精品解析：河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

新蔡县第一高级中学高二2024年6月份月考数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合与，求出两集合的交集即可. 【详解】因为集合且， 即 又，所以． 故选：A． 2. 计算：的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则计算可得. 【详解】. 故选：D 3. 已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫作向量与的叉乘的模，记作，即.若向量，，则（ ） A. B. 10 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据向量的坐标求以及，再代入叉乘公式，即可求解. 【详解】若向量，，则， ，则， . 故选：B 4. 设的内角的对边分别为，已知，且，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，，结合正弦定义得，即，即得结论. 【详解】由，得， 由正弦定理，得， 或. 又. 故选：B. 5. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断在上的单调性，再由其为偶函数将转化为，则可得，从而可求得的取值范围 【详解】因为和在上均单调递增， 所以在上单调递增． 因为是定义在上的偶函数， 所以可化为， 所以，解得． 故选：D 6. 一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4，体积为，则它的母线长为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆台的体积求出圆台的高，利用圆台轴截面基本量的计算求解母线长即可. 【详解】设圆台的高为h，则圆台的体积为，解得， 所以圆台的母线长为. 故选：D. 7. 已知是可导函数，且对于恒成立，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件构造函数，求导后判断函数的单调性，再根据的单调性比较与，与的大小，化简后可得答案. 【详解】令，则， 因为对于恒成立，所以， 所以在上递减， 所以， 所以，， 所以，， 故选：C 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，解题的关键是根据题意构造函数，然后利用导数判断其单调性，考查数学转化思想，属于中档题. 8. 已知函数，则方程在区间上的所有实根之和为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定的图象关于对称，然后分和两种情况进行讨论，利用数形结合的方法，在同一直角坐标系中画出、 ，通过判断两函数在上的交点个数即可求出函数的实根和. 【详解】因为， 则， 所以的图象关于对称，因为，此时不成立， 当时，由，即，则， ，，， 在同一平面直角坐标系中画出与，的图象如下所示： 由图可得与在上有且仅有个交点，图象都关于， 所以所有的实根之和为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是判断出关于对称，再将方程的解转化为函数与函数的交点横坐标，根据对称性计算. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 学校食堂每天中午都会提供两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择套餐概率为，选择套餐概率为；而前一天选择了套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是；如此反复，记某同学第天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为；5个月（150天）后，记甲、乙、丙三位同学选择套餐的人数为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，依题知每人每次只能选两种套餐中的一种即得；对于C，易得，推得等比数列，求其通项即可判断；对于B, D两项，由题意得，由推得，即可计算判断. 【详解】因每人每次只能选择两种套餐中的一种，故必有，故A正确； 依题意，，则， 因，则，故数列是以为首项，为公比的等比数列. 于是，，即故C正确； 因，故， 依题，当时，，故, 则， 因，则，故，故D正确； 因，则，故B错误. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：关键在于发现，从而推得等比数列，求得，继而利用二项分布的相关公式计算即得. 10. 已知函数及其导函数的定义域均为，记．若与均为偶函数，且，则下列选项正确的是（ ） A. 是周期4的周期函数 B. 图象关于点对称 C. D. 图象关于点对称 【答案】AB 【解析】 【分析】由周期函数的定义即可求解A，根据函数奇偶性的定义，结合函数的对称性的性质即可求解B，根据原函数与导数的关系即可求解C，根据函数周期性的性质即可求解D. 【详解】对于A、B，因为为偶函数，所以，即， 所以函数的图象关于对称，又为偶函数， 所以，两边求导得， 所以，即，即，关于对称， 所以，即，所以是周期为4的函数； 故A、B正确； 对于C，由，令，得，令，得， 因为，所以，即， 又周期为4，所以，故C错误； 对于D，又因为周期为4，故，即， 所以，因此， 又，则， 所以，所以，即得， 所以函数的图象关于直线对称，结合A、B结论，选项D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用函数的奇偶性以及合理赋值确定函数的对称性及周期性. 11. 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”下列有关说法中正确的是（ ） A. 对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； B. 函数是圆的一个太极函数； C. 存在圆，使得是圆的太极函数； D. 直线所对应的函数一定是圆的太极函数． 【答案】BD 【解析】 【分析】举出反例判断A；说明的图象关于点成中心对称，结合太极函数定义判断B；说明图象关于对称，不在函数图象上，结合太极函数定义判断C；求出直线过的定点，恰为圆心，即可判断D. 