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是（ ） A. 当N棱中点时， B. 当N棱中点时，MN与平面所成角为30° C. 有且仅有三个点N，使得平面 D. 有且仅有四个点N，使得MN与所成角为60° 12. 设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的图象与直线在上的交点恰有2个 C. 的图象与直线在上的交点恰有2个 D. 在上单调递减 三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13. 某机构组织填写关于环境保护的知识答卷（满分100分），从中抽取了7份试卷，成绩分别为68，83，81，81，86，90，88，则这7份试卷成绩的第80百分位数为___________. 14. 若一个平面图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，，则原图的面积为___________. 15. 已知1＋2i是方程x2－mx＋2n＝0(m，n∈R)的一个根，则m＋n＝____. 16. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图，这是《易经》中记载的几何图形—八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH所在平面内的一点，则的最小值为______． 四.解答题（共6小题，满分70分） 17. 已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中是实数 （1）求和的值； （2）若是纯虚数，求实数的值 18. 某校组织高一年级1000名学生参加了跳绳比赛活动，以每个学生的跳绳个数作为最终比赛成绩.现从中机抽取50名学生的比赛成绩作为样本，整理数据并按比赛成绩，，，，，分组进行统计，得到比赛成绩的频数分布表.记比赛成绩大于或等于160的为“优秀”. 比赛成绩 人数 4 10 2 16 3 15 （1）估计该校高一年级学生比赛成绩为“优秀”的人数； （2）从样本比赛成绩在和的学生中随机抽取2人，求两人比赛成绩都为“优秀”的概率. 19. 如图，在四边形中，，，，且 （1）用表示； （2）点在线段上，且，求与的夹角的余弦值. 20. 已知函数的部分图像如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图像向左平移个单位，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图像，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的范围. 21. 在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，是边上一点. （1）求的值； （2）若. ①求证：平分； ②求面积的最大值及此时的长. 22. 如图，在正四棱锥中，，分别为的中点，平面与棱的交点为. （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求平面与平面所成锐二面角的大小； （3）求点的位置. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$