【详解】对于A，如图折线形成的函数是偶函数，满足， 显然函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分，A错误； 对于B，将正弦函数的图象向上平移1个单位即得的图象， 即的图象关于点成中心对称，而圆也关于点中心对称， 因此函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分，B正确； 对于C，的定义域为，且， 即为奇函数，图象关于对称， 若是圆的太极函数，则圆的圆心应为，但是不在的图象上， 因此函数不能将圆的周长和面积同时等分成两部分，C错误； 对于D，直线，即， 由，解得，则直线恒过定点， 显然直线经过圆的圆心， 该直线能将圆的周长和面积同时等分成两部分，D正确， 故选：BD 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，且，则到轴的距离为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义直接求出结果. 【详解】依题意，抛物线上点到拋物线的准线的距离为， 所以到轴的距离为. 故答案为：2 13. 已知,则曲线在点处的切线斜率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】两边求导,令,求出,代入导函数,又将代入计算即可求出在处的切线斜率. 【详解】,两边求导,,令, 则,,令 故答案为：. 14. 在统计调查中，对一些敏感性问题，要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题．否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某中学为了调查本校中学生某不良习惯A的发生情况，对随机抽出的200名中学生进行了调查．调查中设置了两个问题： 问题1：你的阳历生日日期是否偶数？ 问题2：你是否有A习惯？ 调查者准备了一个不透明袋子，里面装有大小、形状和质量完全一样的5个白球和5个红球．每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出的球再放回袋中并搅拌均匀），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．已知调查结束后，盒子里共有55个小石子．据此估计此中学学生中有习惯A的人数的百分比为______． 【答案】5% 【解析】 【分析】计算随机抽出的200名学生中回答第一个问题且为“是”的学生数，由此求出回答第二个问题且为是的人数，计算概率值即可． 【详解】根据题意，被调查者回答第一个问题的概率为；其阳历生日日期是偶数的概率也是， 所以随机抽出的200名学生中，回答两个问题的人数估计各有人， 所以200人中抽取到白球并回答第一个问题为“是”的学生估计有人； 所以抽到红球并回答第二个问题为“是”的人数估计为人， 由此估计此中学学生有A习惯人数的百分比为． 故答案为：5%. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，，，的外接圆半径为，，且． （1）求的值； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理、余弦定理化简得到，结合三角恒等变换的公式，求得，得到，再利用两角和的公式，即可求解； （2）由（1）求得，由正弦定理得，令，，，结合三角形的面积公式列出方程，求得的值，进而求得其周长. 【小问1详解】 解：由， 可得，所以， 又由正弦定理，可得， 即，所以， 可得或，即或（舍去）， 因为，可得， 所以． 【小问2详解】 解：由（1）可得，， 则， 又由正弦定理得， 令，，，其中， 则，解得， 因此的周长为． 16. 如图，已知平面ACD，平面ACD，三角形ACD是正三角形，且，F是CD的中点． （1）求证：平面平面CDE； （2）求直线EF与平面CBE所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取CE的中点M，连接BM，FM，，通过证明平面CDE得面面垂直； （2）过F作FN⊥CE交CE于N，则FN⊥平面CBE，连接EF，则就是直线EF与平面CBE所成的角，找到角再利用线面关系求得 【小问1详解】 证明：因为平面ACD，平面CDE，所以平面平面ACD． 在底面ACD中，，平面平面，由面面垂直的性质定理知，平面CDE． 取CE的中点M，连接BM，FM， 由已知可得且，则四边形FMBA为平行四边形， 从而． 所以平面CDE．又平面BCE，则平面平面CDE． 【小问2详解】 过F作交CE于N，则平面CBE，连接EF， 则就是直线EF与平面CBE所成的角． 设，则，，，， 在中，∴． 故直线EF与平面CBE所成角的正弦值为． 17. 在平面直角坐标系中，点 在运动过程中，总满足关系式. （1）求点 的轨迹的方程； （2）过点 作两条斜率分别为的直线和，分别与交于 和，线段和 的中点分别为 ，若，证明直线过定点. 【答案】（1） （2）证明：设直线的方程为 直线 的方程为 因为过点，所以: 联立直线与椭圆的方程，消去 y 整理得 ， 设由韦达定理可得：， 所以 ， 联立直线 的方程 和直线GH的方程 ， 可解得 所以 整理得点横坐标所在方程， 同理可得 点横坐标所在方程， 因此，是一元二次方程 的两个根，则有 ， 又 ，所以 ，整理得：， 所以直线的方程为 ， 故直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义求解即可； （2）设直线的方程为 ，直线 的方程为 ，直线与椭圆联立方程求得，两直线联立可得，可得点横坐标所在方程，同理可得 点横坐标所在方程，再由建立等式求解即可得证. 【小问1详解】 由椭圆定义，点 的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆， 所以点 的轨迹的方程为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题证明的关键在于找到两点横坐标所在方程为，进而可得是改方程得两个根，根据题意建立等式求解即可得证；在求解 点横坐标所在方程时，因求解方法与点一样，故可直接写出，简化计算过程. 18. 已知函数． （1）若对恒成立，求实数a的取值范围； （2）若曲线与x轴交于A，B两点，且线段AB的中点为，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：令， 由（1）知方程有两个不等实根，且一根小于1，另一根大于1， 不妨设，因为， 所以， 又因为，构造函数，，则， 得在单调递增，，即， 即，即， 要证，即证， 即证，即证， 构造函数， 则， 故在区间内单调递减，则，即， 取，则有，即，故． 【解析】 【分析】（1）根据题意，把不等式转化为恒成立，令，求得，设，利用导数求得的单调性，结合，进而得到单调性和，即可求解； （2）根据题意，转化为有两个实根，设，因为，转化为，构造，利用导数得到在递增，得到，转化为证，令在利用导数求得函数的单调性，得到，取，即可得证. 【小问1详解】 解：因为函数，可得其定义域为， 由，即，化为， 因为对恒成立，即恒成立， 令，则，可得， 设，则， 当时，，当时，， 故在区间内单调递减，在区间内单调递增，所以， 当时，，当时，， 故在区间内单调递减，在区间内单调递增，则， 所以实数a的取值范围是． 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 19. 设，.如果存在使得，那么就说可被整除（或整除），记做且称是的倍数，是的约数（也可称为除数、因数）．不能被整除就记做．由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若，，则；②，互质，若，，则；③若，则，其中. （1）若数列满足，，其前项和为，证明：； （2）若为奇数，求证：能被整除； （3）对于整数与，，求证：可整除. 【答案】（1） 因为，可知数列是以为首项，公比为的等比数列； 所以， 而，且31与9互质； 易知 ， 所以； ， 所以； 结合整除性质②可知：； （2） 因为， 且为奇数，所以； 因此能被整除. （3） 易知. 当时，， ， 上式中，由（2）知，能被整除， 另一方面， ， 上式中，所以也能被整除，且与互质， 所以能被整除，即能被整除. 类似可证当时，， ， 显然，由（2）知，能被整除； 另一方面， ， 所以能被整除；且与互质. 能被整除. 综上可知能被整除. 【解析】 【分析】（1）利用等比数列前项和公式，求得，再结合二项式定理以及整除性质②即可得出证明； （2）由二项展开式可得为奇数时，满足，可得结论； （3）分别对整数为奇数和偶数进行分类讨论，利用表达式将的表达式化简成含有的式子，再结合（2）中的结论即可证明可整除. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题关键在于对整数的奇、偶进行分类讨论，得出的表达式，将的表达式通过拆分化简成含有中的式子，再结合（2）中的结论以及整除性质，即可得出证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡县第一高级中学高二2024年6月份月考数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 计算：的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫作向量与的叉乘的模，记作，即.若向量，，则（ ） A. B. 10 C. D. 2 4. 设的内角的对边分别为，已知，且，则角（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4，体积为，则它的母线长为（ ） A. B. C. D. 5 7. 已知是可导函数，且对于恒成立，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知函数，则方程在区间上的所有实根之和为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 学校食堂每天中午都会提供两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择套餐概率为，选择套餐概率为；而前一天选择了套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是；如此反复，记某同学第天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为；5个月（150天）后，记甲、乙、丙三位同学选择套餐的人数为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数及其导函数的定义域均为，记．若与均为偶函数，且，则下列选项正确的是（ ） A. 是周期4的周期函数 B. 图象关于点对称 C. D. 图象关于点对称 11. 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”下列有关说法中正确的是（ ） A. 对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； B. 函数是圆的一个太极函数； C. 存在圆，使得是圆的太极函数； D. 直线所对应的函数一定是圆的太极函数． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，且，则到轴的距离为__________. 13. 已知,则曲线在点处的切线斜率为__________. 14. 在统计调查中，对一些敏感性问题，要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题．否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某中学为了调查本校中学生某不良习惯A的发生情况，对随机抽出的200名中学生进行了调查．调查中设置了两个问题： 问题1：你的阳历生日日期是否偶数？ 问题2：你是否有A习惯？ 调查者准备了一个不透明袋子，里面装有大小、形状和质量完全一样的5个白球和5个红球．每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出的球再放回袋中并搅拌均匀），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．已知调查结束后，盒子里共有55个小石子．据此估计此中学学生中有习惯A的人数的百分比为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，，，的外接圆半径为，，且． （1）求的值； （2）若的面积为，求的周长． 16. 如图，已知平面ACD，平面ACD，三角形ACD是正三角形，且，F是CD的中点． （1）求证：平面平面CDE； （2）求直线EF与平面CBE所成角的正弦值． 17. 在平面直角坐标系中，点 在运动过程中，总满足关系式. （1）求点 的轨迹的方程； （2）过点 作两条斜率分别为的直线和，分别与交于 和，线段和 的中点分别为 ，若，证明直线过定点. 18. 已知函数． （1）若对恒成立，求实数a的取值范围； （2）若曲线与x轴交于A，B两点，且线段AB的中点为，求证：． 19. 设，.如果存在使得，那么就说可被整除（或整除），记做且称是的倍数，是的约数（也可称为除数、因数）．不能被整除就记做．由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若，，则；②，互质，若，，则；③若，则，其中. （1）若数列满足，，其前项和为，证明：； （2）若为奇数，求证：能被整除； （3）对于整数与，，求证：可整除. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $